王樂

[摘 要]“平行四邊形的面積”是一節(jié)非常經(jīng)典的數(shù)學課，重點在于讓學生在將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的過程中推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，常規(guī)的教學是將大部分時間花在學生剪拼和教師推導(dǎo)的過程上。隨著教學的不斷發(fā)展，教師在前測的基礎(chǔ)上進行了剖析和思考，著力于解決“現(xiàn)在的學生學習這部分知識的起點究竟在哪里？他們的困惑在哪里？”“教師能夠教給學生的只是公式嗎？還要給學生怎樣的價值觀和思考力？”等問題。

[關(guān)鍵詞]平行四邊形的面積;思考力;價值觀

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）05-0018-04

一、同課異構(gòu)，疑惑重重

【教學案例】“平行四邊形的面積”常規(guī)教學

教師先讓學生復(fù)習長方形的面積計算的方法，并完成長方形和正方形的面積計算練習;然后進入探索新知的環(huán)節(jié)，引出問題“怎樣求一個平行四邊形的面積”。學生通過自主探索，得到很多解決問題的方法：數(shù)格子法、剪拼成長方形、直尺測量等。教師將學生得到的方法進行整合，以剪拼成長方形的方法為主，總結(jié)出平行四邊形的面積計算公式。最后是鞏固練習環(huán)節(jié)，讓學生完成幾道典型的習題。

從教學后的反饋得知，學生掌握知識的情況非常好，他們不僅知道了平行四邊形的面積計算公式，也經(jīng)歷了公式的推導(dǎo)過程。但筆者對該課的教學有兩個疑問：

（1）讓學生經(jīng)歷平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)過程是本課的核心，除此以外，教師還應(yīng)該讓學生有哪些方面的提升？

（2）教師基本上都是推廣將平行四邊形剪拼成長方形的方法，可不可以不剪拼，直接讓學生畫一畫或是口述？學生有沒有這些能力？學生的學習起點到底在哪里？

有些教師認為，學生對于這部分知識存在的主要問題是長方形的面積計算公式所產(chǎn)生的負遷移：認為平行四邊形的面積等于鄰邊相乘。對此，筆者在引入環(huán)節(jié)進行調(diào)整，其余教學環(huán)節(jié)不變。

【教學案例】“平行四邊形的面積”引入環(huán)節(jié)

對于求第三個圖形平行四邊形的面積，有學生的算式是6×5=30（平方厘米）。筆者拿出一個平行四邊形的模型，通過拉伸講解這個方法是不正確的，進而引出本課探索新知的環(huán)節(jié)。這樣的引入是不是會誤導(dǎo)學生？

二、前測調(diào)查，探知起點

為了弄清楚心中的疑問，筆者對四年級學生進行了關(guān)于平行四邊形的面積知識的前測，前測時間為15分鐘，不能討論。一共發(fā)出前測卷70份，收回67份。

【設(shè)計意圖：核實長方形的面積計算公式的負遷移是不是影響很大，學生在看到其他條件的時候是否能正確計算平行四邊形的面積?！?/p>

【前測結(jié)果：學生求第一個圖形和第二個圖形的面積時幾乎全對，而第三個圖形的解答正確率為65.7%?？梢?，在看到其他條件的情況下，大部分學生能正確計算平行四邊形的面積，少部分學生采用了鄰邊相乘的方法。】

前測試題2：

我們應(yīng)該怎樣求平行四邊形的面積呢？平行四邊形的面積=? ? ? ? ? ? ?×

你可以把你的想法用畫圖或者講道理或者你喜歡的其他方式表達出來。

你可以選擇任何你喜歡的工具，比如：格子圖、1平方厘米的小正方形、剪刀、直尺、三角尺等?？凑l想到的方法最多。

【設(shè)計意圖：觀察學生在沒有工具的前提下，只憑想象能否正確求出平行四邊形的面積，是否能夠清晰表達所用的方法?！?/p>

【前測結(jié)果：知道平行四邊形的面積計算公式，并可以清楚地把平行四邊形剪拼成長方形后解決問題的學生占82.1%;能用格子圖或者用1平方厘米的面積單位來測量的學生占22.4%?！?/p>

通過分析不難發(fā)現(xiàn)，對于怎樣求平行四邊形的面積，學生的方法非常多，并且大部分學生夠解決問題，但也存在兩個問題：

（1）學生更善于用畫圖的方式表達自己的思考過程，不善于用文字或是語言表達。

（2）學生能夠求出平行四邊形的面積，但是對于轉(zhuǎn)化后的長方形和平行四邊形的關(guān)系不清楚，即學生并不清楚平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程。

前測試題3：

關(guān)于平行四邊形的面積，你還知道什么？你還有什么不明白的地方？什么是你想知道的？

【設(shè)計意圖：了解學生還知道什么，以及想知道什么，或是有什么不明白的地方?！?/p>

學生的主要問題有兩類：（1）平行四邊形的面積為什么是“底×高”，而不是鄰邊相乘？（2）平行四邊形的面積與它的哪些因素有關(guān)？與鄰邊有什么關(guān)系？與角有什么關(guān)系？

