周煌亮，臧朝平

(南京航空航天大學(xué)，江蘇 南京 210016)

0 引言

大功率齒輪箱裝置是空氣渦輪起動(dòng)機(jī)的重要組件之一[1]，渦輪轉(zhuǎn)子通過(guò)行星齒輪系統(tǒng)將動(dòng)力輸出。在研究起動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性時(shí)，通常只考慮渦輪轉(zhuǎn)子本身及其軸承支承系統(tǒng)而忽略與其相連接的齒輪系統(tǒng)，或者單獨(dú)研究行星齒輪減速器的動(dòng)態(tài)特性。由于轉(zhuǎn)子與齒輪系統(tǒng)聯(lián)接耦合在一起，齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)會(huì)對(duì)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速及振動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生影響。因此，分析研究轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，實(shí)現(xiàn)空氣渦輪起動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)是非常重要的[2-5]。

本文將齒輪嚙合簡(jiǎn)化為彈簧連接，采用石川模型計(jì)算得到齒輪形變量及嚙合剛度的平均值，然后基于Ansys經(jīng)典界面，建立了渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)簡(jiǎn)化有限元模型，對(duì)渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)進(jìn)行了臨界轉(zhuǎn)速特性分析以及不平衡響應(yīng)分析[6]。

1 建立計(jì)算模型

1.1 結(jié)構(gòu)介紹

渦輪起動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要包括兩部分，第一部分為單渦輪轉(zhuǎn)子，第二部分為齒輪系統(tǒng)。行星齒輪本身偏心質(zhì)量較小，其本身產(chǎn)生的不平衡載荷可以忽略，齒輪嚙合可認(rèn)為是一種特殊支承。由于只考慮橫向振動(dòng)自由度，齒輪的支承剛度可通過(guò)齒輪嚙合剛度在軸心方向的投影得到。因此，本文在求解結(jié)構(gòu)的臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，將齒輪的嚙合簡(jiǎn)化為彈簧連接處理，起動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化示意圖

1.2 齒輪嚙合剛度計(jì)算

當(dāng)一對(duì)輪齒在分度圓節(jié)點(diǎn)上均勻接觸時(shí)，把每單位齒寬的齒面法向載荷和每個(gè)輪齒齒面法向變形量和的比值定義為一對(duì)輪齒的剛度K，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(1)

其中：Fn為作用與齒廓的法向力；b為齒寬；δ為輪齒的總變形量。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，齒輪變形量的計(jì)算通常采用當(dāng)量齒形法。

目前，工程中常用當(dāng)量齒形模型為石川模型。由該模型可知，輪齒的總體變形應(yīng)包括當(dāng)量齒形中矩形和梯形的彎曲和剪切變形、輪齒基體彈性?xún)A斜引起的輪緣變形以及輪齒的接觸變形等。

根據(jù)材料力學(xué)相關(guān)方法，輪齒矩形部分產(chǎn)生的彎曲變形δBr可表示為

(2)

式中：Fn為作用在輪齒上的法向載荷；E為齒輪材料的彈性模量；hx為輪齒嚙合點(diǎn)的高度；hr為輪齒當(dāng)量齒形矩形部分的高度；SF為輪齒當(dāng)量齒形矩形部分的厚度；βx為法向載荷的作用角。

輪齒梯形部分產(chǎn)生的彎曲變形δBt為

(3)

輪齒總剪切變形δS為

(4)

式中υ為泊松比。

基體彈性?xún)A斜引起的輪齒變形δG為

(5)

此外，輪齒接觸變形δPv為

(6)

輪齒在載荷作用點(diǎn)的總變形量為

δ=δBr+δBt+δS+δG+δpv

(7)

當(dāng)作用于齒輪上的載荷為單位載荷時(shí)，即可求解輪齒的柔度，進(jìn)而求得齒輪副嚙合剛度。齒輪副的綜合嚙合剛度是指軸截面內(nèi)齒輪總剛度的平均值。由于重合度影響，齒輪副嚙合剛度以齒輪基節(jié)為周期變化。根據(jù)定義，齒輪的綜合嚙合剛度為該周期內(nèi)的平均值。

1.3 計(jì)算模型

空氣渦輪起動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要包括渦輪轉(zhuǎn)子和行星齒輪系統(tǒng)兩部分，基于Ansys建立了渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)有限元模型如圖2所示。雙聯(lián)齒輪簡(jiǎn)化為集中質(zhì)量，采用Ansys中的mass 21單元模擬。齒輪嚙合簡(jiǎn)化為彈簧連接，連接剛度由平均嚙合剛度沿軸心方向的投影得到。采用Combin14單元模擬，Combin14單元是兩節(jié)點(diǎn)二維單元，且無(wú)彎曲以及扭轉(zhuǎn)狀態(tài)。

