陳 平 顧 娟 單彩虹

（陸軍裝甲兵學(xué)院 北京 100072）

0 引言

在堅(jiān)持面向世界科技前沿、面向經(jīng)濟(jì)主戰(zhàn)場(chǎng)、面向國(guó)家重大需求、面向人民生命健康，深入實(shí)施新時(shí)代人才強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略下，高等教育院校承擔(dān)著培育新型人才的重任。而作為高等教育之一的數(shù)學(xué)教育是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯和抽象思維能力、幾何直觀能力、空間想象力以及對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的自學(xué)能力和實(shí)際操作能力等，其教學(xué)原則是在教師主導(dǎo)的前提下，發(fā)揮學(xué)生的主體性原則[1]。作為大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的《線性代數(shù)》《高等數(shù)學(xué)》《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，所包含的教學(xué)內(nèi)容在理工科專業(yè)起著重要作用。首先，隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)和人工智能技術(shù)的發(fā)展，當(dāng)代大部分新學(xué)科、新技術(shù)都興起與數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的交叉，數(shù)學(xué)思維和方法貫穿了一切科學(xué)領(lǐng)域。掌握一定的數(shù)學(xué)理論和模型，對(duì)學(xué)生的專業(yè)學(xué)習(xí)和未來(lái)發(fā)展有一定的影響；其次，大學(xué)數(shù)學(xué)教育旨在培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神、探索創(chuàng)新精神，同時(shí)注重將辯證統(tǒng)一的唯物主義精神、無(wú)私奉獻(xiàn)的人文主義精神以及艱苦鉆研的科研精神等潛移默化的滲透到課程教學(xué)中去。因此，大學(xué)數(shù)學(xué)課程是大學(xué)生學(xué)習(xí)生涯中至關(guān)重要的基礎(chǔ)必修課程。

然而，大學(xué)數(shù)學(xué)課程相比初等數(shù)學(xué)課程課時(shí)較少，內(nèi)容較多，使得以往的課堂教學(xué)以教師為主體，授課過(guò)程中多以傳統(tǒng)教授為主，重知識(shí)講解和邏輯推導(dǎo)，輕實(shí)際應(yīng)用，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)課程內(nèi)容過(guò)于抽象，晦澀難懂，更談不上提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，所以必須轉(zhuǎn)變教學(xué)思想和觀念，以學(xué)生為主體，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，培養(yǎng)高素質(zhì)有創(chuàng)新的新型人才。因此，將對(duì)分課堂和BOPPPS教學(xué)模式相結(jié)合，改革大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容，可以有效優(yōu)化課堂教學(xué)效果，提高學(xué)生的自學(xué)能力，并樹立其數(shù)學(xué)建模思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

1 教學(xué)模式概述

BOPPPS教學(xué)模式是以建構(gòu)主義和交際法為理論依據(jù)，以有效教學(xué)設(shè)計(jì)著稱，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生作為課堂的主要角色，應(yīng)全方位參與式學(xué)習(xí)而不只是聽(tīng)講；在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)及時(shí)獲得學(xué)生的反饋信息，以調(diào)整后續(xù)教學(xué)活動(dòng)以期順利達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師可以借鑒這種模型，充分應(yīng)用靈活多樣、直觀形象的教學(xué)手段，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生能深刻地領(lǐng)會(huì)和掌握所學(xué)知識(shí)。它將課堂教學(xué)過(guò)程分成了六個(gè)模塊，分別是導(dǎo)言（Bridge-in）、學(xué)習(xí)目標(biāo)（Objective/Outcome）、前測(cè)（Pre-assessment）、參與式學(xué)習(xí)（Participatory Learning）、后測(cè)（Post-assessment）和總結(jié)（Summary）[7]。

對(duì)分課堂[3]是一種新的課堂教學(xué)改革模式，它將課堂教學(xué)時(shí)間分成兩部分。一部分時(shí)間以教師講授基本知識(shí)、基本概念為主。教師在課堂中著重講授課程重點(diǎn)、難點(diǎn)，但并不將課程內(nèi)容和盤托出，給學(xué)生留白。學(xué)生利用另一部分時(shí)間進(jìn)行學(xué)習(xí)討論。學(xué)生通過(guò)教師提供的基本內(nèi)容和課程重難點(diǎn)，根據(jù)自己的個(gè)人特點(diǎn)和具體情況自行完成內(nèi)化吸收過(guò)程，針對(duì)個(gè)人情況對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行全面理解。內(nèi)化吸收之后，學(xué)生回到課堂分組討論自己學(xué)過(guò)的內(nèi)容，然后與全班和教師進(jìn)行深入的互動(dòng)交流。同一內(nèi)容，經(jīng)過(guò)教師講授、課后復(fù)習(xí)、分組討論三個(gè)過(guò)程分階段學(xué)習(xí)，理解程度逐步加深。對(duì)分課堂將教學(xué)過(guò)程分為講授（Presenta-tion）、內(nèi)化吸收（Assimilation）和討論（Discussion）三個(gè)模塊，也可簡(jiǎn)稱為PAD課堂。