三、名師指路，撥云見谷

通過前測和訪談學生，筆者已基本清楚學生的學習起點，但對于最初的疑問“教師還應(yīng)該讓學生有哪些方面的提升？”并沒能找到答案。恰好，筆者有幸聽到了俞正強老師的報告，俞正強老師在報告中介紹了“知識”“思考力”和“價值觀”三者之間的關(guān)系：“知識的下面是思考力，思考力的下面是價值觀?！蹦窃谄叫兴倪呅蔚拿娣e知識的下面又有著怎樣的思考力和價值觀呢？

平行四邊形的面積計算屬于面積的測量，如果要測量某個物體的面積就必須要規(guī)定面積的單位和測量的方法。循著這樣的方向，筆者查閱了各種書籍，找到平行四邊形面積知識下面的思考力和價值觀（如圖3）。

至此，筆者恍然大悟：教學時太過注重知識的教授，而忽略了或是弱化了對于思考力和價值觀的滲透。隨著時間的推移，學生很容易就忘記腦中的知識，但是腦中的思考力和價值觀卻會跟隨學生一輩子，是學生生命中的寶貴財富。

四、思考力和價值觀不是空洞的

有了以上的分析和思考，筆者將這節(jié)課的教學進行了重新設(shè)計。

【教學案例】“平行四邊形的面積”

教學目標：

1.讓學生經(jīng)歷探索平行四邊形的面積計算公式的過程，并能正確利用公式計算平行四邊形的面積，思考平行四邊形的面積與平行四邊形的斜邊和角度有著怎樣的關(guān)系。

2.在平行四邊形的面積計算公式推導(dǎo)的過程中，讓學生了解各種方法的同時明確基本的解決問題的方法，并轉(zhuǎn)化成數(shù)學思想，促進學生空間觀念的發(fā)展。

3.在解決平行四邊形面積的相關(guān)問題的過程中，培養(yǎng)學生主動參與教學活動的意識，使學生獲得成功的體驗，樹立學習的信心。

教學重點：平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)過程。

教學難點：測量的一般方法及滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

教學過程：

1.課前預(yù)習

師（出示前測題2和3）：不限時間，可以和伙伴交流，可以向父母請教，也可以利用網(wǎng)絡(luò)查詢。

【設(shè)計意圖：以預(yù)習單的形式讓學生有目的地預(yù)習，可以達到事半功倍的效果。學生充分展示自己的思考過程，也暴露了薄弱點?！?/p>

2.方法反饋，探索新知

師：今天我們來一起學習“平行四邊形的面積”。怎么求平行四邊形的面積呢？同學們的學習單已經(jīng)有了非常精彩的答案，下面我們來一起欣賞，看看怎樣求出平行四邊形的面積。

方法一：數(shù)格子

用1平方厘米的小正方形鋪滿整個平行四邊形，沒填滿的圖形算半個小正方形，數(shù)出平行四邊形的面積;也可通過剪拼成長方形快速數(shù)出格子數(shù)。

方法二：算組合圖形面積

a.將平行四邊形分割成三部分（如圖4），將2和3兩部分拼成一個長方形，分別利用長方形面積計算公式計算1號長方形面積和2、3兩部分拼成的長方形面積，最后將兩部分面積相加。

b.在平行四邊形左右兩邊補上兩個直角三角形，使平行四邊形變成長方形（如圖5）。先計算出長方形的面積，再計算出由2和3兩個直角三角形拼成的長方形的面積，最后將兩部分相減。

方法三：剪拼

剪拼的方法是多樣的（如圖6），但都是沿著高進行剪拼的，都是把平行四邊形剪拼成長方形后求出面積。

師：大家都想到了剪拼成長方形的方法，剪成了長方形后怎么就知道了平行四邊形的面積呢？（面積沒變，長方形的面積是已經(jīng)學過的）還有不同的剪法嗎？它們有什么相同的地方嗎？（都是沿著高剪拼的）

方法四：先量出數(shù)據(jù)，再用公式直接求出平行四邊形的面積

直接量出平行四邊形的底和高，用“底×高=平行四邊形的面積”這個公式計算出圖形的面積。

【設(shè)計意圖：讓學生針對自己的作品進行表述，注重學生的表達能力的培養(yǎng)，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想?！?/p>

師：你都看明白了這些方法嗎？給它們分分類，并說出分類的理由。

生：剪拼的為一類，數(shù)格子的為一類，公式的為一類。

師：求平行四邊形的面積怎么會想到剪拼成長方形？怎樣計算長方形的面積？（數(shù)格子）怎么會想到用數(shù)格子的方法？（包含幾個面積單位，它的面積就是多少）

