郭思嘉 李昱增 李天梓 范喜迎 邱春印

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,武漢 430072)

二維Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型是在拓?fù)湮锢眍I(lǐng)域受到廣泛研究的一種模型,具有許多獨(dú)特的物理性質(zhì).它屬于高階拓?fù)浣^緣體,在第二條和第三條能帶間會(huì)產(chǎn)生具有連續(xù)譜束縛態(tài)(bound states in the continuum,BICs)性質(zhì)的角態(tài).本文首先介紹了二維SSH 模型的拓?fù)湫再|(zhì),在此基礎(chǔ)上論證了第二條和第三條能帶何時(shí)會(huì)在整個(gè)布里淵區(qū)上產(chǎn)生能隙.隨后,計(jì)算了模型的電荷極化分布和電荷密度分布,證明了當(dāng)x 方向上胞內(nèi)躍遷幾率和胞間躍遷幾率較大時(shí),x 方向的邊緣電荷極化激發(fā)了y 方向的邊緣態(tài),反之亦然.同時(shí),邊緣電荷極化激發(fā)了角上的異常填充,產(chǎn)生了具有良好局域性與魯棒性的拓?fù)浣菓B(tài).最后,構(gòu)建了一種聲學(xué)諧振腔模型,并證明了該模型可以較好的模擬各向異性二維SSH 模型的拓?fù)湫再|(zhì).

1 引言

拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要分支,主要研究幾何圖形或空間在連續(xù)形變下的不變性質(zhì).拓?fù)鋵W(xué)進(jìn)入物理領(lǐng)域的標(biāo)志是凝聚態(tài)物理中整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn):1980 年Klitzing 等[1]在強(qiáng)磁場(chǎng)中第一次發(fā)現(xiàn)了量子化的霍爾電導(dǎo),緊接著在1982 年Thouless 等[2]指出霍爾電導(dǎo)來(lái)源于能帶的非平庸拓?fù)湫再|(zhì).量子化霍爾電導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)賦予了拓?fù)鋵W(xué)全新的物理意義,由此拓?fù)湮锢韺W(xué)作為一個(gè)新興領(lǐng)域得到了廣泛關(guān)注.在拓?fù)鋵W(xué)研究中一般用拓?fù)洳蛔兞棵枋鐾負(fù)湮飸B(tài)的性質(zhì):當(dāng)兩種具有不同拓?fù)洳蛔兞康慕缑娼佑|時(shí),會(huì)產(chǎn)生空間局域化的邊界態(tài).除非帶隙關(guān)閉,系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞吭跀_動(dòng)或變形下保持不變,因此拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)具有抗邊界無(wú)序的魯棒性和單向傳播的邊緣態(tài)等新穎的物理性質(zhì)[3-9].用于描述聚乙炔原子鏈的一維Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型是具有非平庸拓?fù)湫再|(zhì)的最簡(jiǎn)單模型,它是一種具有交錯(cuò)躍遷幾率的無(wú)自旋費(fèi)米子模型,特點(diǎn)是當(dāng)胞間躍遷幾率v大于胞內(nèi)躍遷幾率w時(shí),會(huì)產(chǎn)生一對(duì)局域在有限長(zhǎng)SSH鏈兩端點(diǎn)的態(tài),即拓?fù)涔伦討B(tài);當(dāng)v小于w時(shí),拓?fù)涔伦討B(tài)消失.這一現(xiàn)象可由拓?fù)洳蛔兞俊袄p繞數(shù)”(winding number)進(jìn)行描述:當(dāng)v ＞w時(shí),纏繞數(shù)為1,體系對(duì)應(yīng)拓?fù)浞瞧接?當(dāng)v＜w時(shí),纏繞數(shù)為0,體系對(duì)應(yīng)拓?fù)淦接?這兩種不同的拓?fù)湎嗖荒茉诓魂P(guān)閉帶隙的前提下絕熱地相互轉(zhuǎn)換.