兩種教學(xué)模式目的雖然都是促進(jìn)學(xué)生積極參與課堂學(xué)習(xí)，但是對(duì)分課堂的教學(xué)模式側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，以及其交流、溝通、發(fā)表、見(jiàn)解等能力，而BOPPPS教學(xué)模式則重點(diǎn)描述了課堂教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)的流程化體系，使得課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)、開發(fā)和組織更加條理化、合理化和易操作化。因此將對(duì)分課堂和BOPPPS教學(xué)模式有效結(jié)合，可以有效激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)能力以及團(tuán)隊(duì)合作精神，以及提高學(xué)生深度學(xué)習(xí)的水平。

2 基于兩種模式下的“正態(tài)分布”課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

以《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中的“正態(tài)分布”一節(jié)內(nèi)容為例，將本節(jié)課進(jìn)行對(duì)分課堂和BOPPPS教學(xué)模式的有效融合，結(jié)合幻燈片和計(jì)算機(jī)軟件等信息資源進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

2.1 導(dǎo)言──問(wèn)題引入

在講授理論知識(shí)前，為了吸引學(xué)生的注意力和提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，首先介紹兩個(gè)生動(dòng)的實(shí)際案例，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到正態(tài)分布在實(shí)際生活中的普遍性。

引例1是2019-2020秋季學(xué)期大二某班學(xué)生的某次概率測(cè)試成績(jī)，如圖1直方圖所示。引例2是對(duì)某大學(xué)男大學(xué)生的身高進(jìn)行了實(shí)際調(diào)查，得到了如圖2所示的關(guān)于這所大學(xué)男生身高的直方圖。讓學(xué)生了解到生活中的數(shù)據(jù)是可以用圖形表示，并對(duì)正態(tài)隨機(jī)變量的存在有感性認(rèn)識(shí)。

圖1：概率測(cè)試成績(jī)

圖2：男大學(xué)生身高

2.2 學(xué)習(xí)目標(biāo)──對(duì)學(xué)生的要求

學(xué)習(xí)目標(biāo)是讓學(xué)生明確是為了讓學(xué)生明確本堂課的學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)習(xí)完本堂課后應(yīng)該能做到什么。由于學(xué)習(xí)目標(biāo)必須滿足具體、可衡量、可達(dá)到以及和其他目標(biāo)具有相關(guān)性等幾個(gè)要求，因此，本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)為以下幾點(diǎn)：

（1）背誦正態(tài)分布（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）的概率密度，并通過(guò)概率密度寫出正態(tài)分布（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）的分布函數(shù)；

（2）對(duì)照分布函數(shù)的性質(zhì)，推測(cè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)；

（3）證明正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化定理；

（4）熟練運(yùn)用正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理進(jìn)行計(jì)算。

2.3 前測(cè)──問(wèn)答式

前測(cè)的目的是了解學(xué)生對(duì)本堂課程內(nèi)容之前所學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況。因此，采用了提問(wèn)應(yīng)答的方式給出了兩個(gè)問(wèn)題：分布函數(shù)的定義和性質(zhì)是什么？引例1和引例2中的圖形具有的共同特點(diǎn)是什么？

2.4 參與式學(xué)習(xí)──自學(xué)后進(jìn)行小組討論

參與式學(xué)習(xí)的目的在于讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、深入思考、強(qiáng)化印象，要以學(xué)生為中心，因此這段時(shí)間教師不予講解，提出幾個(gè)思考題，先讓學(xué)生自學(xué)。在自主學(xué)習(xí)結(jié)束后，帶著問(wèn)題和觀點(diǎn)進(jìn)行小組討論。討論結(jié)束后，將小組的觀點(diǎn)整理成文字形式，選擇一名學(xué)生向老師展示學(xué)習(xí)成果。如果在小組討論過(guò)程中，問(wèn)題得不到解答或者觀點(diǎn)不統(tǒng)一的情況下，可留在答疑環(huán)節(jié)，由老師統(tǒng)一解答。在參與式學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以參考教材、慕課等網(wǎng)課平臺(tái)，或者通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)去搜索相關(guān)材料。

正態(tài)分布的思考題設(shè)置如下：

（1）正態(tài)分布中兩個(gè)參數(shù)和的意義是什么？

（2）為什么要討論標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布？它的意義是什么？

（3）如何對(duì)正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算?

