裴加旺 劉 蕊

(北京景山學校,北京 100006)

1 引言

微元法是分析、解決物理問題的常用方法,體現(xiàn)了從部分到整體的科學思維。使用微元法處理問題時,需將研究對象或研究的過程在空間或時間上進行無限細分,得到無數(shù)個“微元”或“元過程”,它們所遵循的物理規(guī)律是相同的。我們用已知的可求的規(guī)律分析單個“微元”或“元過程”,再將分析結(jié)果應用適當?shù)奈锢硭枷牖驍?shù)學方法進行處理,獲得關(guān)于研究對象或過程整體的規(guī)律。

本文中我們主要分析兩類應用微元法求解的問題,一類是分析變量變化率的問題,另一類是求變化量的累積效果問題。從數(shù)學角度看,前一類問題對應著微分思想,后一類問題對應著積分思想,解決它們的關(guān)鍵都在于對微元的選取和處理,一是要正確地應用物理規(guī)律寫出微元相關(guān)表達式,二是要對微元表達式進行合適的處理。

2 微元法在高中物理應用的實例分析

2.1 利用微元分析變量的變化率

例1：一物體做變速直線運動,推導速度對時間的變化率與速度對空間的變化率的關(guān)系,并應用該結(jié)論證明在自由落體運動過程中速度對空間變化率在逐漸減小。

例2：物體沿著圓周的運動是常見運動,勻速圓周運動是其中最簡單的一種,勻速圓周運動是一種變速運動,具有加速度。

(1) 可按如下模型來研究做勻速圓周運動的物體的加速度，設質(zhì)點沿圓心為O、半徑為r的圓周運動,速度大小恒定為v,某時刻質(zhì)點運動到位置A,經(jīng)極短時間Δt后到達位置B,如圖1甲所示,請根據(jù)加速度的定義,推導該質(zhì)點運動到位置A時加速度的大小aA。

(2) 研究勻變速直線運動的“位移”時,常應用“以恒代變”的方法，研究曲線運動的“瞬時速度”時,常用“化曲為直”的方法。而在研究一般曲線運動時,用的更多的是 “化曲為圓”的方法,即對于一般曲線運動,盡管曲線上各位置的彎曲程度不同,但可以在研究時將曲線分割為許多很短的小段,質(zhì)點在每一小段的運動均可看作半徑為某個半徑為ρ的圓周運動的一部分,可以采用分析圓周運動的方法進行研究,ρ稱為曲線的曲率半徑,如圖1乙所示,請據(jù)此分析圖1丙所示的斜拋軌跡在最高點處的曲率半徑ρ。

甲

(3) 事實上,對于涉及曲線運動加速度問題的研究中,“化曲為圓”并不是唯一的方法,我們還可以采用一種“化圓為拋物線”的思考方式,勻速圓周運動在短時間Δt內(nèi)可以分解為沿切線方向的勻速運動、沿法線方向的勻變速運動。設圓弧半徑為R,質(zhì)點做勻速圓周運動的速度大小為v,請推導質(zhì)點做勻速圓周運動過程中的向心加速度a。

圖2

點評:解決實際問題時我們希望了解瞬時變化率的特征。這時就需要先用微元的形式把一段時間或一段空間的平均變化率表示出來,得到的表達式體現(xiàn)了物理規(guī)律在“元過程”的應用(上面兩道例題里應用到了運動學定律和牛頓第二定律)。在取極值求瞬時變化率的時候,要注意當時間或空間變量趨近于零時,描述微元的方式同描述整體量的方式相比可能發(fā)生了變化,在極限情況下對表達式進行一些合理的數(shù)學近似和處理,就是所謂的“化變?yōu)楹恪薄盎鸀橹薄薄盎鸀閳A”“化圓為拋物線”的思想,把難以解決的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題。

