重慶市云陽縣教育科學研究所（404500） 楊學云

新一輪高考改革突出對學科必備知識、關鍵能力、學科素養(yǎng)的考查。正確分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動偏轉問題，可以培養(yǎng)學生規(guī)范、準確地畫出運動軌跡圖像的能力、抽象思維能力、形象思維能力、演繹推理能力等關鍵能力［2］。本文通過“四種模型”，分析帶電粒子在有界勻強磁場中的運動，具體是抓住題目中的已知條件，如恰好、最大、最高、至少等詞語［3］，挖掘試題的隱含條件，分析粒子運動軌跡的可能情況；突出有界磁場與運動軌跡間的幾何關系，使抽象的物理問題更加形象、直觀。

一、軌跡圓對稱法

帶電粒子垂直射入磁場后，將做勻速圓周運動，如圖1 所示。要計算粒子在磁場中運動時的軌道半徑、周期等物理量，則應結合題中已知信息，規(guī)范畫出粒子運動軌跡圖像，利用軌跡圖像具有對稱性的特點，即粒子的運動軌跡關于入射點P與出射點Q的中垂線對稱，軌跡圓心O位于對稱線上，入射速度、出射速度與PQ間的夾角相等，有φ=α=2θ=ωt，運用以上規(guī)律尋找臨界條件方便快捷。

圖1

［例1］如圖2 所示，在0 ≤x≤2a的區(qū)域Ⅰ內有垂直于紙面向里的勻強磁場；在x＞2a的區(qū)域Ⅱ內有垂直紙面向外的勻強磁場，區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ內磁場的磁感應強度大小分別為B和2B。已知質量為m、帶電荷量為q（q＞0）的粒子沿x軸正方向從原點射入?yún)^(qū)域Ⅰ中。

圖2

（1）若粒子能進入?yún)^(qū)域Ⅱ的勻強磁場，求粒子第一次進入?yún)^(qū)域Ⅱ的可能位置和速度的范圍。

（2）為使粒子能進入?yún)^(qū)域Ⅱ且不能返回原點，粒子射入?yún)^(qū)域Ⅰ時的速度應滿足什么條件？

解析：（1）設帶電粒子剛好進入?yún)^(qū)域Ⅱ磁場，因為區(qū)域Ⅰ磁場的最大寬度為2a，運動軌跡恰好與區(qū)域Ⅱ磁場左邊界相切，半徑為R0=2a，所以第一次進入?yún)^(qū)域Ⅱ磁場的可能位置為橫坐標x=2a，縱坐標0 ＜y＜2a的區(qū)域內，此時對應的速度為v1，因為洛倫茲力提供向心力，所以有qv1B=，解得，故有v＞

（2）粒子能返回原點的條件是在區(qū)域Ⅱ磁場中粒子偏轉軌跡的圓心必須在x軸上，草圖如圖3 所示，粒子在區(qū)域Ⅰ磁場和區(qū)域Ⅱ磁場里的偏轉半徑和幾何關系有：R1=2R2，在磁場中，洛倫茲力充當向心力，使粒子做勻速圓周運動，故有：，因此粒子能進入?yún)^(qū)域Ⅱ磁場且不能返回原點的條件是射入?yún)^(qū)域Ⅰ磁場時的速度滿足：v＞且v≠

圖3

［例2］在科學研究中，可以通過施加適當?shù)拇艌鰜韺崿F(xiàn)對帶電粒子運動的控制。在如圖4 所示的平面直角坐標系xOy內，以坐標原點O為圓心，d為半徑的圓形區(qū)域外存在范圍足夠大的勻強磁場。一質量為m、電荷量為+q的粒子從點沿y軸正方向射入磁場，當入射速度為v0時，粒子從處進入無場區(qū)射向原點O，不計粒子重力。求：（1）磁場的磁感應強度B的大小；（2）粒子離開P點后經(jīng)多長時間第一次回到P點。

圖4

解析：（1）粒子的運動軌跡如圖5所示，由題目條件可求得粒子做圓周運動的軌道半徑為R=d。在磁場中，粒子所受洛倫茲力充當向心力，使粒子做勻速圓周運動，有qv0B=，解得B=

圖5

（2）粒子運動軌跡如圖6 所示，粒子在磁場中運動的時間t1=3 ×=2T，粒子在磁場中運動的周期為T=，粒子在無場區(qū)運動的時間t2=3 ×。粒子再次回到P點的時間t=t1+t2，聯(lián)立方程解得：

圖6

二、軌跡圓放縮法

帶電的相同粒子從某點沿同一方向以不同速率發(fā)射，在磁場中做勻速圓周運動，軌道半徑R與速率v成正比，即速度v0越大，運動軌跡半徑R越大，根據(jù)半徑從小到大的順序，畫出不同速率粒子的運動軌跡圓，如圖7 所示，軌跡圓的圓心在垂直速度方向的直線PP′上，將半徑放縮畫出粒子的運動軌跡圖像，從而尋找臨界條件。