近年來(lái)隨著對(duì)拓?fù)湮飸B(tài)的進(jìn)一步研究,人們提出了高階拓?fù)浣^緣體(high order topological insulators,HOTIs)的概念[10,11].高階拓?fù)浣^緣體的“高階”主要體現(xiàn)在其獨(dú)特的體-邊界對(duì)應(yīng)關(guān)系上.對(duì)于d維的傳統(tǒng)拓?fù)浣^緣體,一般具有 (d-1) 維邊界態(tài);而d維的n階拓?fù)浣^緣體具有 (d-n) 維邊界態(tài),n滿足 1≤n≤d.研究表明,作為一維SSH 模型的擴(kuò)展,在二維方向具有躍遷幾率交替變化的體系可擁有高階拓?fù)涮匦?典型的代表包括電四極子模型、Kagome 晶格模型、方形晶格模型等[12-27],它們可支持零維的角態(tài)[28,29].對(duì)于這類模型,早期的研究集中于其第一、二條(或第三、四條)能帶間的邊緣態(tài)與角態(tài)[30-36];最近,隨著研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)了在第二條和第三條能帶之間的角態(tài).特別地,當(dāng)模型具有手性和C4對(duì)稱性時(shí)[37-41],這種角態(tài)是一類連續(xù)譜束縛態(tài)(bound states in the continuum,BICs)[42-51].因此,對(duì)于這種角態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì)的系統(tǒng)性研究顯得尤為必要.

高階拓?fù)浣^緣體的拓?fù)湎嘧円呀?jīng)有了一套標(biāo)準(zhǔn)化的描述方法,如通過(guò)威爾森循環(huán)(Willson loop)方法計(jì)算電四極矩(三維模型為電八極矩),從而得到其電荷極化與分?jǐn)?shù)電荷.又如通過(guò)計(jì)算的Zak phase 來(lái)區(qū)分不同的拓?fù)鋺B(tài).但以上的方法都有其局限性,無(wú)法解釋二維SSH 模型中角態(tài)是如何產(chǎn)生的.就此,本文主要做了以下工作:1) 打破二維SSH 模型的各向同性,并在各向異性體系中,找到了第二條和第三條能帶間存在完全帶隙的情形;2) 在帶隙打開的前提下,通過(guò)求解半無(wú)限大條帶模型的混合瓦尼爾函數(shù)問(wèn)題計(jì)算系統(tǒng)的電荷極化空間分布,并進(jìn)而計(jì)算電荷密度分布,尋找其與電荷極化分布的對(duì)應(yīng)關(guān)系;3) 驗(yàn)證了邊緣電荷極化與分?jǐn)?shù)電荷(fractional charge)和二維SSH 模型中分布于能隙內(nèi)部的邊緣態(tài)與角態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,以此為依據(jù)解釋了這類邊緣態(tài)與角態(tài)的產(chǎn)生機(jī)理;4) 構(gòu)建了一種聲學(xué)諧振腔模型,并通過(guò)改變諧振腔之間導(dǎo)管的直徑來(lái)控制格點(diǎn)之間的躍遷幾率,從而使其可以模擬不同參數(shù)的SSH 模型.最后計(jì)算證明其確實(shí)可以模擬各向異性二維SSH 模型的拓?fù)湫再|(zhì).

2 二維方形晶格SSH 模型

2.1 二維SSH 模型簡(jiǎn)介

一般的二維SSH 模型示意圖如圖1(a),陰影區(qū)域代表單個(gè)原胞的范圍,wx,wy代表各原子間x方向和y方向的胞間躍遷;vx,vy代表x方向和y方向的胞內(nèi)躍遷.我們給出一般二維SSH 模型在坐標(biāo)空間中的哈密頓量:

圖1 (a) 二維SSH 模型原胞示意圖;(b) 二維SSH 模型在倒空間的示意圖;(c) 二維SSH 模型的相圖.圖中黑色,綠色,藍(lán)色五角星標(biāo)記了三種典型的拓?fù)湎?其代表的參數(shù)(α,β)分別為 (1.5,3),(2,3),(2.5,3) ;(d)圖1(c)中黑色五角星代表的模型的帶結(jié)構(gòu)圖,紅色圓形標(biāo)記了高對(duì)稱點(diǎn)X 上第二條和第三條能帶的變化過(guò)程;(e) 綠色五角星代表的模型的帶結(jié)構(gòu)圖;(f) 藍(lán)色五角星代表的模型的帶結(jié)構(gòu)圖Fig.1.(a) Schematic diagram of the original cell of the 2D SSH model;(b) schematic diagram of the 2D SSH model in inverse space;(c) phase diagram of the 2D SSH model.The black,green and blue pentagrams in the figure mark the three typical topological phases with the parameters (α,β)as (1.5,3),(2,3)and (2.5,3) respectively;(d) a diagram of the band structure of the model represented by the black pentagram in Fig.1(c),and the red circles mark the evolution process of the second and third energy bands at the high symmetry point X;(e) band structure for the model represented by the green pentagram;(f) band structure for the model represented by the blue pentagram.

