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時(shí)變流體中懸臂梁的振動(dòng)特性分析

2022-04-15 09:28:02邵明玉馬馳騁張忠偉邵素娟
關(guān)鍵詞:一階重油黏性

邵明玉,李 濤,馬馳騁,張忠偉,邵素娟

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院, 山東 淄博 255000)

流固耦合系統(tǒng)廣泛存在于海洋石油管道、水下設(shè)備、船舶、潛艇和潛射彈道導(dǎo)彈等應(yīng)用中,周圍的流體會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼產(chǎn)生不同程度的影響。在某些情況下,結(jié)構(gòu)會(huì)在流動(dòng)或變深度的流體中振動(dòng),流體的流動(dòng)速度及浸沒(méi)深度會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)產(chǎn)生額外的附加效應(yīng)。為了對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)進(jìn)行抑制或主動(dòng)控制,保證結(jié)構(gòu)安全工作,必須對(duì)結(jié)構(gòu)在時(shí)變流體中的振動(dòng)特性進(jìn)行詳細(xì)分析。

在流固耦合特性研究中,大都忽略流體黏性和時(shí)變特性的影響,將流體對(duì)結(jié)構(gòu)的作用簡(jiǎn)化為附加質(zhì)量[1],以分析其對(duì)結(jié)構(gòu)頻率的影響,而流體本身的運(yùn)動(dòng)則基于速度勢(shì)理論求解[2-3]。對(duì)于尺寸較大的結(jié)構(gòu),雷諾數(shù)較大,不計(jì)黏性引起的誤差很小,可以忽略。而對(duì)于微尺度結(jié)構(gòu),雷諾數(shù)較小,黏性對(duì)結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼均會(huì)產(chǎn)生較大的影響。針對(duì)懸臂梁在黏性流體中的振動(dòng)問(wèn)題,Blom等[4-5]將梁簡(jiǎn)化為串珠模型,求解了作用在梁上的流體力,分析了梁在黏性流體中的頻率和阻尼。Kirstein等[6]基于N-S方程求解了無(wú)限長(zhǎng)圓柱體在流體中振動(dòng)時(shí)的流體動(dòng)力學(xué)函數(shù),并分析了懸臂梁在黏性流體中的振動(dòng)問(wèn)題。Sader等[7-10]對(duì)圓柱梁的流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)進(jìn)行了修正,導(dǎo)出了矩形截面梁的流體動(dòng)力學(xué)函數(shù),并研究了矩形截面懸臂梁在不同流體環(huán)境中的振動(dòng)特性。隨著計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的發(fā)展,Liu等[11-13]對(duì)梁在流體中的振動(dòng)穩(wěn)態(tài)進(jìn)行了數(shù)值分析,并通過(guò)雙向流固耦合方法研究了梁和運(yùn)動(dòng)流體間的相互作用[14]。

目前,懸臂梁流固耦合振動(dòng)研究大都針對(duì)流體所引起的附加質(zhì)量,以及微尺度機(jī)械中黏性的效應(yīng),而針對(duì)懸臂梁在流動(dòng)或變深度液體中的流固耦合問(wèn)題則研究較少。

本文基于N-S方程的近似解,導(dǎo)出了懸臂梁在時(shí)變流體中的運(yùn)動(dòng)方程,分析了流體浸沒(méi)深度、流動(dòng)速度、黏性及梁幾何尺寸對(duì)流固耦合系統(tǒng)頻率和阻尼的影響,并通過(guò)紐馬克-β法求解了懸臂梁在下降流體中的瞬態(tài)響應(yīng)。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 幾何模型

懸臂梁在時(shí)變流體中振動(dòng)的流固耦合系統(tǒng)如圖1所示。懸臂梁的下端固定,上端自由,梁的總長(zhǎng)度L=180 mm,厚度δ=1 mm,寬度b=10 mm,材料為鋁。流體從容器底部流入或流出,速度為v(t),沿著梁長(zhǎng)度方向(x方向)為正,流體浸沒(méi)梁的深度為h(t)。流體的種類為水或重油。

圖1 流圖耦合系統(tǒng)示意圖

1.2 流動(dòng)動(dòng)力學(xué)函數(shù)

