孟咪莎 于洵 劉婷婷 聶亮 韓峰 郭歌

摘 要：針對環(huán)形合成孔徑成像系統(tǒng)在成像過程中產(chǎn)生噪聲和圖像模糊的問題，設(shè)計了一種基于Laplacian算子和參數(shù)維納濾波的圖像復(fù)原技術(shù)。針對環(huán)形合成孔徑的成像退化特點(diǎn)，先對退化圖像進(jìn)行銳化處理，再使用參數(shù)維納濾波對處理后的圖像進(jìn)行復(fù)原，同時對比傳統(tǒng)的維納濾波復(fù)原算法，以環(huán)形合成孔徑系統(tǒng)為基本結(jié)構(gòu)，分析和比較單個孔徑與不同填充因子的六孔徑環(huán)形系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和調(diào)制傳遞函數(shù)特性，對系統(tǒng)成像性能和圖像退化原因進(jìn)行分析。仿真結(jié)果表明，運(yùn)用Laplacian算子與參數(shù)維納濾波復(fù)原算法對比維納濾波，圖像清晰度有明顯提高，更好的實(shí)現(xiàn)環(huán)形合成孔徑圖像復(fù)原，其中填充因子最大為0.6的復(fù)原效果最佳，且峰值信噪比可以達(dá)到48.028 6，實(shí)現(xiàn)合成孔徑的高分辨率成像。

關(guān)鍵詞：環(huán)形合成孔徑;點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù);調(diào)制傳遞函數(shù);退化;圖像復(fù)原;Laplacian算子;參數(shù)維納濾波

中圖分類號：TP391.9?????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1001-5922（2022）03-0166-06

Image restoration based on a toroidal synthetic aperture system

MENG Misha1， YU Xun1， LIU Tingting2， NIE Liang3， HAN Feng1， GUO Ge3

（1. School of Ordnance Science and Technology， Xi’an Technological University， Xi’an 710021， China;

2. Southwest Electronic Telecommunication Technology Research Institute， Chengdu 610000， China;

3. School of Optoelectronic Engineering， Xi’an Technological University， Xi’an 710021， China）

Abstract：Aiming at the problem of noise and image blur in the imaging process of the annular synthetic aperture imaging system， an image restoration technology based on Laplacian operator and parametric Wiener filtering is designed in this paper. Focusing on the imaging degradation characteristics of the annular synthetic aperture， this technology first sharpens the degraded image， then uses the parameter Wiener filter to restore the processed image. At the same time， compared with the traditional Wiener filter restoration algorithm， the annular synthetic aperture system is used as basic structure， analyze and compare the point spread function and modulation transfer function characteristics of a single aperture and a six-aperture ring system with different fill factors， and analyze the imaging performance of the system and the causes of image degradation. The simulation results show that using Laplacian operator and parametric Wiener filter restoration algorithm to compare Wiener filtering， the image definition is significantly improved， and the ring synthetic aperture image restoration is better realized. Among them， the restoration effect with the maximum filling factor of 0.6 is the best， and the peak signal-to-noise ratio can reach 48.028 6， realizing high-resolution imaging with synthetic aperture.

Key words：ring synthetic aperture; point spread function; modulation transfer function; degradation; image restoration; Laplacian operator; parametric Wiener filtering image restoration

隨著科技的發(fā)展，觀測成像技術(shù)已經(jīng)應(yīng)用于各個方面，對于大口徑光學(xué)系統(tǒng)的需求也逐漸提高，傳統(tǒng)大口徑光學(xué)系統(tǒng)不僅加工困難，且體積重量大[1]，難以滿足目前的應(yīng)用需求，因此光學(xué)稀疏合成孔徑技術(shù)受到更多關(guān)注，采用易于制造的小孔徑系統(tǒng)，通過之后的機(jī)械加工與光學(xué)技術(shù)合成大孔徑系統(tǒng)，能滿足高分辨率的成像需求[2]，能適用于各種空間光學(xué)系統(tǒng)。

合成孔徑光學(xué)系統(tǒng)由于實(shí)際通光面積的減少，點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)（PSF）將會有相當(dāng)程度的擴(kuò)展，調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）會出現(xiàn)下降[3]。與等效單孔徑系統(tǒng)相比，能有效提高光學(xué)系統(tǒng)衍射極限，但會損失較多的中低頻信息[4]，致使最終的成像結(jié)果出現(xiàn)層次不清和模糊，需要采用圖像處理[5]的手段來恢復(fù)光學(xué)系統(tǒng)的信息，實(shí)現(xiàn)高分辨率成像的目的。