其中a,b,c,di,j標(biāo)定了x方向第i個(gè)原胞和y方向第j個(gè)原胞中的4 種不同原子.令h.c.為0,對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換,可以得到動(dòng)量空間中的哈密頓量:

求解其本征值問(wèn)題可得到色散關(guān)系:

二維SSH 模型的第一條能帶與第二條能帶間存在著拓?fù)溥吘墤B(tài),其拓?fù)湫再|(zhì)由胞內(nèi)躍遷與胞間躍遷的比值決定:1) 當(dāng)vx/wx ＞1 且vy/wy ＞1時(shí),存在沿x方向和y方向分布的邊緣態(tài);2) 當(dāng)vx/wx ＞1且vy/wy＜1或vx/wx＜1且vy/wy ＞1時(shí),存在沿y方向或沿x方向分布的邊緣態(tài);3) 當(dāng)vx/wx＜1且vy/wy＜1,不出現(xiàn)邊緣態(tài)[52].

2.2 二維各向異性SSH 模型中的拓?fù)湎嘧?/h3>

改變模型的參數(shù),即控制wx與wy,vx與vy的比例,可以打開第二條能帶和第三條能帶間的帶隙.在這一過(guò)程中存在著拓?fù)湎嘧?當(dāng)帶隙完全打開時(shí),會(huì)發(fā)現(xiàn)存在著國(guó)定在零能處的角態(tài).

首先需要確定拓?fù)湎嘧儠?huì)在何時(shí)出現(xiàn).我們構(gòu)建了一組參數(shù)α和β,在保持wy1 的同時(shí)令

可以看出:若wx ＞wy,則α ＞1,α越大,代表各向異性越強(qiáng);若wy ＞wx,則 0＜α＜1,α1 時(shí)模型為各向同性.同時(shí)β越大,代表模型的拓?fù)湫再|(zhì)越強(qiáng),β＜1時(shí)模型為拓?fù)淦接箲B(tài),β ＞1 時(shí)模型為拓?fù)浞瞧接箲B(tài).

我們規(guī)定躍遷幾率為正實(shí)數(shù),以α和β為參數(shù),畫出的所有可能存在模型的相圖,如圖1(c).所有模型被分為三種相:相①中帶隙打開且存在角態(tài),相②中帶隙關(guān)閉,相③代表模型處于拓?fù)淦接?角態(tài)不存在,在本文中不予以討論.由(2)式可知:

若wx ＞wy第二條能帶與第三條能帶的色散關(guān)系式為

若wx ＞wy,第二條能帶與第三條能帶的色散關(guān)系式為

若wx ＞wy,若需要確保整個(gè)布里淵區(qū)內(nèi)帶隙打開,只需要滿足在高對(duì)稱點(diǎn)X處E3(k)＞E2(k),將α,β帶入,可得

若wx ＞wy,同理可得

這便是相①和相②右左兩條邊界曲線的表達(dá)式,兩者與α1 相交于無(wú)窮遠(yuǎn)處.顯然在相①和相②邊界上存在拓?fù)湎嘧兊倪^(guò)程,在這一過(guò)程中第二條能帶與第三條能帶能帶間的帶隙逐漸打開.我們?cè)谙鄨D中挑選3組具有代表性的參數(shù)來(lái)描繪這一過(guò)程:相②;相①和相②的相邊界;相①,分別以黑色,綠色和藍(lán)色五角星標(biāo)記.其參數(shù)(α,β)分別為 (1.5,3),(2,3),(2.5,3) .由(2)式,作出它們?cè)诓祭餃Y區(qū)內(nèi)的色散關(guān)系圖,如圖1(d)、圖1(e)和圖1(f)所示.在圖1(d)中,第二條能帶和第三條能帶有兩個(gè)簡(jiǎn)并點(diǎn),而在圖1(e)中只剩下一個(gè),在圖1(f)中簡(jiǎn)并點(diǎn)完全消失,帶隙完全打開,這與我們推導(dǎo)出的結(jié)論相符.