懸臂梁在流體中做橫向振動(dòng)時(shí),梁上作用的流體力可通過(guò)周圍流體的N-S方程而求得。忽略質(zhì)量力,不可壓流體的N-S方程和連續(xù)方程可以表示為:

(1)

▽·u=0

(2)

式中:ρf為流體密度;u為流體速度矢量;p表示壓強(qiáng);μ表示動(dòng)力黏度,假設(shè)為常數(shù)。矩形梁做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí),上述方程的理論解難以求得,可通過(guò)對(duì)圓柱梁的解修正得到。假設(shè)直徑為b的無(wú)限長(zhǎng)圓柱在流體中以頻率ω做簡(jiǎn)諧振動(dòng),其位移為:

u(t)=u0eiωt

(3)

單位長(zhǎng)度圓柱體上的流體力可表示為[15]:

(4)

F(t)=mfω2Re(H)u0eiωt+imfω2Im(H)u0eiωt

(5)

將上式寫(xiě)為圓柱的速度和加速度的函數(shù),即:

(6)

式中:βa=mfRe(H),表示流體引起的附加質(zhì)量;βv=-ωmfIm(H),表示流體阻尼。

流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)H的完整表達(dá)式是一個(gè)復(fù)雜的貝塞爾類函數(shù)[6],對(duì)于無(wú)限大的黏性流體區(qū)域,H可表示為:

(7)

式中:α=iRe,Re=ρfωb2/4μ表示雷諾數(shù);K0和K1分別是零階和一階的第二類修訂貝塞爾函數(shù)。對(duì)于雷諾數(shù)足夠大的無(wú)限黏性流體區(qū)域,流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)H可以簡(jiǎn)化為:

(8)

圖2(a)中給出了不同雷諾數(shù)下流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)的精確解和近似解。從圖中可以看出,當(dāng)雷諾數(shù)Re>102時(shí),近似解和精確解吻合良好。

矩形梁在流體中做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí),周圍流體的運(yùn)動(dòng)與圓柱體對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)類似,其流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)可通過(guò)圓柱體的流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)修正而得到[6],即:

H′(ω)=F(ω)H(ω)

(9)

式中:F(ω)是與頻率有關(guān)的修正函數(shù)[6]。

圖2(b)中給出了圓柱體和矩形梁在流體中簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)的對(duì)比曲線,可以看出,當(dāng)Re>102時(shí),兩者相差很小。

圖2 不同雷諾數(shù)的流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)曲線

1.3 懸臂梁運(yùn)動(dòng)方程

假設(shè)梁在時(shí)變流體中橫向簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí),流體沿著梁長(zhǎng)度方向的流動(dòng)與流體隨梁的橫向振動(dòng)互不干涉,即忽略長(zhǎng)度方向的切應(yīng)力,僅考慮梁橫向振動(dòng)的流體阻力,單位長(zhǎng)度梁上的分布載荷可表示為:

(10)

在圖1(b)中,坐標(biāo)η表示流體沿著梁長(zhǎng)度方向的坐標(biāo),取長(zhǎng)度為dη的微元,并將微元上的載荷視為作用在η處的可移動(dòng)集中載荷,則有:

(11)

根據(jù)歐拉-伯努利梁理論和牛頓運(yùn)動(dòng)定律,可得在微元集中載荷作用下懸臂梁的運(yùn)動(dòng)方程為[16]:

(12)

式中:EI為梁的抗彎剛度;ρb為梁的密度;A為梁的橫截面積;δ(x)為Dirac函數(shù)。

采用模態(tài)疊加法對(duì)梁的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行坐標(biāo)變化:

w(x,t)=∑jφj(x)qj(t)

(13)

式中:φj(x)表示第j階模態(tài)振型;qj(x)表示第j階振型對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)。

研究表明,采用梁在真空中的振型可獲得足夠的精度[2],即:

(14)

將式(13)代入梁的運(yùn)動(dòng)方程(12)可得:

(15)

求導(dǎo)后可得:

(16)

式中:v表示流體沿著梁長(zhǎng)度方向的流動(dòng)速度;a表示加速度。

將上式兩端同乘以φi(x),并在(0,L)范圍內(nèi)積分,可得:

(17)