圖7

［例3］（2020 年全國高考課標Ⅰ卷）一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖8 中虛線所示，ab為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質量為m、電荷量為q(q＞0)的粒子，在紙面內從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。求粒子在磁場中運動的最長時間。

圖8

解析：粒子在磁場中做勻速圓周運動，有：，可求得粒子在磁場中做圓周運動的周期為T=，粒子在磁場中運動的時間為t=

粒子在磁場中運動的時間與速度無關，軌跡對應的圓心角越大，運動時間越長。畫出運動軌跡圖像如圖9，采用放縮圓解決該問題，粒子垂直ac邊射入磁場，則軌跡圓的圓心必在ac直線上，將粒子的軌跡半徑由零逐漸放大。設粒子運動軌跡半徑為r。

圖9

（1）當半徑r≤0.5R和r≥1.5R時，粒子分別從ac、bd區(qū)域射出，磁場中的軌跡為半圓，運動時間等于半個周期。

（2）當0.5R＜r＜1.5R時，粒子從半圓邊界射出，將軌跡半徑從0.5R逐漸放大，粒子射出磁場的位置從半圓頂端向下移動，軌跡圓的圓心角從π逐漸增大，當軌跡半徑為R時，軌跡圓的圓心角最大，然后再增大軌跡半徑，軌跡圓的圓心角減小，因此當軌跡半徑等于R時軌跡圓的圓心角最大，即軌跡對應的最大圓心角為θ=π+粒子運動最長時間為t=

［例4］如圖10 所示，正方形區(qū)域abcd內（含邊界）有垂直紙面向里的勻強磁場，ab=l，Oa=0.4l，大量帶正電的粒子從O點沿與ab邊成37°的方向以不同的初速度v0射入磁場，不計粒子重力和粒子間的相互作用，已知帶電粒子的質量為m，電荷量為q，磁場的磁感應強度大小為B，sin37°=0.6，cos37°=0.8。

圖10

（1）求帶電粒子在磁場中運動的最長時間；

（2）若帶電粒子從ad邊離開磁場，求v0的取值范圍。

解析：（1）粒子從ab邊離開磁場時，在磁場中運動的時間最長，如圖11 所示，有qBv0=，又T=，解得T=

圖11

又由幾何關系得θ=74°，則粒子在磁場中運動的最長時間t=

（2）當粒子軌跡與ad邊相切時，如圖12 所示，設此時初速度為v01，軌道半徑為R1，由幾何關系可得R1+R1sin37°=0.4l，又qBv01=，解得v01=

圖12

當粒子運動軌跡與cd邊相切時，如圖13所示，設此時初速度為v02，軌道半徑為R2，由幾何關系可得R2+R2cos37°=l，又qBv02=，解得v02=

圖13

三、軌跡圓旋轉法

大量帶相同電量的粒子從O點以相同速率沿不同方向發(fā)射進入勻強磁場中（如圖14 所示），由圓周運動可得，軌道半徑R與速率v成正比。速率相同，軌道半徑相等，速度方向不同，運動軌跡圓大小一樣，但圓心在改變。因此，畫出某個方向的運動軌跡圓，以O點所在垂直軸為軸旋轉畫出圓心軌跡，利用題中所給條件，尋找臨界條件。

圖14

［例5］（2017 年全國高考課標Ⅱ卷）如圖15 虛線所示的圓形區(qū)域內存在一垂直于紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點。大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點，在紙面內沿不同的方向射入磁場。若粒子射入磁場時速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上。若粒子射入磁場時的速率為v2，相應的出射點分布在三分之一圓周上。不計重力及帶電粒子之間的相互作用。則速度大小v2∶v1之比為多少？

圖15

解析：相同的帶電粒子垂直勻強磁場入射，粒子均做勻速圓周運動。粒子以v1入射，一端為入射點P，對應圓心角為60°（對應六分之一圓周）的弦PP′必為垂直該弦入射粒子運動軌跡的直徑2r1，如圖16所示，設圓形區(qū)域的半徑為R，由幾何關系知：r1=

圖16

其他不同方向以v1入射的粒子的出射點在PP′對應的圓弧內。

同理可知，粒子以v2入射及出射情況，如圖17所示。由幾何關系知r2=，可得r2∶r1=

圖17

因為m、q、B均相同，由公式r=可得v∝r，所以v2∶v1=

［例6］如圖18，在0 ≤x≤a區(qū)域內存在與xOy平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B。在t=0 時刻，一個位于坐標原點的粒子源在xOy平面內發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向夾角分布在0～180°范圍內。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t=t0時刻剛好從磁場邊界上P(a,a)點離開磁場。（不計重力）求：

