湖北省襄陽(yáng)市第一中學(xué) (441099) 李 珍湖北省襄陽(yáng)市第五中學(xué) (441057) 馬文俊
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)和提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.如何在課堂實(shí)踐中提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢?筆者通過(guò)直線與平面垂直的判定的教學(xué)實(shí)踐和思考做了一些探索,以饗讀者.
本節(jié)內(nèi)容是人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》必修②中直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第一課時(shí).直線與平面垂直是空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的核心內(nèi)容.直線與平面垂直既是對(duì)直線與直線垂直的深化,也是研究平面與平面垂直的基礎(chǔ).同時(shí),它也為后續(xù)研究斜線與平面所成的角、二面角、點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離、兩個(gè)平行平面間的距離等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ).
學(xué)生掌握了直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理,也掌握了直線與直線垂直的判定方法,有“通過(guò)觀察、操作,抽象概括出數(shù)學(xué)結(jié)論”的學(xué)習(xí)體驗(yàn),具備學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)的基礎(chǔ).但是,從生活情境中抽象概括出直線與平面垂直的定義對(duì)學(xué)生而言有一定困難.另外,為什么判定直線與平面垂直要且只要“垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線”,理解立體幾何中的“平面化”的思想和“降維”的思想,學(xué)生也會(huì)感到有困難.
(1)借助生活中直線與平面垂直的實(shí)例,通過(guò)直觀感知和抽象概括,形成直線與平面垂直的定義,提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);
(2)借助折疊三角形紙片,通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證,歸納出直線與平面垂直的判定定理,提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng);
(3)能夠?qū)χ本€與平面垂直的定義和判定定理進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用,提升邏輯推理素養(yǎng).
教學(xué)重點(diǎn):直線與平面垂直的定義、判定定理以及它們的初步應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn):理解直線與平面垂直的定義,探究直線與平面垂直的判定定理.
1.直線與平面垂直的定義的建構(gòu)
環(huán)節(jié)一:創(chuàng)設(shè)情境、感知概念
問(wèn)題1:直線與平面有哪幾種位置關(guān)系?我們已經(jīng)研究了直線與平面哪些內(nèi)容?運(yùn)用了什么思想方法?
問(wèn)題2:觀察下面的圖片,請(qǐng)思考:旗桿與地面、大橋的橋柱與水面、豎直的墻角線與地面是什么位置關(guān)系?給我們留下了什么印象?
評(píng)析:讓學(xué)生意識(shí)到直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊情況并引出課題.另外,這樣設(shè)計(jì)能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,吸引學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)過(guò)程中來(lái).
師:什么是直線與平面垂直呢? 這是本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容.請(qǐng)同學(xué)們觀看旗桿和它在地面上的影子的動(dòng)畫,(教師播放動(dòng)畫),思考旗桿和它的影子的有什么位置關(guān)系.
圖1
問(wèn)題3:直線l與平面α內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線B′C′垂直嗎(圖1)?
評(píng)析:在具體生活情境中,讓學(xué)生去感知直線與平面垂直,為抽象概括出直線與平面垂直的概念做準(zhǔn)備.同時(shí),在感知線面垂直的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
環(huán)節(jié)二:抽象概括、形成概念
師:請(qǐng)同學(xué)們歸納直線與平面垂直的概念,并用符號(hào)語(yǔ)言表述.
圖2
直線和平面垂直的定義:如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.(圖2)
評(píng)析:讓學(xué)生通過(guò)操作、思考(用三角板和筆在桌面上比試),加深對(duì)概念的理性認(rèn)識(shí).
環(huán)節(jié)三:嘗試練習(xí)——深化概念
練習(xí):判斷下列說(shuō)法是否正確:
(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面,則這條直線就與這個(gè)平面內(nèi)任意一條直線都垂直;
(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,則這條直線就與這個(gè)平面垂直;
(3)過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.
答案:(1)對(duì);(2)錯(cuò);(3)對(duì).