假設(shè)運(yùn)動(dòng)流體微元對(duì)梁橫向振動(dòng)的影響可以線性疊加,流體浸沒(méi)梁的高度為h(t),忽略空氣對(duì)梁的作用力,將上式在(0,h)范圍內(nèi)積分可得:

(18)

上式中,各矩陣元素的表達(dá)式為:

(19)

懸臂梁在時(shí)變流體中的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為:

(20)

式中:M0表示梁的廣義質(zhì)量矩陣;K0表示梁的廣義剛度矩陣;Ma,Ca,Kaa,Kav表示由梁的加速度引起的附加廣義質(zhì)量矩陣、廣義阻尼矩陣和廣義剛度矩陣;Cv,Kv表示由梁的速度所引起的附加廣義阻尼矩陣和廣義剛度矩陣。

從上式中可以看出,懸臂梁在時(shí)變流體中振動(dòng)時(shí),除流體本身的固有阻尼外,還有與流體運(yùn)動(dòng)相關(guān)的附加阻尼和附加剛度。值得注意的是,附加阻尼與流體速度成正比,當(dāng)流體沿著梁長(zhǎng)度方向下降時(shí),將會(huì)引起負(fù)的附加阻尼,產(chǎn)生不利影響。

2 頻率特性分析

2.1 方法驗(yàn)證

懸臂梁在流體中振動(dòng)的固有頻率可通過(guò)求解下述特征方程的根而得到:

(21)

式中:ωf表示流體中梁的無(wú)阻尼自振頻率。

流體流動(dòng)速度不大,或者梁的厚度較大時(shí),流體所引起的附加廣義剛度遠(yuǎn)小于梁自身的廣義剛度,梁在流體和真空中的固有頻率之間的關(guān)系可表示為:

(22)

式中:κn為無(wú)量綱附加質(zhì)量因子。對(duì)于懸臂梁的一階振動(dòng),單位長(zhǎng)度上的無(wú)量綱質(zhì)量因子可表示為:

(23)

(24)

可見(jiàn),對(duì)于真空中固有頻率一定的梁,其附加質(zhì)量因子與流體的密度、黏性以及梁的寬度有關(guān)。文獻(xiàn)[3]中采用速度勢(shì)理論求解了梁簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)周圍無(wú)黏流體的運(yùn)動(dòng),以及梁上作用的流體載荷,根據(jù)其方法得到的梁一階振動(dòng)附加質(zhì)量因子為:

(25)

式中:a1,a2表示梁到容器兩側(cè)的距離。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]得到的梁一階振動(dòng)時(shí)單位長(zhǎng)度上的附加質(zhì)量因子為:

(26)

對(duì)比式(24)可以發(fā)現(xiàn),文獻(xiàn)[1]的方法沒(méi)有考慮黏性的影響。采用本文方法及文獻(xiàn)方法得到的懸臂梁完全浸沒(méi)在流體(水和重油)中的一階固有頻率見(jiàn)表1。結(jié)果表明,對(duì)于水和高溫時(shí)的重油,黏性的影響可以忽略,2種方法得到的結(jié)果吻合較好。而對(duì)于低溫時(shí)的重油,黏性引起的附加質(zhì)量較大,不考慮黏性會(huì)引起較大的誤差。

表1 不同方法得到的懸臂梁一階固有頻率

2.2 參數(shù)分析

式(19)(21)(24)表明,對(duì)于真空中固有頻率一定的懸臂梁,其在流體中的固有頻率與流體的浸沒(méi)深度、黏性、流速及梁的寬度有關(guān)。

梁在水和重油中的一階固有頻率隨浸沒(méi)深度的變化如圖3所示。可以看出,當(dāng)流體的浸沒(méi)深度較小時(shí),梁的一階固有頻率基本不受影響,而當(dāng)流體的浸沒(méi)深度超過(guò)梁長(zhǎng)度的一半時(shí),梁的一階固有頻率隨浸沒(méi)深度的增加而迅速降低,即對(duì)于梁的一階振動(dòng),其固有頻率主要受到自由端流體的影響。