本文以六孔徑環(huán)形系統(tǒng)為基本結(jié)構(gòu)，分析和比較了不同填充因子下六孔徑環(huán)形系統(tǒng)的PSF和MTF特性，并對系統(tǒng)進(jìn)行模擬成像，使用圖像復(fù)原技術(shù)進(jìn)行復(fù)原，采用圖像評價標(biāo)準(zhǔn)中的峰值信噪比（PSNR）對復(fù)原后的圖像進(jìn)行像質(zhì)評價，對結(jié)果進(jìn)行分析。

1 環(huán)形合成孔徑的成像性能

環(huán)形孔徑系統(tǒng)[6]是把多個相同的子孔徑等間距，均勻分布在一個較小的圓周上，當(dāng)環(huán)形子孔徑的數(shù)量增加時，孔徑的相對距離也會隨之減小。填充因子（F）描述了合成孔徑系統(tǒng)的稀疏化程度。如圖1分別是單孔徑系統(tǒng)、填充因子為0.3和0.6的六孔徑環(huán)形系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

1.1 PSF特性

在空間域，評價一個系統(tǒng)的成像質(zhì)量經(jīng)常使用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)PSF[7]，其可以用來形容成像質(zhì)量的好壞。由光學(xué)理論可以知道，PSF決定了光學(xué)系統(tǒng)分辨能力的大小，是一個點(diǎn)光源經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)之后的能量分布。合成孔徑成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)可以表示為：

PSF（x，y）=|{P（x0，y0）}|2=∫∫+∞-∞P（x0，y0）e-2jπ（x0xi+y0yi）dx0dy02（1）

式中：xi=xλf，yi=yλf，λ為入射波長;P（x0，y0）是光瞳函數(shù);表示傅里葉變換。

如圖2所示，圖2（a）、（b）、（c）、（d）、（e）分別為單孔徑，填充因子F分別為0.3、0.4、0.5、0.6的六孔徑環(huán)形系統(tǒng)的PSF。

從圖2可以看出，等效單孔徑成像系統(tǒng)的PSF分布較為緊湊，中心為一亮點(diǎn)，即愛里斑，大部分的能量都分布在艾里斑中。而六孔徑環(huán)形系統(tǒng)的PSF分布較為稀疏，中央亮斑向四周擴(kuò)散，經(jīng)過六孔徑環(huán)形系統(tǒng)成像后，成像結(jié)果會發(fā)生模糊，但隨著系統(tǒng)填充因子的增加，中央亮斑的擴(kuò)散明顯減小，且中央亮斑的寬度相比單孔徑系統(tǒng)有所減小，系統(tǒng)的成像質(zhì)量被提高。

1.2 MTF特性

調(diào)制傳遞函數(shù)MTF從頻率域描述了系統(tǒng)的成像特性，可以很有效的評估擴(kuò)展物體對比度傳遞特性。調(diào)制傳遞函數(shù)MTF是光學(xué)傳遞函數(shù)的模，而光學(xué)傳遞函數(shù)實(shí)際上是由PSF傅里葉變化或者由光瞳函數(shù)歸一化自相關(guān)得到的，調(diào)制傳遞函數(shù)包含的頻域范圍越大，系統(tǒng)

的成像質(zhì)量越好。對于合成孔徑成像系統(tǒng)而言，光學(xué)傳遞函數(shù)為：

H（ξ，η）=∫∫+∞-∞P（x，y）P（x+λdiξ，y+λdiη）dxdy∫+∞-∞P（x，y）dxdy（2）

式中：P（x，y）為光瞳函數(shù);di為六孔徑環(huán)形系統(tǒng)的出瞳到像面的距離。

如圖3所示，圖（a）、（b）、（c）、（d）、（e）分別為單孔徑，填充因子F分別為0.3、0.4、0.5、0.6的六孔徑環(huán)形系統(tǒng)的MTF;如圖4所示，將單孔徑系統(tǒng)和六孔徑環(huán)形系統(tǒng)的MTF曲線進(jìn)行比較。