證明:(3)如圖3,假設(shè)過(guò)點(diǎn)P有兩條直線PA、PB與面α垂直,設(shè)面PAB∩面α=l,則PA⊥l,PB⊥l,因?yàn)橹本€PA、PB、l共面,所以過(guò)點(diǎn)P有兩條直線PA、PB與直線l垂直,顯然不可能.因此,過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.
圖3
教師引導(dǎo)學(xué)生得到:
結(jié)論:過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.
點(diǎn)到平面的距離:過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線,則該點(diǎn)與垂足間的線段,叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.
評(píng)析:通過(guò)嘗試練習(xí),讓學(xué)生更深刻的理解直線和平面垂直的概念,為后面探究并運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理奠定基礎(chǔ).
2.直線與平面垂直的判定定理的探究
環(huán)節(jié)一:創(chuàng)設(shè)情境——提出問(wèn)題
問(wèn)題4:請(qǐng)觀察教室里豎直的墻角線所在的直線與地面所在的平面垂直嗎,為什么?
師:我們可以幾何直觀的角度感知得出,豎直的墻角線所在的直線與地面所在的平面垂直.我們根據(jù)直線與平面垂直的定義,只需要判斷豎直的墻角線與地面內(nèi)任何一條直線都垂直.那么如何判斷呢?
評(píng)析:從研究墻角線和地面垂直的入手,感知判定直線與平面垂直的方法,為研究直線與平面垂直的判定定理做準(zhǔn)備.
環(huán)節(jié)二:動(dòng)手試驗(yàn)——猜想定理
演示試驗(yàn)過(guò)程:過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片,得到折痕AD,再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸).
圖4
問(wèn)題5:圖4中折痕AD與桌面垂直嗎?為什么?如何翻折才能讓折痕AD與桌面所在平面α垂直呢?﹙學(xué)生分組試驗(yàn)﹚
引導(dǎo)學(xué)生得到:如圖5,折痕AD與桌面所在平面α垂直的充要條件是折痕AD是BC邊上的高.由于翻折前后垂直關(guān)系保持不變,折痕AD與平面α內(nèi)的直線BD、CD均垂直.
圖5
評(píng)析:讓學(xué)生通過(guò)折紙實(shí)驗(yàn)和相互交流,從正反兩個(gè)方面理解直線與平面垂直的問(wèn)題,可以從正反兩方面理解直線與平面垂直的判定條件,為猜想出直線與平面垂直的判定定理做好準(zhǔn)備.
問(wèn)題6:通過(guò)試驗(yàn),你能得到什么結(jié)論?
問(wèn)題7:請(qǐng)學(xué)生觀察,直線AD還經(jīng)過(guò)BD、CD的交點(diǎn).在增加了這個(gè)條件后,應(yīng)該如何更準(zhǔn)確地表述試驗(yàn)的結(jié)論?
問(wèn)題8:如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線m、n都垂直,但不經(jīng)過(guò)它們的交點(diǎn),那么直線l還與平面α垂直嗎?
評(píng)析:通過(guò)讓學(xué)生自主操作,思考系列問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的求知欲,讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)驗(yàn)過(guò)程中,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)立體幾何的直觀感知,提升空間想象能力,同時(shí),還能夠培養(yǎng)學(xué)生的相互合作意識(shí)和交流表達(dá)能力.
環(huán)節(jié)三:抽象概括、確認(rèn)定理
師:請(qǐng)同學(xué)給出線面垂直的判定定理,并用符號(hào)語(yǔ)言把這個(gè)定理表述.
直線和平面垂直的判定定理:
文字語(yǔ)言:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.
圖6
符號(hào)語(yǔ)言:l⊥m,l⊥n,m?α,n?α,m∩n=A?l⊥α(圖6).
師:判定定理的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)線線垂直來(lái)證明線面垂直,它體現(xiàn)了立體幾何中降維的重要的數(shù)學(xué)思想.
