揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校（225000） 華板玉

數(shù)學(xué)知識是明確的、可列舉的，但對應(yīng)的題又是大量的，是做不完的，這一點(diǎn)師生都深有感觸。有的學(xué)生雖然做了很多題目，可是題目稍微一變，就不知從何下手了，時(shí)常伴有迷茫、困惑、受挫的情緒，久而久之也就失去了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。那么如何應(yīng)對這種現(xiàn)象，處理好量和質(zhì)的辯證關(guān)系呢？筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，深感解題是鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識的重要途徑，做一定數(shù)量的題目是必要的，除此之外，還要做一個(gè)解題有心人，善于將做過的題進(jìn)行歸類，在歸類中梳理解題中所用到的知識點(diǎn)，提煉其中蘊(yùn)含的思想方法。在歸類中梳理提煉，特別在中考階段性復(fù)習(xí)中，效果更為明顯?，F(xiàn)以人教版教材中的一個(gè)面積模型圖的應(yīng)用為例，就如何在歸類中梳理知識點(diǎn)、提煉思想方法進(jìn)行探討。

一、面積模型圖的呈現(xiàn)

如圖1，直線l1∥l2，△ABC與△DBC的面積相等嗎？為什么？你還能畫出一些與△ABC面積相等的三角形嗎？

圖1

分析：此題是在學(xué)生學(xué)過平行四邊形的性質(zhì)和兩條平行線之間的距離定義等知識之后給出的，它是三角形面積性質(zhì)的延續(xù)。如圖2，根據(jù)“兩條平行線之間距離處處相等”的性質(zhì)，可知△ABC的BC邊上的高AS與△DBC的BC邊上的高DT相等。根據(jù)“同底等高的三角形面積相等的性質(zhì)，可得S△ABC=S△DBC。以此類推，可知當(dāng)點(diǎn)E在直線l1上時(shí)，可得S△EBC=S△DBC=S△ABC。同理，可得△ADB與△ADC的面積相等（角度的切換）。

圖2

推論：如圖3，直線l1∥l2，點(diǎn)A，D在直線l1上，點(diǎn)B，C在直線l2上，AC，BD相交于點(diǎn)O，則△ABO與△CDO的面積相等。

圖3

證明：∵直線l1∥l2，點(diǎn)A，D在直線l1上，點(diǎn)B，C在直線l2上，∴S△ABC=S△DBC，∴S△ABC-S△BOC=S△DBC-S△BOC，∴S△ABO=S△CDO。

點(diǎn)評：△ABO與△CDO面積相等，是兩條平行線間三角形面積的相等性與等式性質(zhì)的“合力”。

從題設(shè)和證明中，我們可得到這樣的一個(gè)結(jié)論：兩條平行線間同底三角形的面積相等。它是兩條平行線性質(zhì)的應(yīng)用，是同底等高三角形面積相等性質(zhì)的“衍生”。

二、面積模型圖的應(yīng)用

兩條平行線間同底三角形的面積相等的圖形，可作為一個(gè)面積的模型圖，這一模型圖是隱藏在圖形中的，需要師生觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)這一模型圖，它為解決面積問題提供了一個(gè)巧妙的思路。在中考面積問題中，涉及這一模型圖的題目比較多，現(xiàn)列舉幾例。

（一）以網(wǎng)格為背景

［例1］如圖4 所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關(guān)系為：S△ABC_____S△ABD（填“＞”“=”或“＜”）。

圖4

分析：網(wǎng)格邊長為1，網(wǎng)格中三角形的邊長都是可求的，同時(shí)網(wǎng)格線間還有垂直、平行的位置關(guān)系，充分利用網(wǎng)格的度量性和位置關(guān)系可求兩個(gè)三角形的面積。

解法1：根據(jù)網(wǎng)格邊長的度量性、垂直性可求得S△ABC；S△ABD雖不能直接求得，但可用兩邊分別為2、5 的矩形的面積減去3 個(gè)直角三角形的面積求得。綜上，可求得△ABC和△ABD兩個(gè)三角形的面積均為4，故填“=”。

解法2：網(wǎng)格中的網(wǎng)格線不僅平行或垂直，而且所構(gòu)成的矩形的對角線平行或垂直，所構(gòu)成的正方形的對角線平行或垂直，基于此，連接CD，會發(fā)現(xiàn)CD是邊長為3 的正方形的一條對角線，而AB又是邊長為2 的正方形的一條對角線，于是AB∥CD，而△ABC與△ABD恰是這兩條平行線之間底同為AB的三角形，所以這兩個(gè)三角形的面積相等。