從圖3和圖4可以看出，單孔徑系統(tǒng)的MTF沒有零值區(qū)域，沒有信息丟失;而在六孔環(huán)形結(jié)構(gòu)中，當(dāng)F=0.3時，填充因子為最小值，此時調(diào)制傳遞函數(shù)的響應(yīng)能力最差，MTF整體表現(xiàn)稀疏，存在大量的零值區(qū)域，這些零值區(qū)域所丟失的信息是難以恢復(fù)的。隨著填充因子的增大，MTF包含的信息逐漸增多，結(jié)構(gòu)逐漸緊密，當(dāng)F=0.5時，MTF的零值區(qū)域已經(jīng)大大減少;當(dāng)F=0.6時，調(diào)制傳遞函數(shù)幾乎沒有零值區(qū)域，MTF均勻且緊密分布。從x和y兩個方向的MTF比較圖也可以得出相似的結(jié)論，填充因子越小，存在零值區(qū)域越多，填充因子越大，零值區(qū)域幾乎沒有，且能保存大部分的高頻信息。因此，對于六孔徑環(huán)形系統(tǒng)而言，MTF的中頻信息在成像中出現(xiàn)缺失，需要圖像復(fù)原技術(shù)對成像圖像進(jìn)行處理。

2 圖像退化分析和模擬成像

在對環(huán)形孔徑成像系統(tǒng)的退化圖像進(jìn)行復(fù)原前，我們首先分析系統(tǒng)的圖像退化模型[8-9]。合成孔徑成像系統(tǒng)的圖像降質(zhì)模型：

g（x，y）=h（x，y）f（x，y）+n（x，y）（3）

式（3）還可以用等價的頻域表達(dá)式來表示：

G（u，v）=H（h，v）F（u，v）+N（u，v）（4）

式中：f（x，y）是退化前的圖像;n（x，y）表示的是噪聲;是卷積算子;h（x，y）為退化函數(shù)，在環(huán)形系統(tǒng)中為系統(tǒng)的PSF;H（u，v）為系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)OTF，經(jīng)過傅里葉變換后得到PSF。

圖像退化復(fù)原原理如圖5所示：

通過圖5退化和復(fù)原流程圖，再結(jié)合前面環(huán)形合成孔徑的孔徑排布模型，進(jìn)行傅里葉變化取模的平方，可以得到光學(xué)系統(tǒng)的退化函數(shù)PSF，輸入目標(biāo)圖像，與仿真得出的 PSF 進(jìn)行卷積，將目標(biāo)物經(jīng)環(huán)形合成孔徑系統(tǒng)模擬成像，其中光學(xué)系統(tǒng)為無像差的六孔徑合成成像系統(tǒng)，相對孔徑1/10，波長500 nm。

如圖6所示分別為單孔徑系統(tǒng)和4種填充因子的六孔徑環(huán)形系統(tǒng)的模擬成像圖。

從圖6可以看出，單孔徑系統(tǒng)所成像像質(zhì)最好，近似為衍射極限像;而六孔徑環(huán)形系統(tǒng)所成像出現(xiàn)了不同程度的退化。隨著填充因子越來越大，像越來越模糊，難以分辨細(xì)節(jié)，當(dāng)F=0.3時，成像圖像基本模糊不可分辨，中低頻信息嚴(yán)重缺失;當(dāng)F=0.6時，沒有單孔徑系統(tǒng)成像結(jié)果清晰度好，但由于環(huán)形合成孔徑系統(tǒng)能夠保留較多的高頻信息，因此細(xì)節(jié)能夠保留較多。成像結(jié)果與上節(jié)PSF和MTF分布是一致的。

3 圖像復(fù)原

合成孔徑成像系統(tǒng)的圖像復(fù)原和一般的圖像復(fù)原不同[10]。其本身的特性導(dǎo)致成像的中低頻損失嚴(yán)重，因此不能只是簡單的對圖像進(jìn)行復(fù)原，要考慮如何恢復(fù)圖像的中低頻信息。針對這個特點(diǎn)，先對圖像進(jìn)行銳化處理，使用Laplacian算子，然后再對維納濾波進(jìn)行改進(jìn)，采用參數(shù)維納濾波來進(jìn)行圖像復(fù)原。

3.1 Laplacian算子

Laplacian算子是二階微分算子中比較常用的一個算子[11]。使用Laplacian算子銳化之后圖像的邊緣輪廓更加清晰，它的本質(zhì)其實(shí)是在原圖的基礎(chǔ)上疊加了Laplacian算子的細(xì)節(jié)成分。