（4）為什么正態(tài)分布具有三倍的標(biāo)準(zhǔn)差原則？三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則在實(shí)際中有哪些應(yīng)用？

（5）正態(tài)分布是由誰(shuí)發(fā)現(xiàn)的？

（6）生活中還有哪些是正態(tài)分布？

學(xué)生通過(guò)小組間分享學(xué)習(xí)結(jié)果，進(jìn)行歸納總結(jié)，對(duì)本節(jié)內(nèi)容有了更深刻的理解體會(huì)。首先，通過(guò)分析圖形進(jìn)一步掌握以下知識(shí)：根據(jù)正態(tài)分布的概率密度曲線在x趨于無(wú)窮時(shí)會(huì)無(wú)限逼近于零，加深了對(duì)概率密度規(guī)范性這一知識(shí)的掌握；通過(guò)改變參數(shù)的大小，觀察圖形的變化，得出是位置參數(shù)，是尺度參數(shù)。當(dāng)固定，改變的大小時(shí)，圖形的形狀不變，只是沿x著軸作平移變換；當(dāng)固定，改變的大小時(shí)，圖形的對(duì)稱軸不變，而形狀在改變。越小，圖形越高越瘦，越大，圖形越矮越胖。其次，正態(tài)分布在求分布函數(shù)時(shí)比較復(fù)雜，而標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)可查表得到，因此將正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化后，可得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算。第三，隨機(jī)變量的取值幾乎都落在這個(gè)范圍內(nèi)，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則。它的應(yīng)用是六西格瑪標(biāo)準(zhǔn)，其主要依據(jù)之一為正態(tài)分布。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是20世紀(jì)80年代由摩托羅拉公司提出的概念和相應(yīng)的管理體系，并全力應(yīng)用到公司的各個(gè)方面，從開始實(shí)施的1986年到1999年，公司平均每年提高生產(chǎn)率12.3%，不良率只有以前的1/20，大大提高了企業(yè)業(yè)績(jī)與競(jìng)爭(zhēng)力。第四，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗最早發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的密度形式，由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯加以推廣，正態(tài)分布的密度才以概率分布的身份引起人們的重視，因此正態(tài)分布也稱為高斯分布。第五，正態(tài)分布是日常生活中最常見(jiàn)的也是最重要的一種分布。像學(xué)習(xí)成績(jī)、測(cè)量誤差、身高、體重、零件尺寸等都近似服從正態(tài)分布。

2.5 后測(cè)──課堂練習(xí)

后測(cè)是用來(lái)評(píng)估學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果、檢視學(xué)生是否完成學(xué)習(xí)目標(biāo)。本節(jié)課主要采用了案例求解的形式進(jìn)行測(cè)試學(xué)生學(xué)習(xí)成果。

案例1坦克駕駛室高度的設(shè)計(jì)。

問(wèn)題提出：坦克是現(xiàn)代陸上作戰(zhàn)的主要武器，有“陸戰(zhàn)之王”之美稱，它是一種具有強(qiáng)大的直射火力、高度越野機(jī)動(dòng)性和很強(qiáng)的裝甲防護(hù)力的履帶式裝甲戰(zhàn)斗車輛。由于坦克內(nèi)部配有武器系統(tǒng)、通信設(shè)備、三防裝置等裝置和設(shè)備，空間比較狹小，所以對(duì)于駕駛?cè)藛T的身高也是有要求的，盡量不需要太高，也不能太矮，否則影響士兵對(duì)道路情況的判斷。為此需要設(shè)計(jì)駕駛室的最低高度。人的身高服從，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，對(duì)于中國(guó)人，=1.75，2=0.05?，F(xiàn)要求艙內(nèi)不能筆直坐姿的人不超過(guò)5%，問(wèn)駕駛室至少需要多高？

在解答過(guò)程中，需要學(xué)生運(yùn)用建模的思維方式解決此問(wèn)題。需要考慮到在座位是固定的前提下，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求士兵坐姿時(shí)從臀部到頭頂?shù)母叨取？筛鶕?jù)已知和黃金分割點(diǎn)求得從臀部到頭頂滿足要求的最小高度，加上座位的高度即為駕駛室的高度。本題的理論基礎(chǔ)是正態(tài)分布的隨機(jī)變量落入一區(qū)間概率的計(jì)算方法。先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后，通過(guò)查表即可獲得相關(guān)概率。

