劉曉月

[摘 要]例題的教學功能極為完備，它承載了知識傳輸運載、生成推演、應用檢驗、數(shù)學思想方法的探索和積累等功用，大部分知識訓練與滲透都可以借助例題來完成，沒有例題支撐的知識理論往往顯得蒼白無力、空洞干癟。例題成則教學成，例題敗則教學敗。

[關(guān)鍵詞]例題;因數(shù);倍數(shù);算式

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）05-0029-03

例題教學是數(shù)學知識傳授的必經(jīng)之路，也是學生間接掌握知識的一種手段，例題教學出彩，配套練習給力，學生掌握的知識就牢固。學生在做習題的過程中將習題和例題進行對比辨析，不斷磨煉、加深印象、夯實根基，領(lǐng)悟基本數(shù)學思想，形成基本數(shù)學解題技能。

令人憂慮的是，部分教師在設計例題教學時，并不能每節(jié)課都將例題中蘊含的數(shù)學精華傳達到位，也并不能每節(jié)課都充分利用例題所蘊含的數(shù)學知識和教育功能。有些例題的教學就是隨波逐流，成了集體無意識，甚至有時為了省事省心，干脆以做完題為目標……長此以往，例題教學成了數(shù)學教學的一個薄弱點。

蘇教版教材四年級下冊“倍數(shù)和因數(shù)”的新授內(nèi)容包含三道例題：例1是通過用正方形擺成長方形提出倍數(shù)和因數(shù)的概念，例2是探究倍數(shù)及其數(shù)學特征，例3是探究因數(shù)及其數(shù)學特征。本文僅以例題1的教學為例進行論述。

一、第一次試教

師：你能用12個同樣大的正方形拼成一個長方形嗎？每排擺幾個正方形？一共擺幾排？嘗試用乘法算式把你的擺法表示出來，并在小組里交流。

（學生先獨立擺12個同樣大的正方形，并將不同擺法用乘法算式表示出來，然后在小組里交流，最后集體展示）

生1：我的第一種擺法是擺成1排，共擺12個，用算式表示是1×12=12。第二種擺法是擺成2排，每排擺6個，用算式表示是2×6=12。第三種擺法是擺3排，每排擺4個，用算式表示是3×4=12。

師：還有其他擺法嗎？

生2：還可以擺成4排，每排擺3個，用算式表示是4×3=12。

生3：還可以擺成12排，每排擺1個，用算式表示是12×1=12。

師：還有嗎？

生4：我覺得還能擺成6排，每排擺2個，用算式表示是6×2=12。

師：大家真聰明，一共想出6種不同的擺法?？戳诉@些圖形（電子屏幕展示6種擺法對應的圖形，略），你有沒有感到一絲不對勁？

（學生交流探討，發(fā)現(xiàn)所謂的6種擺法中，有3種擺法得到的圖形是相同的，它們只是呈現(xiàn)和放置的角度不同，實際上只有3種擺法。筆者順應形勢，馬上以“4×3”的2個重樣圖形為例，揭示倍數(shù)和因數(shù)之間的關(guān)系，學生根據(jù)筆者的示范嘗試解讀其他重樣的圖形）

以上教學中，筆者對例題的教學拘泥于教材，完全照搬教材呈現(xiàn)例題。這樣教學好處在于使學生描述擺法的語言準確嚴謹，做到全員參與、完整經(jīng)歷操作，并用算式表示自己擺的圖形，再通過組內(nèi)交流互相學習。不足之處是，學生匯報展示時，教師為了突出不同的擺法，執(zhí)著于引導學生找出6種擺法，然后才發(fā)現(xiàn)其中有重樣的，進而總結(jié)出實際只有3種擺法，過程拖泥帶水。最后雖然得到了6個乘法算式，但教學重心偏移到不同的擺法上，而沒有關(guān)注到算式的異同，導致后面要花費大量不必要的時間去補救。