Laplacian邊緣檢測的公式為：

2f=2fx2+2fy2（5）

Laplacian模板可以表示為：

2f=f（x-1，y-1）+f（x-1，y）+f（x-1，y+1）+

f（x，y-1）+f（x-1，y+1）+f（x+1，y-1）+f（x+1，y）+f（x+1，y+1）-8f（x，y）（6）

對原圖f（x，y）做傅里葉變換轉(zhuǎn)換到頻域后，在頻域?qū)υ瓐Df（x，y）進(jìn)行Laplacian濾波;然后做傅里葉反變換得到空域的經(jīng)過Laplacian濾波的圖。再將傅里葉反變換得到的Laplacian濾波的圖和原始圖像疊加起來，表示：

g（x，y）=f（x，y）+c2f（x，y）（7）

式中：f（x，y）為原始圖像，c2f（x，y）是Laplacian算子銳化的結(jié)果。2f（x，y）有負(fù)值，所以我們把c的值取為-1，表示為：

g（x，y）=f（x，y）-2f（x，y）（8）

3.2 參數(shù)維納濾波

維納濾波算法是合成孔徑成像系統(tǒng)圖像復(fù)原常用的算法[12]。它的基本原理：在一定的約束條件下，使得輸出圖像和期望圖像的差值的均方差達(dá)到最小，所以又被叫做均方差濾波。均方誤差公式：

e2=E（f-f^）2=∫∫+∞-∞|f（x，y）-f^（x，y）|2dxdy（9）

式中：f（x，y）為原圖;f^（x，y）為原圖的估計值。假設(shè)退化圖和估計圖像的灰度級之間呈線性關(guān)系，噪聲是有零值的，且噪聲和圖像之間并沒有相互關(guān)系，那么式（9）在頻域的表達(dá)式：

F^（u，v）=H*（u，v）|H（u，v）|2+Sn（u，v）/Sf（u，v）G（u，v）（10）

式中：Sn（u，v）/Sf（u，v）是噪聲功率譜與信號功率譜的比值，將這個值定義為信噪比的倒數(shù)。

在用維納濾波進(jìn)行復(fù)原時，當(dāng)輸入信號有輕微的模糊再加上噪聲的影響，維納濾波復(fù)原的效果并不能令人特別滿意。于是，為了更好的復(fù)原效果，提出了參數(shù)維納濾波[13]。參數(shù)維納濾波就是在信噪比的倒數(shù)項加了一個參數(shù)K，增加參數(shù)K可以平滑濾波后的圖像，抗噪聲干擾能力得到極大的改善。參數(shù)維納濾波器形式：

F^（u，v）=H*（u，v）|H（u，v）|2+KSn（u，v）/Sf（u，v）G（u，v）（11）

3.3 圖像復(fù)原

在實(shí)際對合成孔徑系統(tǒng)引起的退化圖像進(jìn)行圖像復(fù)原時，不光要復(fù)原調(diào)制傳遞函數(shù)損失掉的中低頻信息，還要將系統(tǒng)引入的噪聲一并去除，只有這樣才能最大程度的提高圖像的對比度，使圖像包含更多的細(xì)節(jié)信息。系統(tǒng)總噪聲在實(shí)際應(yīng)用中可以近似看做是零均值的高斯白噪聲。因此在模擬成像圖像加入方差為0.02的高斯白噪聲，并使用混合傅里葉小波去噪，加入高斯噪聲和去噪結(jié)果如圖7和圖8所示。

用維納濾波和Laplacian算子與參數(shù)維納濾波分別對去噪圖像進(jìn)行圖像復(fù)原，結(jié)果如圖9和圖10所示。

從圖9、圖10中可看到，

圖像清晰度都有了明顯提高，改善了圖像的像質(zhì)，細(xì)節(jié)基本可分辨，單孔徑系統(tǒng)的去噪圖復(fù)原后像質(zhì)較好;對于環(huán)形孔徑系統(tǒng)而言，填充因子越高，圖像復(fù)原效果越好，填充因子為0.6的復(fù)原效果基本接近單孔徑成像系統(tǒng);填充因子越低，復(fù)原效果越差。

圖11分別為維納濾波和Laplacian算子與參數(shù)維納濾波對填充因子為0.6的復(fù)原圖像局部圖。

如圖11所示，維納濾波的復(fù)原圖像出現(xiàn)了振鈴現(xiàn)象，使得高頻信息產(chǎn)生缺失;所謂“振鈴”，是指輸出圖像的灰度劇烈變化處產(chǎn)生的震蕩。而Laplacian算子與參數(shù)維納濾波復(fù)原的圖像基本沒有振鈴現(xiàn)象，沒有高頻信息的丟失，改善了成像質(zhì)量，能夠?qū)崿F(xiàn)六孔徑環(huán)形合成孔徑的圖像復(fù)原。