師：大家想到了數(shù)格子的方法，想到了轉(zhuǎn)化成長方形的方法，但歸根到底，最基本的方法還是數(shù)格子的方法。（如圖7）

【設(shè)計意圖：讓學生給方法分類，意在讓學生從總體上重新審視解決問題的方法，對方法進行回顧。讓學生體會測量物體的基本方法是數(shù)格子的方法，即數(shù)被測量的物體包含多少個面積單位。這是一個思考方式的滲透過程。】

師：有的同學是用公式來計算的，請說說這個公式是怎么得來的。

師：沒錯，平行四邊形的底=長方形的長，平行四邊形的高=長方形的寬，長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

（學生很少想到這種方法，如果學生想不到則由教師展示，如圖8）

師：老師這里還有一種計算平行四邊形面積的方法。（課件展示）

【設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)不僅讓學生再次經(jīng)歷將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的過程，以長方形為“跳板”總結(jié)出平行四邊形的面積計算公式，還通過更直觀的方式讓學生明白，原來底就表示每行格子數(shù)，高就表示一共有幾行，只不過每行的格子擺放呈階梯狀?！?/p>

3.拓展練習

師（展示學生的疑問“平行四邊形的面積為什么是‘底×高，而不是鄰邊相乘？”）：這是同學昨天提出的疑問，現(xiàn)在你能解答嗎？

師（課件展示，如圖9）：如果是鄰邊相乘，計算的是什么？（長方形的面積）

【設(shè)計意圖：解答學生心中的疑惑，得出平行四邊形的面積是不能像長方形那樣用相鄰的邊相乘的。課件的展示能讓學生更清楚之前錯誤的原因?！?/p>

師（展示學生的疑問“平行四邊形的面積跟它的斜邊的長短和角度大小是否有關(guān)系？平行四邊形的面積最大是多少？最小是多少？”）：在回答這些疑問之前，先解一道題（如圖10），看看對回答這些疑問是不是有所幫助。

師：看來平行四邊形的面積不僅與它的底和高有關(guān)系，還與它的斜邊和角度存在著某種聯(lián)系。

【設(shè)計意圖：在計算中鞏固平行四邊形的面積公式，讓學生在面積的不斷變化中感受面積不僅與底和高有關(guān)，還和斜邊及角度有很大的關(guān)系?！?/p>

4.全課總結(jié)

師：通過今天的學習你有哪些收獲呢？

教學反思：

1.只有學生自己產(chǎn)生的問題，才能使學生的思維真發(fā)展

學生學習數(shù)學肯定有問題，教師不能只給學生提問題，還應(yīng)該幫助學生得出更多的問題和解決更多的問題，使學生的思想更活躍、更豐富。而放手讓學生獨立思考，大膽嘗試解決新問題，再交流想法和碰撞思維，是讓學生產(chǎn)生問題的有效方法。

課始，筆者沒有用一系列小問題進行啟發(fā)引導(dǎo)，而是讓學生在課前直面“怎樣計算平行四邊形的面積”這個問題，并以足夠的時間進行獨立自由的思考和大膽的嘗試。眾多不同的答案才會促使學生自我反思，才會引發(fā)學生質(zhì)疑他人的想法，從而不斷生成新問題：割補平移成長方形后算出面積是正確的，那“拉轉(zhuǎn)”成長方形后算得的面積為什么是錯誤的？周長相等的平行四邊形的面積也相等嗎？“拉轉(zhuǎn)”過程中導(dǎo)致面積大小發(fā)生變化的原因是什么？……這些問題才真正是學生自己發(fā)現(xiàn)的問題，才會讓學生真參與，也才會讓學生有思維的真發(fā)展。更重要的是，學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力在這一過程中得到培養(yǎng)?！疤岢鲆粋€問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅是一個數(shù)學上或?qū)嶒炆系募寄芏?，而提出新的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學的真正進步?！保◥垡蛩固梗?/p>

2.不能空洞地、形式地教思考力和價值觀

教數(shù)學一定要教思考力和價值觀，但是不能空洞地、形式地教，要以數(shù)學知識為載體教思考力和價值觀，讓學生在學會知識的過程中學會運用數(shù)學的思維方式思考問題。面對怎樣計算平行四邊形的面積這一問題，有的學生用平行四邊形相鄰兩邊相乘，也有學生將平行四邊形“拉轉(zhuǎn)”成長方形后用“長乘寬”去計算。這些都是合情推理。傳統(tǒng)數(shù)學教學往往重演繹推理，輕合情推理，只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論，很少有學生探索結(jié)論、提出猜想的活動過程。用合情推理獲得猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，用演繹推理驗證猜想、證明結(jié)論，這兩種推理是相輔相成的。因此，教師要重視培養(yǎng)學生的合情推理能力，讓學生在合情推理的過程逐漸養(yǎng)成數(shù)學的思考力和價值觀。

（責編 金 鈴）