這說明筆者對學生起點的把握失準，導致學生的知識遷移不徹底。學生在三年級學習周長與面積時已經(jīng)對用正方形拼其他圖形很熟練了，因此教學例1時，可以讓學生直接根據(jù)想象列算式表示擺法。綜合來看，設計用正方形拼長方形的操作環(huán)節(jié)的用意在于引出三個乘法算式，再從中挑選一個用于詮釋倍數(shù)和因數(shù)的概念，重點并不在于拼長方形的方法。

細細分析不難發(fā)現(xiàn)，這種教法有些主次不分。本課的重點是教學倍數(shù)和因數(shù)的概念，那么前面過多教學拼擺圖形，讓學生把6種擺法一一列出來，然后發(fā)現(xiàn)重樣的，這就顯得多余了。這一操作的本質(zhì)體現(xiàn)在算式上，就是1×12=12×1，2×6=6×2，3×4=4×3。這有點類似乘法交換律——交換兩個因數(shù)的位置，積不變。對應到幾何里，就是轉(zhuǎn)換擺放角度得到的2種擺法其實對應著同一種圖形。而筆者最后提出倍數(shù)和因數(shù)的概念則有些突兀，也不合時宜。要使拼長方形與倍數(shù)和因數(shù)深度融合，教學就要深入倍數(shù)和因數(shù)的概念本質(zhì)。倍數(shù)和因數(shù)是在正整數(shù)范圍內(nèi)討論的，用正方形擺長方形的目的就是讓正方形的排數(shù)和列數(shù)（每排個數(shù)）都為整數(shù)，且每排個數(shù)相等、每列個數(shù)相等。排數(shù)一定，每排個數(shù)就一定;每排個數(shù)一定，排數(shù)就一定。排數(shù)和每排個數(shù)都為整數(shù)。此時，正方形總數(shù)是恒定不變的，那么排數(shù)和列數(shù)就是總數(shù)的因數(shù)，總數(shù)就是排數(shù)和列數(shù)的倍數(shù)。

二、第二次試教

師：你們已經(jīng)四年級了，能用1、2、3、4這4個數(shù)字即興編寫幾道乘法算式嗎？

生1：1×4=4，2×4=8，3×4=12。

師：其實這幾道乘法算式里隱含著一種數(shù)學關(guān)系，到底是什么關(guān)系這么神秘呢？我們今天就來探秘。就拿3×4=12來說，它在數(shù)學上還有另一種說法，即12是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，3是12的因數(shù)，4也是12的因數(shù)?？偟膩碚f，3和4都是12的因數(shù)。

師：誰能按我剛才說的樣子試著描述其他兩個算式中的數(shù)的關(guān)系？

吸取第一次試教的經(jīng)驗教訓，筆者這一次的教學比較直白，直抵教學目的。為了不在多種擺法上浪費時間，以及避免操作環(huán)節(jié)的“華而不實”，筆者此次試教棄用例1，單刀直入，引導學生即興編寫三道乘法算式，然后通過學生編寫的算式揭示倍數(shù)和因數(shù)的概念，節(jié)奏快，為后面尋找倍數(shù)和因數(shù)騰出時間，但學生的體驗感被剝奪，對數(shù)學概念的抽象過程缺乏參與感。

試想，如果棄用一道例題對教學毫無影響，那么教材為何要編排這道例題呢？例題是不是還有其他深意？筆者終于在《教師教學用書》中找到答案，書中指出，介紹倍數(shù)和因數(shù)時，要結(jié)合具體乘法算式，使學生明白倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的。那么，教材為何不惜降維使用初級的用正方形拼長方形的例子呢？《教師教學用書》也給出了答案，即指引學生將擺法用算式表示出來，并反饋探討。這樣的操作經(jīng)歷既為歸納提煉倍數(shù)和因數(shù)的概念提供直觀表征，又使學生切實體驗到倍數(shù)和因數(shù)的相互依存關(guān)系，為揭示概念內(nèi)涵做好鋪墊?？梢?，曲解編者意圖，武斷地棄用例題，而直接用乘法算式導入雖然省時，但是形象直觀的表象支架被無情拆除，會導致學生無法體驗知識的形成過程。