3.4 加噪圖像和圖像復(fù)原的峰值信噪比對比

表1為環(huán)形合成孔徑不同填充因子的加噪、去噪以及圖像復(fù)原的峰值信噪比（PSNR）[14]。

峰值信噪比為衡量圖像質(zhì)量的一種客觀評價標(biāo)準(zhǔn)，其數(shù)值較大時，代表圖像失真程度很小;反之亦然。

從表1中我們可以得出與圖像相似的結(jié)論。由此可見，應(yīng)用圖像復(fù)原技術(shù)可以恢復(fù)合成孔徑系統(tǒng)所成像的清晰度，Laplacian算子與參數(shù)維納濾波能更好提高合成孔徑系統(tǒng)的成像質(zhì)量。

4 結(jié)語

從上述模擬成像和圖像復(fù)原的結(jié)果分析可知，通過圖像復(fù)原技術(shù)，可以極大地改善合成孔徑光學(xué)系統(tǒng)圖像像質(zhì)，使得復(fù)原后的圖像和其等效單孔徑系統(tǒng)成像結(jié)果接近。不同填充因子的環(huán)形孔徑系統(tǒng)也會對后續(xù)圖像處理影響較大，填充因子越小，圖像復(fù)原像質(zhì)越差，填充因子越大，圖像復(fù)原像質(zhì)越好，越接近單孔徑成像系統(tǒng)復(fù)原結(jié)果。使用維納濾波和Laplacian算子與參數(shù)維納濾波分別對去噪后的圖像進(jìn)行復(fù)原，Laplacian算子與參數(shù)維納濾波的復(fù)原能力更強(qiáng)，適合于環(huán)形合成孔徑系統(tǒng)復(fù)原圖像。通過對不同復(fù)原結(jié)果進(jìn)行定量計算，發(fā)現(xiàn)使用Laplacian算子與參數(shù)維納濾波對填充因子為0.6的六孔徑環(huán)形系統(tǒng)復(fù)原效果最佳，能充分實(shí)現(xiàn)環(huán)形合成孔徑系統(tǒng)高分辨率成像的目的。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 劉麗，江月松.綜合孔徑成像原理與應(yīng)用[M].北京：國防工業(yè)出版社，2013.7.

[2] 周程灝，王治樂，朱峰.大口徑光學(xué)合成孔徑成像技術(shù)發(fā)展現(xiàn)狀[J].中國光學(xué)，2017，10（1）：25-38.

[3] 孫寶申.合成孔徑成像的應(yīng)用及發(fā)展[J].應(yīng)用聲學(xué).2018，37（5）：787-793.

[4] 柳軍，姜慧，王軍，等.環(huán)面形稀疏孔徑的研究[J].激光與光電子學(xué)進(jìn)展，2012，49（11）：107-111.

[5] 魏小峰.光學(xué)合成孔徑系統(tǒng)成像性能優(yōu)化與分析[D].鄭州：解放軍信息工程大學(xué)，2015.

[6] 姜慧，談志杰，王友清，等.環(huán)形稀疏孔徑結(jié)構(gòu)的研究[J].光學(xué)儀器，2015，37（01）：39-44.

[7] 王宇輝.基于合成孔徑可見光超分辨探測技術(shù)研究[D].西安：西安工業(yè)大學(xué)，2017.

[8] 王晨，曹召欽，馮義田.圖像復(fù)原和重建技術(shù)[J].數(shù)碼設(shè)計（上），2019（10）：19-20.

[9] 唐雎，王凱強(qiáng)，張維，等.一種基于深度學(xué)習(xí)的光學(xué)合成孔徑成像系統(tǒng)圖像復(fù)原方法[J].光學(xué)學(xué)報.2020，40（21）：66-74.

[10] 毛義坪，馬茂源.基于高斯拉普拉斯算子的多聚焦圖像融合[J].計算機(jī)應(yīng)用與軟件，2019，36（10）：216-221.

[11] 孫英慧，孫英娟.基于維納濾波的圖像還原研究[J].長春師范大學(xué)學(xué)報.2016，35（10）：30-33.

[12] 宋程，耿安兵.基于改進(jìn)自適應(yīng)Wiener濾波的光學(xué)合成孔徑系統(tǒng)圖像復(fù)原算法[J].光學(xué)與光電技術(shù)，2015，13（1）：37-41.

[13] 劉立濤，聶亮.合成孔徑光學(xué)成像系統(tǒng)與圖像復(fù)原技術(shù)[J].自動化技術(shù)與應(yīng)用.2021，40（3）：96-101.

[14] 何南南，解凱，李桐，等.圖像質(zhì)量評價綜述[J].北京印刷學(xué)院學(xué)報，2017，25（2）：48-51.