點(diǎn)評：此題以網(wǎng)格為載體，比較兩個(gè)三角形面積的大小。對比兩種方法，前一種重計(jì)算，而后一種重觀察、重發(fā)現(xiàn)，省去了計(jì)算環(huán)節(jié)，顯然，后者更簡捷。而網(wǎng)格中兩條平行線之間的等積三角形的獲取不是顯現(xiàn)的，而是隱藏其間的，要連接CD這條輔助線才能顯現(xiàn)，這需要學(xué)生留心觀察、聯(lián)想思考。細(xì)品解法2，從中可梳理出的知識點(diǎn)有：兩條平行線間同底三角形面積相等，可提煉的思想方法有轉(zhuǎn)化思想，而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的途徑就是留心觀察。

類比應(yīng)用：如圖5，在每個(gè)小正方形的邊長為1 的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，點(diǎn)D為小正方形一邊的中點(diǎn)。

圖5

（1）AD的長等于______；

（2）請?jiān)诰W(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫出一個(gè)點(diǎn)P，使其滿足S△PAD=S四邊形ABCD，并簡要說明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）________。

分析：求AD長，需將AD“圈”在一個(gè)直角三角形中，用勾股定理求解；AC是四邊形ABCD的一條對角線，且這條對角線是直角邊都為4 的等腰直角三角形的斜邊，根據(jù)這一條件信息，可考慮作AC的平行線，構(gòu)造平行線間的同底三角形。

解：如圖6，連接AC。取格點(diǎn)G，連接BG，交DC的延長線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)。

圖6

點(diǎn)評：求四邊形的面積，常需借助對角線將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積之和。觀察網(wǎng)格，可知對角線AC是直角邊都為4 的等腰直角三角形的斜邊，根據(jù)這一特性，過點(diǎn)B作AC的平行線，將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△PAC的面積，而這一過程體現(xiàn)了平行線間同底三角形面積相等的性質(zhì)，其間彰顯轉(zhuǎn)化思想的魅力。

例1 及“類比應(yīng)用”的求解，都是依靠觀察，并尋找網(wǎng)格中的平行關(guān)系，從而提煉出等面積三角形。

（二）以圓為背景

［例2］如圖7，點(diǎn)O是半圓的圓心，BE是半圓的直徑，點(diǎn)A，D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO=60°，AB=8，過 點(diǎn)D作DC⊥BE于點(diǎn)C，則陰影部分的面積是______。

圖7

分析：本題的各部分陰影圖形是分散的，如何將所求圖形和待求圖形的面積有機(jī)組合在一起，如何將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為可求的規(guī)則圖形的面積，是兩個(gè)思考點(diǎn)。

思考：根據(jù)AD∥BO這一條件，△ABD的面積可用哪一個(gè)三角形的面積等量替換呢？它體現(xiàn)了什么思想？

解：如圖8，連接OA?！摺螦BO=60°，OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=8，∠AOB=60°，∴∠AOE=120°。∵AD∥OB，∴∠OAD=∠AOB=60°?！逴A=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，∠COD=60°。∵DC⊥BE，∴∠OCD=90°，∴∠CDO=30°，∴OC=OD=4，CD=∵AD∥OB，∴S△ABD=S△AOD，∴S△ABD+S弓形AD=S△AOD+S弓形AD，∴S△ABD+S弓形AD=S扇形AOD?！郤陰影=S扇形AOD+S扇形DOE-S△COD=S扇形AOES△COD=

圖8

點(diǎn)評：此例以圓為背景，以平行為線索，根據(jù)“兩條平行線間的同底三角形面積相等”的性質(zhì)，用△AOD的面積代替△ABD的面積，從而將不規(guī)則的△ABD與弓形AD的組合圖形面積轉(zhuǎn)換為可求的扇形AOD的面積，再進(jìn)一步將陰影部分和△COD聯(lián)系在一起，通過面積的和差化得到所求。

回顧解題過程，用△AOD的面積替換△ABD的面積是開啟解題思路的一把鑰匙，也是平行線間同底三角形面積性質(zhì)的靈活應(yīng)用，體現(xiàn)了將不規(guī)則的圖形面積化為規(guī)則可求的圖形的面積的思想。此題涉及的知識點(diǎn)有：平行線間的等積三角形、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、扇形面積公式，所涉及的思想方法有：等積轉(zhuǎn)換思想、整體思想、和差法等，實(shí)現(xiàn)這些思想方法的途徑為：觀察、聯(lián)想和整體性思維。