第二試教的教法顯然走向另一個極端，輕率棄用例1，直接讓學生組出乘法算式，然后指著乘法算式的各部分一個個命名，這其實只不過是一次意義不大的更名而已，將乘數(shù)更名為因數(shù)，積更名為倍數(shù)。這樣粗暴的教學會讓學生疑惑：難道這就是倍數(shù)和因數(shù)概念的由來？雖然筆者展示了幾個相關(guān)的乘法算式，但是教學中并未充分挖掘算式的含義，也未能借機揭示倍數(shù)和因數(shù)的豐富內(nèi)涵：同一個數(shù)可以是不同數(shù)的因數(shù)，也可以是不同數(shù)的倍數(shù)，如4的1倍數(shù)、2倍數(shù)、3倍數(shù)都是4的倍數(shù)，還分別是1、2、3的倍數(shù)。倍數(shù)和因數(shù)的概念與積和（被）乘數(shù)的概念的本質(zhì)區(qū)別在于，倍數(shù)和因數(shù)是在一個集合內(nèi)的相對關(guān)系，而積和（被）乘數(shù)只是對一個乘法算式各部分的簡單命名。

三、第三次試教

師：你會用12個同樣大的正方形拼出一個長方形嗎？

生1：當然會！

師：比如每排擺4個，連續(xù)擺3排（電子屏幕展示圖樣，略），用算式表示是——

生2：4×3=12。

師：還可以換一個算式表示。

生3：3×4=12。

師：每排擺4個，連續(xù)擺3排，可以用算式4×3=12來表示，也可以用算式3×4=12來表示。我們選定4×3=12好嗎？

生4：好！

師：4×3=12這個算式也能表示這種圖形（電子屏幕展示圖形，略），這種圖形其實就是每排擺3個，連續(xù)擺4排。對比兩種圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么嗎？

生5：這兩種擺法得到的圖形其實是一樣的，只是一個是橫著放置，另一個是豎著放置。

師：對！通過旋轉(zhuǎn)或者移位（動態(tài)演示），我們可以發(fā)現(xiàn)兩種圖形其實并無區(qū)別。

師：用12個同樣大的正方形擺長方形，還有哪些不同的擺法？每排擺幾個，擺幾排？先想象一下，再把各種擺法用算式表示出來，獨立完成后，組內(nèi)交流，最后展示匯報。

師：剛才通過擺出的不同圖形，我們提煉出三道乘法算式，這些乘法算式大有乾坤。以算式4×3=12為例，其中各數(shù)還有另一重身份——12是4和3的倍數(shù)，4和3是12的因數(shù)。我們今天就來研究倍數(shù)和因數(shù)。

《教師教學用書》指出教材沒有直言倍數(shù)和因數(shù)的概念，只是結(jié)合具體的算式對算式各數(shù)據(jù)進行身份認定，一是為了降低理解難度，二是為后面完善認知留有余地。這次試教筆者摸透了編者用意，借助數(shù)形結(jié)合既可以降低難度又能豐富體驗，而例題中的擺拼操作意在轉(zhuǎn)化成“乘法算式”，而非“不同擺法”?！?還有哪些不同的擺法？每排擺幾個，擺幾排？先想象一下，再把各種擺法用算式表示出來”的設計，將前期的操作經(jīng)歷作為想象的臺基，避免了重復機械操作，學生直接想象擺法，然后列式，空間觀念得到發(fā)展，這才找到了例1的精髓。