圖2 渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)耦合有限元模型

2 動(dòng)力學(xué)求解及分析

2.1 渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速分析

采用坎貝爾圖法對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，主要考慮起動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)72 000r/min內(nèi)的臨界轉(zhuǎn)速特性，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的坎貝爾圖如圖3所示。

圖3 渦輪轉(zhuǎn)子的坎貝爾圖

由圖3可知渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)在到達(dá)最轉(zhuǎn)速72 000r/min的過(guò)程中有兩階臨界轉(zhuǎn)速如表1所示，兩階臨界振型分別如圖4和如圖5所示。

表1 渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速對(duì)比

圖4 渦輪轉(zhuǎn)子的第一階臨界振型

圖5 渦輪轉(zhuǎn)子的第二階臨界振型

第一階臨界振型主要為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的偏擺振動(dòng)，最大振動(dòng)位置出現(xiàn)在內(nèi)齒圈輪轂上；第二階臨界振型也為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的偏擺振動(dòng)，最大振動(dòng)位置出現(xiàn)在渦輪轉(zhuǎn)子上。

2.2 渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)分析

假設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在渦輪盤(pán)處存在10g·mm的不平衡量，進(jìn)行穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算，分析頻域范圍0～1 000Hz，包含了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作轉(zhuǎn)速區(qū)域(0～900Hz)。得到渦輪轉(zhuǎn)子葉尖、渦輪轉(zhuǎn)子軸端和內(nèi)齒圈處穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線如圖6所示，各不同位置響應(yīng)值對(duì)比如表2所示。

圖6 渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)各位置響應(yīng)曲線

表2 渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)不同位置處響應(yīng)值

由圖6可知，不平衡響應(yīng)計(jì)算得到的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前兩階臨界轉(zhuǎn)速為394Hz、494Hz，與坎貝爾圖計(jì)算得到的臨界轉(zhuǎn)速基本吻合。

由圖6以及表2可知，在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一階臨界轉(zhuǎn)速附近(394Hz)，轉(zhuǎn)子軸端處響應(yīng)值最小，渦輪盤(pán)以及內(nèi)齒圈處響應(yīng)較大。這是由于轉(zhuǎn)子一階振型是渦輪盤(pán)以及內(nèi)齒圈的局部振動(dòng)為主，其中渦輪盤(pán)處的響應(yīng)為內(nèi)齒圈處響應(yīng)的24%。

在轉(zhuǎn)子二階臨界轉(zhuǎn)速494Hz處，渦輪盤(pán)以及內(nèi)齒圈處響應(yīng)較大，這是由于轉(zhuǎn)子二階振型是渦輪盤(pán)以及內(nèi)齒圈的局部振動(dòng)為主，其中渦輪盤(pán)處的響應(yīng)與內(nèi)齒圈處響應(yīng)相當(dāng)，二者比例為84%。

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究的是某型空氣渦輪起動(dòng)機(jī)的渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，首先基于石川模型計(jì)算了齒輪副的形變量以及平均嚙合剛度，在將齒輪嚙合簡(jiǎn)化為彈簧連接的簡(jiǎn)化原則下，建立了渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)有限元模型。基于Ansys對(duì)渦輪轉(zhuǎn)子-齒輪系統(tǒng)進(jìn)行了臨界轉(zhuǎn)速分析以及不平衡響應(yīng)分析，分析結(jié)果表明：

1)在起動(dòng)機(jī)上升到最高轉(zhuǎn)速的過(guò)程中，存在兩階臨界轉(zhuǎn)速分別為23 821r/min以及31 332r/min。兩階臨界振型都為內(nèi)齒圈以及渦輪轉(zhuǎn)子的偏擺振動(dòng)。

2)在轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速附近，內(nèi)齒圈處振動(dòng)響應(yīng)值最大，為3.030mm，轉(zhuǎn)子軸端以及渦輪盤(pán)處振動(dòng)響應(yīng)值較小，分別為0.175mm以及0.737mm。

3)在轉(zhuǎn)子二階臨界轉(zhuǎn)速附近，內(nèi)齒圈處以及渦輪盤(pán)處的振動(dòng)響應(yīng)值較大，分別為1.78mm以及1.50mm，轉(zhuǎn)子軸端處振動(dòng)響應(yīng)值最小，為0.39mm。