類比應(yīng)用：如圖9，半圓的直徑AB=10，P為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C，D為半圓的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積等于____________。

圖9

解：如圖10，連接CD，OC，OD，

圖10

∵點(diǎn)C，D為半圓的三等分點(diǎn)，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，∴△COD為等邊三角形，∴∠OCD=60°，∴∠OCD=∠AOC，∴CD∥AB，∴S△PCD=S△COD，∴S陰影=S扇形OCD=

點(diǎn)評：證CD∥AB，進(jìn)而得到S△PCD=S△COD是問題解答的關(guān)鍵所在，這又歸結(jié)到兩平行線之間同底三角形面積相等的性質(zhì)。

（三）以正方形為背景

［例3］如圖11，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E在AB邊上。四邊形EFGB也為正方形，設(shè)△AFC的面積為S，則S=_____。

圖11

分析：所求三角形的面積只能計(jì)算出AC長，無法用三角形面積公式直接求得，能否用與其面積相等的三角形來直接替換呢？若不能直接替換，圖中的哪條線與AC平行呢？

解：如圖12，連接BF?！咚倪呅蜛BCD為正方形，∴∠ACB=45°。∵四邊形BGFE為正方形，∴∠FBG=45°，∴∠FBG=∠ACB，∴BF∥AC。根據(jù)“兩平行線間同底三角形面積相等”的性質(zhì)，得S△AFC=S△ABC=2。

圖12

點(diǎn)評：此例以正方形為背景，連接正方形BGFE的對角線BF，會發(fā)現(xiàn)BF∥AC，根據(jù)“兩平行線間同底三角形面積相等”的性質(zhì)，將△AFC的面積用△ABC的面積替換，從而將看似不可求的△AFC的面積求得。此題中的知識點(diǎn)有：正方形對角線的性質(zhì)，兩平行線間同底三角形面積相等的性質(zhì)，所蘊(yùn)含的思想有轉(zhuǎn)化思想。

類比應(yīng)用：正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖13 所示，點(diǎn)G在線段DK上，正方形BEFG的邊長為4，求△DEK的面積。

圖13

分析：三角形的面積不能直接求得，需要轉(zhuǎn)化。如何轉(zhuǎn)化呢？圖13 與圖11 都是“連體”正方形（有公共頂點(diǎn)，有公共邊），但圖13 中多出了一個(gè)小正方形。能否類比例3的思路呢？

解：如圖14，連接BD，EG，F(xiàn)K，易證BD∥EG∥FK，

圖14

由BD∥EG，得S△DEG=S△BEG，

由EG∥FK，得S△KEG=S△FEG，

∴S△DEG+S△KEG=S△BEG+S△FEG，即S△DEK=S正方形BEFG=42=16。

點(diǎn)評：結(jié)果很“驚奇”（所求三角形的面積正好是圖13 中間正方形的面積），此例的解答類比了例3 的解題思路，注重正方形對角線的平行位置關(guān)系的提取和應(yīng)用，以及兩條平行線之間同底三角形面積相等的性質(zhì)的應(yīng)用。注重與基礎(chǔ)題（例3）的類比，有助于開啟學(xué)生的解題思路。

三道例題及其變式應(yīng)用題都分別從不同“背景”展示了兩條平行線之間同底三角形面積相等的性質(zhì)，也就是說，拋開背景的因素，可歸為一類題。通過對三道題中知識點(diǎn)的梳理，得到了它們中所含有的相同知識點(diǎn)：兩條平行線之間同底三角形面積相等。解完題后若草草了事，則這個(gè)知識點(diǎn)的價(jià)值就得不到充分體現(xiàn)，更談不上解題中蘊(yùn)含的思想方法（側(cè)重轉(zhuǎn)化思想）的挖掘，以及思想方法實(shí)現(xiàn)的途徑（觀察與聯(lián)想）的體驗(yàn)。

題是解不完的，解題之后不僅要梳理出相關(guān)知識點(diǎn)，還要去體驗(yàn)題目背后蘊(yùn)含的思想方法，并進(jìn)行挖掘、提煉與遷移，這樣才能提升解題質(zhì)量，取得事半功倍的效果。