3 邊緣電荷極化與分?jǐn)?shù)電荷

3.1 電荷極化分布的計(jì)算方法

雖然對(duì)于二維高階拓?fù)浣^緣體的研究已有一套行之有效的方法,但它們?cè)诮忉屧摻菓B(tài)產(chǎn)生機(jī)理時(shí)都存在著困難.例如,之前的研究中已經(jīng)證明,通過(guò)威爾森循環(huán)法計(jì)算不同參數(shù)下二維SSH 模型的Zak phase,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)占據(jù)能帶數(shù)目為1 時(shí),圖1(c)中相②與相③(即拓?fù)浞瞧接箲B(tài)與平庸態(tài))的Zak phase 不同,這一結(jié)果可以解釋第一條能帶與第二條能帶間邊緣態(tài)的成因.但當(dāng)占據(jù)能帶數(shù)目為2 時(shí),如表1 所列,可以看到Zak phase 始終為0.由于該角態(tài)是電子占據(jù)的第一條能帶和第二條能帶共同作用的結(jié)果,因此相①和相②間的拓?fù)湎嘧儫o(wú)法通過(guò)計(jì)算Zak phase 得到較好的解釋.

表1 運(yùn)用威爾森循環(huán)法計(jì)算二維SSH 模型Zak phase 的結(jié)果Table 1.Results of the two-dimensional SSH model Zak phase using the Willson Loop method.

Benalcazar 等[53]也于2017 年提出了一種通過(guò)電四極矩計(jì)算電子極化與角分?jǐn)?shù)電荷的方法,并成功解釋了電四極子中的拓?fù)洮F(xiàn)象.但將模型量子化時(shí),需要滿足兩個(gè)條件:1) 至少要有兩條被占據(jù)能帶;2) 保護(hù)體偶極矩的對(duì)稱性需要消失.他們通過(guò)在緊束縛模型中引入負(fù)數(shù)躍遷幾率從而解決了這一問(wèn)題,但這也意味著該方法無(wú)法直接地被套用在二維SSH 模型上.

我們采用另一種方法來(lái)計(jì)算二維SSH 模型的電荷極化的空間分布[54,55].首先考慮一y方向上有Ny個(gè)格點(diǎn)的二維晶格,為了計(jì)算x方向的電荷極化分量(該分量是一以y坐標(biāo)為參量的方程),讓該模型具有沿x方向的周期性邊界條件.由此可給出系統(tǒng)哈密頓量:

其中n∈1···Norb×Ny.假設(shè)該二維布洛赫哈密頓量具有沿y方向變?yōu)殚_放邊界,并存在Nocc條被填充能帶,其對(duì)應(yīng)的贗一維哈密頓量hkx有Nocc×Ry條被填充能帶.依此,(5)式中的哈密頓量可對(duì)角化:

其中

由此可以給出混合瓦尼爾方程:

這可以讓我們解決(9)式中的沿y方向的混合瓦尼爾函數(shù)問(wèn)題.特別地,它讓我們可以確定電荷極化是否局域在某一確定格點(diǎn),即Ry處.電荷極化x方向分量為

對(duì)y方向分量,同理有

使用Matlab 軟件對(duì)模型進(jìn)行計(jì)算.在計(jì)算前,需要對(duì)模型哈密頓量進(jìn)行修正:

其中τ0為 2×2單位矩陣.與(1)式中的H(k) 不同,h(k)中存在著在位能±δτ0,因?yàn)樵诎胩畛錉顟B(tài)下,體帶的負(fù)能量部分和四個(gè)角態(tài)中的兩個(gè)已被填充,需要一無(wú)限小的在位能±δτ0歷經(jīng)一系列絕熱變化來(lái)打開角態(tài)處的簡(jiǎn)并.δτ0的符號(hào)決定了哪一條對(duì)角線上的角態(tài)被填充.以下統(tǒng)一取δ1×10-4.