圖3 不同浸沒(méi)深度的一階固有頻率變化曲線

雷諾數(shù)較小時(shí),流體引起的附加質(zhì)量會(huì)受到黏性的影響,而對(duì)于有些流體,黏性會(huì)隨溫度的升高而迅速下降,如重油。高溫時(shí)梁的彈性模量也會(huì)隨溫度升高而減小,但在本文研究的溫度范圍內(nèi)幾乎不變,其影響可以忽略;此外,由于梁和流體具有相同的溫度,溫度應(yīng)力的影響也忽略不計(jì)。

圖4給出了水和重油的黏性,以及完全浸沒(méi)的懸臂梁的一階固有頻率隨溫度的變化曲線。從圖中可以看出,水的動(dòng)力黏度較小且隨溫度變化不大,梁的固有頻率基本不變,接近無(wú)黏解。而重油低溫時(shí)重力黏度較大,黏性使得附加質(zhì)量較大,頻率較低;隨著溫度升高,動(dòng)力黏性迅速下降,頻率逐漸增大,并趨向無(wú)黏解。

圖4 不同溫度的動(dòng)力黏度和一階固有頻率變化曲線

當(dāng)梁自身的剛度較小或流體的流動(dòng)速度較大時(shí),流體流動(dòng)所引起的附加剛度對(duì)頻率的影響不可忽略。不同流體中,完全浸沒(méi)的梁的一階固有頻率隨流動(dòng)速度的變化規(guī)律如圖5所示??梢园l(fā)現(xiàn),對(duì)于水和重油,梁的固有頻率均隨流動(dòng)速度的增加而增大。從式(19)中可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于確定的梁,附加剛度還與流體的密度和黏性有關(guān)。對(duì)比15、100 ℃重油中的頻率,低溫時(shí),重油的雷諾數(shù)較小,黏性影響更大,固有頻率隨速度的變化更加明顯。

圖5 不同流動(dòng)速度的一階固有頻率變化曲線

除流體參數(shù)外,梁的寬度也會(huì)對(duì)其在流體中的固有頻率產(chǎn)生重要影響。圖6中給出了懸臂梁在不同流體中的一階固有頻率隨梁寬度的變化。結(jié)合式(24)可以看出,梁的寬度增加時(shí),流體引起的附加質(zhì)量逐漸增大,梁的一階固有頻率逐漸減小。

圖6 不同寬度的一階固有頻率變化曲線

3 阻尼特性分析

忽略懸臂梁本身的結(jié)構(gòu)阻尼,梁在時(shí)變流體中一階振動(dòng)的阻尼比可以表示為:

(27)

上式表明,系統(tǒng)的阻尼由2部分組成:一是流體黏性產(chǎn)生的固有阻尼,二是流體沿著長(zhǎng)度方向移動(dòng)引起的附加阻尼??梢钥闯?,系統(tǒng)阻尼比同樣受到流體運(yùn)動(dòng)參數(shù)和梁尺寸參數(shù)的影響。

完全浸沒(méi)的懸臂梁一階振動(dòng)的阻尼比隨流體流動(dòng)速度的變化如圖7所示。

圖7 不同流動(dòng)速度的阻尼比曲線

由圖7可以看出,流體的固有阻尼不隨速度發(fā)生變化,而附加阻尼隨流動(dòng)速度的增加而迅速增大,總阻尼也隨流動(dòng)速度的增加而增大。對(duì)于黏性較小的情況,隨著速度逐漸增大,附加阻尼成為系統(tǒng)阻尼的主導(dǎo)因素。

此外,還可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)流體沿著梁長(zhǎng)度方向下降時(shí),將會(huì)引起負(fù)的附加阻尼,會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不利影響,甚至引發(fā)結(jié)構(gòu)破壞。

完全浸沒(méi)懸臂梁的一階振動(dòng)阻尼比隨溫度的變化如圖8所示。當(dāng)溫度升高時(shí),重油的動(dòng)力黏性迅速減小,導(dǎo)致固有阻尼下降。重油中的附加阻尼也隨溫度升高而逐漸下降,但變化不大,系統(tǒng)總阻尼減小。而水的動(dòng)力黏性隨溫度變化不大,系統(tǒng)阻尼基本不受溫度的影響。

