高來志

(洛陽市環(huán)境保護(hù)設(shè)計研究所， 河南 洛陽 471000)

判別一元多項(xiàng)式環(huán)P[x]中的一元多項(xiàng)式f(x)在不做開方運(yùn)算條件下是否可分解， 把可分解的一元多項(xiàng)式分解成f(x)=g1(x)r1g2(x)r2…gl(x)rl， 目前還沒有一般的有效方法[1-2]. 解決這個問題對徹底解決非線性代數(shù)方程(組)難題有重要意義. 筆者以文獻(xiàn)[3]的消元方法為基礎(chǔ)提出了一元多項(xiàng)式因式分解的一種方法.

1 構(gòu)造b1,b2,…,bm的導(dǎo)出結(jié)式和導(dǎo)出多項(xiàng)式簇

設(shè)

f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an(n≥3)

(1.1)

為數(shù)域P中任意給定的一個一元本原整系數(shù)多項(xiàng)式或一元整式實(shí)系數(shù)(復(fù)系數(shù))多項(xiàng)式(f(x)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)中沒有公因子、不含分母、有理數(shù)和根式內(nèi)的有理數(shù)為整數(shù)).

設(shè)

g0(x)=xm+b1xm-1+…+bm(2≤m

(1.2)

為f(x)的因式.

建立f(x),g0(x)的西爾維斯特結(jié)式矩陣：[2]

(1.3)

對結(jié)式矩陣(1.3)進(jìn)行n步消元， 把其化成階梯形矩陣

(1.4)

其中

i,j=n+1,n+2, …,n+m

(1.5)

在m2個hij(b1,b2, …,bm)多項(xiàng)式中， 挑選項(xiàng)數(shù)少、bt(1≤t≤m)最高次冪低和個數(shù)少的m個多項(xiàng)式為hs(b1,b2, …,bm)多項(xiàng)式. 在m個hs(b1,b2, …,bm)多項(xiàng)式中， 擇其中一個bm最高次冪最低、項(xiàng)數(shù)最少的多項(xiàng)式為hmin(bm)多項(xiàng)式， 剩余的m-1個多項(xiàng)式為hs1(bm)多項(xiàng)式. 由此構(gòu)造b1,b2, …,bm的導(dǎo)出結(jié)式和導(dǎo)出多項(xiàng)式簇：

res (hs1,hmin,bm)=βs1hs1(b1, …,bm-1)

s1=1, …,m-1

res (hs2,hmin,bm-1)=βs2hs2(b1, …,bm-2)

s2=1, …,m-2

……

res (hsm-1,hmin,b2)=βsm-1hsm-1(b1)

sm-1=1

(1.6)

2 一元多項(xiàng)式因式分解的具體方法

1) 仿照求有理根的方法, 對f(x)的首項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)做因子分解， 用f(x)的首項(xiàng)系數(shù)因子和常數(shù)項(xiàng)因子試算， 找f(x)的根. 若找到f(x)的根， 分解f(x)的一次因式. 否則f(x)中沒有可分解的一次因式.

2) 對f(x)分解一次因式后， 若剩余部分是一個四次或四次以上多項(xiàng)式， 視這個多項(xiàng)式為f(x). 用上節(jié)的方法構(gòu)造b1,b2, …,bm的導(dǎo)出結(jié)式和導(dǎo)出多項(xiàng)式簇. 仿照求有理根的方法, 對hsm-1(b1)多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)作因子分解， 用hsm-1(b1)的首項(xiàng)系數(shù)因子和常數(shù)項(xiàng)因子試算， 找hsm-1(b1)的根. 把找出的hsm-1(b1)的根b1代入res (hsm-1,hmin,b2) 結(jié)式的三角形結(jié)式的倒數(shù)第2行， 求出b2；把b1、b2代入一個res (hsm-2,hmin,b3)結(jié)式的三角形結(jié)式的倒數(shù)第2行， 求出b3；…… ；把b1,b2, …,bm-1代入一個res (hs1,hmin,bm)結(jié)式的三角形結(jié)式的倒數(shù)第2行， 求出bm. 在g0(x)上乘一個適當(dāng)整數(shù)或一個適當(dāng)整式， 使其變成一元本原整系數(shù)或一元整式實(shí)系數(shù)(復(fù)系數(shù))因式g(x)(g(x)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)中沒有公因子、不含分母、有理數(shù)和根式內(nèi)的有理數(shù)為整數(shù)). 分解f(x)的因式g(x). 否則， 找求不出b1,b2, …,bm，f(x)中沒有可分解的g0(x)因式. 按這種方法， 依次分解f(x)的二次和二次以上因式, 直至f(x)的可分解因式被完全分解為止.

3) 最后， 根據(jù)分解結(jié)果， 寫出f(x)的分解式.

4) 如果f(x)的首項(xiàng)系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)、hsm-1(b1)的首項(xiàng)系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)是由多種數(shù)混合組成的多項(xiàng)數(shù)構(gòu)成， 用如下方法進(jìn)行因子分解：找出項(xiàng)與項(xiàng)中有公因子的所有組合， 把每個組合的所有項(xiàng)合并和把公因子提到括號外邊， 把括號中內(nèi)容相同的不同組合合并， 得分解的每個因子. 否則， 所給首項(xiàng)系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)不能分解.

5) 根指數(shù)相同的根式與根式做乘除, 只許根式內(nèi)的根底數(shù)與根底數(shù)做乘除， 不可化簡.

證明

矩陣(1.3)是根據(jù)矩陣的線性相關(guān)定義建立起來的, 因?yàn)間0(x)是f(x)在不做開方運(yùn)算條件下或做開方運(yùn)算條件下的可分解因式, 對矩陣(1.3)進(jìn)行n-1步消元后, 第n行的非零元素和第n+i行(1≤i≤m)的非零元素成比例, 所以,n步消元結(jié)果(1.5)式成立.

(1.6)式是根據(jù)兩個不同多項(xiàng)式有公根結(jié)式為零的定理構(gòu)造出來的[2].f(x)在不做開方運(yùn)算條件下存在可分解因式g0(x)時,b1,b2, …,bm直接存在于矩陣(1.3)、 矩陣(1.4)、 (1.5) 式、 (1.6) 式中, 利用(1.6)式可找求出b1,b2, …,bm;f(x)在不做開方運(yùn)算條件下不可分解時,b1,b2, …,bm不存在, 從(1.6) 式中找求不出b1,b2, …,bm.

3 算例

3.1 試分解因式

(1)

最后， 得f(x)的分解式為

3.2 試分解三次因式

f(x)=3x4-8x3-4x2-2x+15

解：設(shè)g0(x)=x3+b1x2+b2x+b3是f(x) 的因式.

(1)

(2)

(3)

3.3 試對多項(xiàng)數(shù)作因子分解

解：第1步， 找出項(xiàng)與項(xiàng)中有公因子的所有組合， 把每個組合的所有項(xiàng)合并和把公因子提到括號外邊.

第2步， 把括號中內(nèi)容相同的不同組合合并， 得分解的每個因子.

第3步， 綜合以上分解結(jié)果， 得多項(xiàng)數(shù)的因子分解式.

4 結(jié)論

本文提出的一元多項(xiàng)式因式分解方法， 從理論上和實(shí)際上完全解決了一元有理系數(shù)多項(xiàng)式有理分解的判別和分解問題， 同時， 也解決了一元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式和一元復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在不做開方運(yùn)算條件下因式分解的判別和分解問題.