2.2 利用微元求和，求變化量的累積效果

在物理研究中,經(jīng)常會遇到變化量的累積效果問題。在高中階段的學習中就遇到很多這類問題,比如變速運動位移問題、變力做功問題、變力沖量問題和電容器儲存電荷量問題等。在人教版教材中,探究勻變速運動的位移公式、探究彈簧彈性勢能的表達式、觀察電容器充放電過程等內(nèi)容都用到了微元法。微元法在處理變化量的累積效果問題時,通過限制變化發(fā)生的空間和時間來限制變化,化“全過程中的變量”為“元過程中的恒量”,進而可以用適用于恒量的公式去描述和分析“元過程”,實現(xiàn)“化變?yōu)楹恪薄盎鸀橹薄?。進一步對變量在“元過程”中的效果進行累積求和,就可以得到變化量在全過程的累積效果。

應用微元法處理該類問題,一般分為兩步:

(2) 通過數(shù)學處理,對“元過程”的效果累積求和得到可解方程,再對未知量進行求解。這一步經(jīng)常用到的方法是圖像法，把相關(guān)函數(shù)圖像與坐標軸所圍的“面積”作為求和運算的結(jié)果。人教版教材中探究勻變速運動的位移公式、探究彈簧彈性勢能的表達式、觀察電容器充放電過程等內(nèi)容中,都用到了這種處理方法。在解題時,當題目給出了某種變量y隨另一變量x改變的y-x圖像時,就可嘗試使微元表達式中含有yΔx的形式,進而用圖像法求解。

圖3

例3：如圖3所示,兩根光滑的平行金屬導軌水平放置且與電阻為R的導體相連,導軌之間距離為L,其所在空間存在垂直于導軌平面的勻強磁場,磁感應強度為B。有一導體棒ab,質(zhì)量為m,在導軌上以初速度v0向右運動,導軌和棒的電阻均不計。求:

(1) 在導體棒的整個運動過程中通過閉合回路的電荷量q；

(2) 導體棒在整個運動過程中的位移x。

圖4

例4：如圖4所示,金屬導軌MON固定在水平平面內(nèi),其頂角θ=45°,其處在豎直方向的磁感應強度為B的勻強磁場中。一根垂直于ON的導體棒在水平外力作用下沿導軌MON以恒定速度v0向右滑動,導體棒質(zhì)量為m,棒與導軌單位長度的電阻均勻為r。在滑動過程中棒與導軌始終保持良好接觸。t=0時,導體棒位于O處,求:若在t0時刻撤去外力F,導體棒最終靜止在導軌上的坐標x。

圖5

點評:在本題中進行了換元計算，lvΔt=lΔx=ΔS1,把時間元先換成了線段元,再換成了面積元,這樣做可以用導體棒掃過的面積代表微元累積之和。用微元法解題時，原始公式中的微元在解題過程中可能根據(jù)需要替換成其它微元,替換的目標是新微元累積求和的結(jié)果可以用題目已知條件表示出來。

3 應用微元法解題的策略

應用微元法解題可以分為3個步驟:微元的選取、微元過程的物理表達和對微元表達式的處理。

(1) 要根據(jù)題目的情景選取合適的微元,如Δt、Δx、ΔS面、ΔV體、Δm、Δq等,要確保選取的微元能夠?qū)欢ǖ脑^程,該元過程具有整個過程所不具備的“優(yōu)越性”,體現(xiàn)在“化變?yōu)楹恪薄盎鸀橹薄鄙?使得不能在全過程中應用的公式可以應用在元過程中,并且每一個元過程都遵循同樣的規(guī)律。

(2) 把物理規(guī)律用微元表達式體現(xiàn)出來,這里表達式的選取要有目的性,要能夠把已知量和待求量聯(lián)系起來,還要有利于進一步的數(shù)學處理。

(3) 利用換元法、圖像法等方法對微元表達式進行求和處理,得到結(jié)果。

微元法的應用要建立在學生深刻理解物理規(guī)律、物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系的基礎上。教師進行微元法的教學時,要通過對經(jīng)典例題的講解,引導學生反思總結(jié),提高學生對知識的關(guān)聯(lián)整合能力,提高學生對問題本質(zhì)的分析概括能力,進而能夠在不同情境中實現(xiàn)知識和方法的遷移,切實提升學生的物理學科核心素養(yǎng)。