這次教學可謂是對前兩次試教的高度融合，取長補短，例1的真正作用被充分發(fā)揮出來，收放自如、張弛有度，不該開放的地方堅決不開放。筆者嚴格把關(guān)，沒有讓學生陷入循環(huán)往復的擺長方形活動中，這就避免了一股腦兒列出許多乘法算式，從而杜絕了后面交換乘數(shù)位置帶來的誤解。筆者只是單獨演示一種擺法（3排4列），讓學生列出算式：4×3=12，同時讓學生直接用算式語言換種說法，其實就是換種算式，這時讓乘法交換律直接上場，就不會喧賓奪主，也不會岔開話題，主線仍很清晰。再就是通過圖形直觀啟示學生：3×4和4×3其實只是擺放方向不同，對應的圖形是一樣的。然后遷移類推，讓學生寫出另外兩對算式，大大縮短了學生尋找重樣擺法的周期。最后繼續(xù)以3×4和4×3為例，概括出倍數(shù)和因數(shù)的概念。整個教學過程緊湊有力。

在語言表達中提高數(shù)學素養(yǎng)?！懊颗艛[4個，連續(xù)擺3排，可以用算式4×3=12來表示，也可以用算式3×4=12來表示，我們選定4×3=12好嗎？”，這樣表述有效地將兩個算式統(tǒng)一起來?！皩?！通過旋轉(zhuǎn)或者移位（動態(tài)演示），我們可以發(fā)現(xiàn)兩種圖形其實并無區(qū)別，是一樣的。”三言兩語將兩種擺法歸并，避免了混亂，形成合力直擊倍數(shù)和因數(shù)的概念內(nèi)涵。筆者帶頭示范，形成數(shù)學語言表達的范式，用精練的語言統(tǒng)一了擺法上的分歧，避免了節(jié)外生枝。

四、對比啟示

設計教學方案時，教師不能武斷地根據(jù)個人喜好和經(jīng)驗主義來取舍例題。教材例題畢竟是編者經(jīng)過審慎考慮編排的，其編排都有一定的道理。雖不提倡“唯教材論”，但如果因為更換例題而使教學效果大打折扣，那就得不償失了。教師應該對教材前后聯(lián)系通盤考慮?！督處熃虒W用書》至少從四個細節(jié)來說明例題的用途，第一是單元教學建議，第二是課時教材說明，第三是課時教學建議，第四是注釋。教師在設計教學后，應該一一對照核查，看有沒有逐條落實到位。另外，教材所提供的語言范式、書寫格式、數(shù)學思維方式也是教師必須抓細、抓實的，這些都是教材的養(yǎng)分。

每一課時、每一板塊的教學目標都是分層架設的，該如何貫徹落實呢？教師首先要找準每個環(huán)節(jié)的核心問題，再圍繞核心問題展開教學。在處理核心問題時，教師要做到高瞻遠矚，同時要俯下身子體察學情，悉心指導學生，然后放手讓學生自主探究，讓學生有自我修正的機會。

對于某一課時的教學，教師不能只見樹木不見森林，而應該把眼光放長遠，從整個教材體系著眼布局。就本課而言，對學生來說，由乘法算式引入倍數(shù)和因數(shù)的概念，非常實用，學生以后尋找倍數(shù)和因數(shù)就可以利用乘法口訣（因式分解）成對地縮小范圍查找。往前追溯，這是三年級的拼圖經(jīng)歷、二年級倍數(shù)的認識;往后眺望，這是五年級的公因數(shù)和公倍數(shù)問題。有意思的是，公因數(shù)和公倍數(shù)概念的滲透也是以拼圖活動作為表象支撐。這種數(shù)形結(jié)合的方式貫穿于整個蘇教版教材。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 顧美華.寓教于樂? 寓思于玩：“因數(shù)與倍數(shù)”教學片段及賞析[J].小學教學（數(shù)學版），2021（04）.

[2] 李春芳.設置懸念，引導學生在挑錯與更正中復習舊知：以人教版小學數(shù)學第十二冊總復習教學為例[J].小學教學參考，2021（09）.

[3] 王金.《因數(shù)與倍數(shù)》教學設計[J].小學教學設計，2021（Z2）.

（責編 吳美玲）