為了保證邊緣電荷極化和角分?jǐn)?shù)電荷存在,選區(qū)的參數(shù)應(yīng)位于相①中,同時(shí)α和β值應(yīng)盡可能大以加寬能隙,便于觀察態(tài)分布狀況.選取參數(shù)(α,β)(5,4).作為對(duì)照,計(jì)算了一種拓?fù)淦接沟那樾?使用參數(shù)為 (α,β)(5,0.25) .實(shí)際計(jì)算結(jié)果如圖2(a)和圖2(b)所示:在y方向上,py始終為0;在x方向上,僅當(dāng)Ry1 或Ry20時(shí),px1/2(由于在位能δτ0的存在,計(jì)算時(shí)會(huì)有輕微誤差),說(shuō)明此時(shí)電荷極化大小為1/2 且僅分布在x方向兩端,即模型的邊緣上.以下記這類分布于邊緣的電荷極化為.而在拓?fù)淦接沟那樾蜗?電荷極化無(wú)論在哪個(gè)方向上都為0.

圖2 電荷極化與電荷密度分布計(jì)算結(jié)果 (a) 電荷極化分布計(jì)算結(jié)果.使用的參數(shù)為 α=5,β=4,計(jì)算中使用了半無(wú)限大的條帶模型,開放邊界的一側(cè)計(jì)算了有20 個(gè)原胞,從左至右分別為電荷極化的x 方向分量和y 方向分量;(b) 拓?fù)淦接箲B(tài)下的電荷極化分布.使用的參數(shù)為 α=5,β=0.25 ;(c) 電荷密度分布計(jì)算結(jié)果,計(jì)算中使用了20×20 個(gè)原胞;(d) 拓?fù)淦接箲B(tài)下的電荷極化分布Fig.2.Calculation result of polarization and charge density distribution:(a) Calculated results of the polarization intensity distribution.The parameters used are α=5,β=4,a semi-infinite strip model is used,and there are 20 primary cells on the side of the open boundary.From left to right,for the x-and y-directional components of the polarization;(b) calculated results of the polarization intensity distribution in topological trival phase.The parameters used are α=5,β=0.25 ;(c) calculated results of the charge density distribution,20×20 unit cells used in the calculation;(d) calculated results of the charge density distribution in topological trival phase.

由于模型本身的C2v對(duì)稱性,vy ＞vx時(shí)有相似的結(jié)論:x方向上不存在邊緣電荷極化;y方向上存在著1/2 的邊緣電荷極化.事實(shí)上,只要模型處于圖1(c)的相①中,就會(huì)存在大小為1/2 的邊緣電荷極化.

3.2 電荷密度分布與分?jǐn)?shù)角電荷

接下來(lái)將周期性邊界條件替換為開放邊界條件,假設(shè)此時(shí)存在Nx×Ny個(gè)格點(diǎn).在開放邊界條件下,邊緣電荷極化會(huì)被另一方向的開放邊界截?cái)?從使電荷在各邊界兩端,即四角上累積.這一結(jié)論可以通過(guò)計(jì)算電荷的空間密度分布加以驗(yàn)證.定義第 (Rx,Ry)個(gè)原胞波函數(shù)為un(Rx,Ry,?),其中?標(biāo)定了原胞中的一個(gè)格點(diǎn).電荷密度分布定義式為

其中un(Rx,Ry,?)是第n個(gè)本征態(tài)|un〉的分量.依據(jù)上式,計(jì)算模型的電荷密度分布,如圖2(c)和圖2(d)所示.通過(guò)計(jì)算結(jié)果可知,每個(gè)原胞內(nèi)存在著作為背景的 2e電荷密度,這是由于二維SSH 模型是一類半填充模型,每個(gè)格點(diǎn)貢獻(xiàn)了1/2 個(gè)電子.除此之外,在四角上電荷密度會(huì)發(fā)生大小為1/2 突變,將其記為Qcorner.而在拓?fù)淦接沟那樾蜗?電荷密度不會(huì)發(fā)生突變.

3.3 分?jǐn)?shù)電荷與邊緣電荷極化的關(guān)系

從圖2(c)不難驗(yàn)證角電荷Qcorner與邊緣電荷極化存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系:.這一點(diǎn)可以加以證明:電荷密度ρ定義為偶極矩密度p的負(fù)散度:

Qcorner是ρ在整個(gè)平面上的積分

化簡(jiǎn)過(guò)程中使用了斯托克斯定理(Stokes theorem).由以上計(jì)算結(jié)果可知,在二維各向異性SSH 模型中,電荷極化全部分布在邊緣上,故存在:

這一結(jié)果說(shuō)明在二維各向異性SSH 模型中,Qcorner完全由邊緣電荷極化所產(chǎn)生.