圖8 不同溫度的阻尼比(v=1 m/s)曲線

梁的寬度也會(huì)對(duì)梁一階振動(dòng)的阻尼比產(chǎn)生重要影響,如圖9所示。從圖中可以看出,隨著梁寬度的增加,雷諾數(shù)逐漸增大,黏性效應(yīng)減弱,流體本身的固有阻尼減小,而附加阻尼則隨著梁寬度的增加而逐漸增大。因此,系統(tǒng)總阻尼隨梁寬度的變化規(guī)律較為復(fù)雜,需考慮流體黏性和流動(dòng)速度綜合分析。如流體為100 ℃的重油時(shí),系統(tǒng)總阻尼隨寬度先減小后增大,最小值出現(xiàn)在b/δ=5時(shí)。

圖9 不同梁寬度的阻尼比曲線(v=1 m/s)

梁的一階振動(dòng)阻尼同樣隨浸沒(méi)深度而發(fā)生變化,如圖10所示。隨著流體浸沒(méi)深度的增加,流體的固有阻尼和附加阻尼均逐漸增大。從圖中可以看出,浸沒(méi)深度對(duì)阻尼的影響規(guī)律與其對(duì)一階固有頻率的影響規(guī)律是相同的,即主要在梁的自由端產(chǎn)生作用。

圖10 不同浸沒(méi)深度的阻尼比曲線(v=1 m/s)

4 瞬態(tài)響應(yīng)分析

流體沿著梁長(zhǎng)度方向上升或下降時(shí),其頻率和阻尼均隨流體浸沒(méi)深度發(fā)生變化,且與流體流動(dòng)速度有關(guān)。尤其是流體下降時(shí),會(huì)引發(fā)負(fù)的流體附加阻尼,產(chǎn)生不利影響。因此,需要對(duì)梁的瞬態(tài)域響應(yīng)特性進(jìn)行分析。

采用紐馬克-β法求解流體下降時(shí)梁的瞬態(tài)響應(yīng)。初始時(shí)刻,流體的深度h0=L。不同下降速度下,梁的位移響應(yīng)和振幅時(shí)間歷程如圖11~13所示。

從圖11、12中可以看出,當(dāng)流體黏性較小時(shí),梁的一階固有頻率隨液面的下降逐漸增大,并逐漸接近或達(dá)到真空中的固有頻率,且頻率變化速率隨流體下降速度逐漸增大。

圖11 不同下降速度的瞬態(tài)響應(yīng) (水,15 ℃)

圖12 不同下降速度的瞬態(tài)響應(yīng) (重油,100 ℃)

圖13 不同下降速度的瞬態(tài)響應(yīng)曲線 (重油,15 ℃)

隨著流體的下降,流體引起的阻尼逐漸減小,振幅隨時(shí)間的減小逐漸減弱。此外,流體的下降會(huì)引起負(fù)的附加阻尼,流體為水(圖11)和100 ℃重油(圖12)時(shí),梁的振幅隨著流體下降速度的增大而逐漸增加。從圖11中可以看出,若流體下降速度繼續(xù)增大,系統(tǒng)的阻尼將會(huì)小于零,導(dǎo)致梁的振動(dòng)發(fā)散,危害結(jié)構(gòu)安全。而對(duì)于低溫時(shí)的重油,由于流體本身的固有阻尼較大,梁的振動(dòng)迅速衰減,液體下降速度不大時(shí),對(duì)梁的頻率和阻尼造成的影響很小,可以忽略,梁的瞬態(tài)響應(yīng)特性變化不大。

5 結(jié)論

1) 流體流動(dòng)會(huì)引起附加質(zhì)量、附加阻尼和附加剛度,影響系統(tǒng)固有頻率和阻尼比。

2) 懸臂梁在時(shí)變流體中的一階固有頻率隨流體流動(dòng)速度增大而增大,隨流體浸沒(méi)深度、流體黏性和梁寬度的增大而減小;而流體運(yùn)動(dòng)引起的附加阻尼則隨上述參數(shù)的增大而增大。

3) 懸臂梁在下降的流體中做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí),頻率逐漸增大,阻尼減小,且變化率隨流體下降速度的增大而增大,當(dāng)流體黏性較小時(shí),下降流體引起的負(fù)阻尼會(huì)導(dǎo)致梁的振動(dòng)發(fā)散,對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不利影響。

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