模型建立：設(shè)駕駛室高度為h，士兵坐姿時(shí)從座位到頭頂?shù)母叨葹閄，則X～N(1.75×0.382,0.052)=N(0.6685,0.052)（0.618位黃金分割點(diǎn)）。

根據(jù)題意

若座位高0.35cm，則駕駛室高度設(shè)計(jì)為1.1475米即可。

在此過(guò)程中可以要求學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行輔助計(jì)算。軟件實(shí)現(xiàn)：可通過(guò)尋找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的（下）0.995的分位點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)，在Matlab軟件中相關(guān)命令為norminv(p,mu,sigma)。第一個(gè)參數(shù)為正態(tài)分布的（下）p分位點(diǎn)的概率p，即P{Z

在Matlab命令窗口中編寫命令：

案例2如何預(yù)測(cè)大學(xué)研究生考試中錄取分?jǐn)?shù)線及能否被錄取。

問(wèn)題提出：報(bào)考研究生考試，考生最關(guān)心的問(wèn)題是：自己能否達(dá)到最低錄取分?jǐn)?shù)線？自己的考試名次如何？能否被錄?。考僭O(shè)某大學(xué)2010年研究生招生準(zhǔn)備錄取160人，其中計(jì)劃內(nèi)110人，計(jì)劃外50人，實(shí)際報(bào)考人數(shù)為630?？荚嚌M分500分，考后不久通過(guò)查分系統(tǒng)得到如下信息：考試平均成績(jī)是230分，390分以上的考生有30名。某考生的成績(jī)?yōu)?01分，問(wèn)他能否被錄??？若被錄取，能否是計(jì)劃內(nèi)學(xué)生？

問(wèn)題分析：此問(wèn)題即要求預(yù)測(cè)此次考試的最低錄取分?jǐn)?shù)線，以及這名考生的排名。一般的，成績(jī)服從正態(tài)分布N（230,2），可以用樣本均值230作為的估計(jì)，利用統(tǒng)計(jì)量和樣本信息估計(jì)出，從而總體的分布確定后可討論其他問(wèn)題。

模型建立：先預(yù)測(cè)最低錄取分?jǐn)?shù)線.記最低錄取分?jǐn)?shù)為x0，設(shè)考生成績(jī)?yōu)閄，對(duì)一次成功的考試來(lái)說(shuō)，X應(yīng)服從正態(tài)分布，即X～N(230,2)，

因?yàn)樽畹弯浫》謹(jǐn)?shù)線x0的確定應(yīng)使高于此線的考生的頻率高于，即，

即最低錄取分?jǐn)?shù)線是294分。

下面預(yù)測(cè)考生A的名次，其考分x=301，

這表示成績(jī)高于考生A的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的26%。即考生A大約排在130名，結(jié)論是考生A能被錄取，但他排在110名之后，所以錄取為計(jì)劃內(nèi)學(xué)生的可能性不大。

軟件實(shí)現(xiàn)：此問(wèn)題的關(guān)鍵是計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn)，可利用Matlab軟件中norminv(p,mu,sigma)命令。第一個(gè)參數(shù)為正態(tài)分布的（下）p分位點(diǎn)的概率p，即P(Z

2.6 總結(jié)──小結(jié)加思考題

總結(jié)是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于本堂課程內(nèi)容進(jìn)行回顧和梳理，找出重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容加強(qiáng)理解、記憶的過(guò)程，因此教師先對(duì)本節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，然后提出問(wèn)題，要求學(xué)生課下解決。設(shè)置問(wèn)題為兩個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量還是正態(tài)分布嗎？為什么？需要滿足什么條件？

3 結(jié)論

本次課堂教學(xué)設(shè)計(jì)以BOPPPS教學(xué)模式為主，將對(duì)分課堂融入?yún)⑴c式教學(xué)環(huán)節(jié)，兩者有效結(jié)合。教師通過(guò)生活中的案例引起學(xué)生興趣，給出明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容有個(gè)初步了解。然后提出問(wèn)題，加大學(xué)生的參與力度。通過(guò)查詢資料和小組討論進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的中心地位，使學(xué)生在興趣驅(qū)動(dòng)下自覺(jué)積極的投入到課堂學(xué)習(xí)中，獲得理想的學(xué)習(xí)效果。通過(guò)案例求解，建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行求解，鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手操作能力，并通過(guò)課后思考題對(duì)學(xué)生知識(shí)進(jìn)行拓展。在教學(xué)過(guò)程中，不應(yīng)拘泥于某種特定的教學(xué)模式，將多種教學(xué)方法結(jié)合并靈活運(yùn)用，為培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的新型人才起到積極的推動(dòng)作用。