4 邊緣態(tài)與角態(tài)的生成機(jī)理

接下來(lái)我們希望驗(yàn)證當(dāng)能隙打開時(shí),邊緣電荷極化與角電荷同拓?fù)溥吘墤B(tài)與角態(tài)具有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系.使用Matlab 軟件,運(yùn)用緊束縛原理,計(jì)算一具有 20×20 個(gè)原胞的模型的態(tài)密度分布.計(jì)算結(jié)果如圖3(a)所示,可以看到第二條和第三條能帶的能隙中存在著角態(tài)和邊緣態(tài).我們也計(jì)算了x方向和y方向的投影能帶,如圖3(b)和圖3(c)所示.圖3(c)顯示位于帶隙內(nèi)部邊緣態(tài)的沿y方向分布,需要注意的是,圖3(b)顯示沿x方向也存在著邊緣態(tài),且位于第一條能帶與第二條能帶和第三條能帶與第四條能帶內(nèi)部.由于模型滿足手性對(duì)稱,兩類邊緣態(tài)關(guān)于零能對(duì)稱分布,且角態(tài)固定在零能處.最后分別計(jì)算了體態(tài),y方向邊緣態(tài)及角態(tài)的局域密度分布,結(jié)果如圖3(d)、圖3(e)和圖3(f)所示.圖中各格點(diǎn)上的強(qiáng)度是對(duì)所有存在的體態(tài)、邊緣態(tài)或角態(tài)中同一格點(diǎn)上強(qiáng)度的歸一平均.

由此可以總結(jié):當(dāng)邊緣上存在著1/2 的電荷極化時(shí),會(huì)觀察到對(duì)應(yīng)方向的邊緣態(tài);同時(shí),存在分?jǐn)?shù)角電荷時(shí),會(huì)觀察到固定在零能處的角態(tài).對(duì)此我們給出一種解釋:根據(jù)拓?fù)涠鄻O子絕緣體理論,存在邊緣電荷極化時(shí),電荷會(huì)在晶格的邊界處聚集.對(duì)于所有被占據(jù)的能帶,這種效應(yīng)會(huì)等效于在電荷極化的分布方向上產(chǎn)生偶極矩,從而激發(fā)拓?fù)溥吘墤B(tài).值得注意的是,雖然,但如圖3(b)所示,在第一條與第二條能帶及第三條與第四條能帶間仍存在著x方向邊緣態(tài).這是由于在計(jì)算邊緣電荷極化時(shí)考慮了第一條能帶和第二條能帶的共同作用.而這類邊緣態(tài)由于僅受第一條能帶或前三條能帶(由于手性對(duì)稱,兩者等同)產(chǎn)生的電荷極化影響,因此不適用該結(jié)論.

同時(shí)邊緣電荷極化在全開放邊界下會(huì)產(chǎn)生分?jǐn)?shù)角電荷.在經(jīng)典的無(wú)自旋且具有時(shí)間反演對(duì)稱性體系中,具有Cn對(duì)稱性的二維拓?fù)渚Ц窠^緣體(topological crystalline insulators,TCIs)的分?jǐn)?shù)角電荷與異常填充(filling anomaly)有關(guān):這是TCIs 的一種固有拓?fù)鋵傩?其產(chǎn)生機(jī)理源自滿足電中性和晶體旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性所需的電子數(shù)量間的不匹配.二維SSH 模型具有C4或C2對(duì)稱性(各向異性模型為C2對(duì)稱性),由于該體系處于半填充狀態(tài),每個(gè)原胞只提供兩個(gè)電子,為了維持自身的晶體對(duì)稱性在角上會(huì)自發(fā)地出現(xiàn)1/2 的分?jǐn)?shù)電荷.這類分?jǐn)?shù)電荷激發(fā)了如圖3(f)所示的角態(tài).由于晶格對(duì)稱性的約束,該角態(tài)會(huì)被束縛在原位,因此這類角態(tài)具有很好的魯棒性(robustness):一旦發(fā)生偏離,其強(qiáng)度會(huì)很快衰減為0.