圖18

（1）粒子在磁場中做圓周運動半徑；

（2）最先從右邊界射出的粒子在磁場中運動的時間；

（3）從右邊射出的粒子在通過磁場的過程中，所經(jīng)過的磁場區(qū)域的面積。

解析：（1）因為沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t=t0時刻剛好從磁場邊界上P(a,a) 點離開磁場，連接OP，作OP的垂直平分線交x軸于O1，O1就是圓周運動的圓心，其軌跡如圖19 中①所示，恰好是四分之一圓周，圓周運動的半徑r=a，并且t0=

圖19

（2）最先從右邊界射出的粒子在磁場中的弧長最短，弦最短，弦長等于a，其軌跡如圖19 中②所示，其圓心為O2，因為弦長等于半徑，則OO1O2是等邊三角形的頂點，圓心角為60°，運動時間為tmin=，解得tmin=

（3）從右邊射出的粒子在通過磁場的過程中，沿x軸正方向發(fā)射的粒子剛好從磁場邊界上P′(a,-a)點離開磁場，其軌跡恰好與磁場邊界相切，也是四分之一圓周，如圖19 中③所示，粒子所經(jīng)過的磁場區(qū)域為軌跡①③和磁場邊界所圍的面積：S=

四、軌跡圓平移法

大量相同的帶電粒子從不同點以相同速率向同一方向發(fā)射進入勻強磁場，因為帶電粒子的速度大小相同，運動軌跡半徑相等，運動軌跡圓大小相同，速度方向相同，所以畫出某個方向帶電粒子的運動軌跡圓，然后將該圓平移，可找到臨界條件。

［例7］如圖20所示，長方形ABCD長AD=0.4 m，寬AB=0.2 m，O、E分別是AD、BC邊的中點，以E為圓心EB為半徑的圓弧和以O為圓心、OD為半徑的圓弧組成的區(qū)域內有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感強度B=0.5 T。一群帶電粒子以速率v=3 ×103m/s 沿垂直AD方向射入磁場區(qū)域，粒子質量m=2 × 10-7kg、電量q=-6 × 10-3C，不計粒子重力。判斷帶電粒子將從什么位置離開磁場。

圖20

解析：帶電粒子進入磁場時入射點均在DOA線上，由圓周運動半徑公式R=，代入數(shù)據(jù)可求出R=0.2 m，即運動軌跡半徑R等于磁場寬度AB。現(xiàn)將磁場曲線OB平行向上平移一個半徑后得到曲線OAF，如圖21 所示。帶電粒子做勻速圓周運動時它們的圓心均在曲線OAF上，如圖22 所示，在該曲線上從F到O取點作為圓心，以R=為半徑作一系列軌跡圓，從D、O之間入射磁場，帶電粒子在磁場中轉過1/4 圓周后沿EB邊界向上做直線運動最終經(jīng)過B點，從O、A之間入射的粒子先做直線運動，后再進入磁場做圓周運動，由作圖可知帶電粒子也經(jīng)過B點。故從AOD邊進入磁場的帶電粒子，最后離開磁場時均通過B點位置。

圖21

圖22

［例8］如圖23 所示，xOy為平面直角坐標系，在x軸上、下方空間都分布著垂直xOy平面向里的勻強磁場，其磁感應強度大小分別為B、3B（未畫出）。一質量為m、電荷量為-q的小球從坐標原點O處以與x軸正方向成30°角的速度v射入第一象限，不計重力。求：

圖23

（1）小球從離開O點（記為第0 次）到第4 次經(jīng)過x軸過程的平均速度；

（2）小球從離開O點后T（T為粒子的運動周期）時刻的位置坐標。

解析：（1）小球在第一象限內運動，有qvB=，所以軌道半徑r1=，又因為T1=，所以T1=

同理，在第四象限內運動時，有：

畫出運動軌跡如圖24所示，小球從離開O點到第4次經(jīng)過x軸時前進的位移x=OP4=2(r1-r2)=小球運動的時間，小球的平均速度，即平均速度大小為，方向沿x軸正方向。

圖24

（2）小球運動的周期T=因，即此時小球位于圖24中的P5，故橫坐標為x=2r1sin30°=，縱坐標為y=-2r2sin60°=-，即位置坐標為

因外界勻強磁場空間范圍大小的限定，以及帶電粒子初速度大小和方向的不確定性，導致帶電粒子在勻強磁場中運動軌跡不同，因而產生了大量的邊界極值問題［4］。教師在授課時應依據(jù)實際物理情境，尋求不同過程中相互聯(lián)系的物理量，如半徑、周期、圓心角、時間等，規(guī)范、準確地畫出運動軌跡圖像，計算運動軌跡的半徑、周期等。厘清有界磁場與運動軌跡圓的幾何關系［5］，是解決該類問題的關鍵。