評(píng)析:通過(guò)理性分析,概括出折紙實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力,提高學(xué)生抽象概括的能力,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
辨析:判斷下列說(shuō)法是否正確:
圖7
(1)若一條直線垂直于一個(gè)梯形的兩條邊垂直,則這條直線就與梯形所在的平面垂直(圖7);
(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線,則這條直線就與這個(gè)平面垂直.
評(píng)析:通過(guò)概念辨析,強(qiáng)化定理中“兩條相交直線”這一條件,深化學(xué)生對(duì)直線和平面垂直的判定定理的內(nèi)涵的理解.
3.直線與平面垂直的初步應(yīng)用
例1 已知a∥b,a⊥α.求證:b⊥α.
評(píng)析:通過(guò)例1讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用定義和判定定理解決相關(guān)問(wèn)題.讓學(xué)生體會(huì)解決此類問(wèn)題的方法和步驟,領(lǐng)悟“降維”的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想.培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
圖8
例2 如圖8,在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時(shí),A′C⊥B′D′?
問(wèn)題9:證明線面垂直有哪些方法?運(yùn)用了什么樣的數(shù)學(xué)思想方法?
評(píng)析:通過(guò)例2培養(yǎng)學(xué)生熟練地將線線垂直和線面垂直進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化,從而使他們能夠靈活應(yīng)用定義和判定定理進(jìn)行邏輯推理論證.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
課堂練習(xí):課本第152頁(yè)練習(xí)第2、4題.
評(píng)析:課堂內(nèi)完成教科書中練習(xí)題,能有效地檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)直線與平面垂直的了解、理解和掌握情況.
4.總結(jié)提升、建構(gòu)體系
問(wèn)題10:本節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了哪些判斷線面垂直的方法?運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法?我們是如何研究這些知識(shí)和方法的?
評(píng)析:師生一起回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)與探究歷程,體會(huì)立體幾何學(xué)習(xí)的“直觀感知、抽象概括”、“直觀感知、操作確認(rèn)”的認(rèn)識(shí)過(guò)程,感受線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法,以及邏輯推理的思維過(guò)程.
5.布置作業(yè)、課后探究
課本第162頁(yè)習(xí)題第4題,第163頁(yè)習(xí)題第5、14題,第164頁(yè)習(xí)題第15題.
評(píng)析:課后完成適量的練習(xí)題,能有效地鞏固學(xué)生課堂內(nèi)學(xué)習(xí)的知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想等,有利于幫助學(xué)生熟練掌握所學(xué)的基本知識(shí)、思想方法等.
本課力圖嘗試在直線與平面垂直的問(wèn)題的過(guò)程中,讓學(xué)生在直觀感知、抽象概括、形成概念的過(guò)程中自然生成并建構(gòu)直線與平面垂直的概念,在直觀感知、操作確認(rèn)、合作探究的過(guò)程中主動(dòng)生成并建構(gòu)直線與平面垂直的判定定理,整個(gè)教學(xué)過(guò)程中,讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的方式理性思考、分析問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的方法準(zhǔn)確地表達(dá)、解決問(wèn)題.通過(guò)教學(xué)實(shí)踐,體會(huì)到可以通過(guò)教師設(shè)計(jì)顯性的數(shù)學(xué)探究活動(dòng),在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的過(guò)程中,提升學(xué)生的隱性的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
可取之處:整個(gè)過(guò)程中,教師積極為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,并啟發(fā)誘導(dǎo),激發(fā)學(xué)生的求知欲,提升學(xué)生思考的積極性,讓學(xué)生在迫切要求之下學(xué)習(xí).對(duì)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)和促進(jìn)學(xué)生發(fā)展起到了重要的作用.
改進(jìn)之處:本課在形成概念和建構(gòu)判定定理方面設(shè)計(jì)了系列數(shù)學(xué)活動(dòng),起到了很好的教學(xué)效果,但如何真正引導(dǎo)學(xué)生自覺感知、自主生成,如何提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng),還有待于進(jìn)一步探索.
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)2022年4期