5 聲學(xué)模擬

嘗試?yán)靡唤M相互連接的聲學(xué)共振腔來(lái)模擬二維SSH 模型.單個(gè)的方形共振腔代表了單一格點(diǎn),胞內(nèi)躍遷用共振腔間的水平方形中空導(dǎo)管代替.假設(shè)共振腔的外壁是極薄的,并滿足剛性邊界條件,則聲波在共振腔內(nèi)部會(huì)以駐波的形式傳播并不產(chǎn)生耗散.在x,y,z方向上,都會(huì)產(chǎn)生無(wú)窮多組相互獨(dú)立的本征模,大小為各方向基頻的整數(shù)倍.

諧振腔長(zhǎng)寬皆為r100 mm,高H340 mm .由于H ?r,可以僅考慮z方向上的z1模,其頻率為 500 Hz(聲速c340 m/s).以最近鄰方式連接的四個(gè)共振腔代表了二維SSH 模型的一個(gè)原胞,如圖4(a)所示.單個(gè)原胞為一邊長(zhǎng)為a800 mm 的正方形,兩諧振腔中心的距離為 1/2a.四種不同粗細(xì)的導(dǎo)管代表了四種不同的躍遷,分別為44 mm(代表wx),88 mm(代表vx),20 mm(代表wy),40 mm(代表vy).各方向躍遷幾率大小大致與導(dǎo)管直徑的平方成正比,這意味著該模型代表的原胞滿足 (α,β)(5,4),與理論計(jì)算所用模型一致.

我們?cè)趚方向和y方向添加周期性邊界條件,計(jì)算其帶結(jié)構(gòu),如圖4(b)所示.從圖4(b)可以看到,此時(shí)第二條能帶與第三條能帶間的帶隙打開,同時(shí)整體帶結(jié)構(gòu)關(guān)于500 Hz 呈鏡面對(duì)稱.還計(jì)算了該模型的態(tài)密度分布,如圖4(c)所示,可以看到模擬計(jì)算結(jié)果與圖3(a)基本一致.在態(tài)密度分布圖中挑選有代表性的體態(tài),邊緣態(tài)與角態(tài),作出它們的聲壓場(chǎng)分布圖,如圖4(d)—(f)所示,可以看到其與理論計(jì)算的強(qiáng)度分布吻合的很好.這說(shuō)明該聲學(xué)諧振腔模型不僅可以模擬二維SSH 模型,次級(jí)躍遷對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響也比較微弱,能夠較好的符合緊束縛近似.

6 結(jié)論

本文研究了各向異性二維SSH 模型的拓?fù)湫再|(zhì),并在此基礎(chǔ)上探討了一種打開第二條能帶和第三條能帶的簡(jiǎn)并,在整個(gè)布里淵區(qū)上生成完全帶隙的可行方案.在此基礎(chǔ)上,通過(guò)求解半無(wú)限大條帶模型的混合瓦尼爾函數(shù)問(wèn)題來(lái)計(jì)算電荷極化分布.計(jì)算結(jié)果顯示,電荷極化僅分布在躍遷幾率較大的方向的邊界上,大小恒為1/2.同時(shí)還計(jì)算了電荷密度分布,觀察到能隙打開時(shí),電荷密度在四角上存在著大小為 1/2e的突變,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)電荷極化與偶極矩存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系:,這說(shuō)明角電荷完全由邊緣電荷極化產(chǎn)生.據(jù)此,我們給出了一種用于解釋各向異性二維SSH 模型中拓?fù)溥吘墤B(tài)與角態(tài)產(chǎn)生的理論:引入各向異性后,邊緣偶極矩激發(fā)了拓?fù)溥吘墤B(tài);同時(shí)在開放邊界下,邊緣偶極矩會(huì)使電荷聚集在角上,從而誘導(dǎo)拓?fù)浣菓B(tài)的產(chǎn)生.這類分?jǐn)?shù)角電荷屬于異常填充,是模型為了同時(shí)保持電中性和自身的晶格旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性而自發(fā)形成的.異常填充產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)角電荷具有較好的局域性與魯棒性,這類性質(zhì)使得此類模型可能在定向傳導(dǎo)以及精確信號(hào)傳播等領(lǐng)域具備較好的應(yīng)用前景.最后,構(gòu)建了一種聲學(xué)諧振腔模型,并運(yùn)用Comsol 計(jì)算,證明了它可以在緊束縛近似下較好的模擬各向異性二維SSH 模型的拓?fù)湫再|(zhì),這為該模型在聲學(xué)及聲子晶體方面的應(yīng)用找到了一種可能的途徑.