黃 振，柏正堯

(云南大學(xué) 信息學(xué)院，云南 昆明 650500)

0 引言

隨著信息技術(shù)的不斷飛速發(fā)展，學(xué)者在研究信號(hào)處理的前沿領(lǐng)域取得了卓越成就，隨著對(duì)前沿信息技術(shù)探知的增加，雖然科技人員已研制出高性能的ADC，但現(xiàn)有最高采樣速率的ADC 仍無(wú)法滿(mǎn)足學(xué)者們對(duì)更高頻率的信號(hào)頻譜及信號(hào)特征的研究，且采樣速率超過(guò)1 GHz的商用ADC 價(jià)格非常昂貴[1]。針對(duì)具有稀疏特性的信號(hào)，提出的壓縮感知(Compressed Sensing，CS)理論[2-4]緩解了ADC 采樣速率的壓力，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的采樣和壓縮同步進(jìn)行，并刪除了冗余信息，降低了數(shù)據(jù)運(yùn)算量，緩解了硬件壓力，然后再由重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)從低維的壓縮數(shù)據(jù)中重構(gòu)出輸入信號(hào)。

目前，信號(hào)處理中的壓縮采樣系統(tǒng)[5-6]主要有隨機(jī)解調(diào)器(Random Demodulator，RD)[7]、多陪集采樣(Multi-Coset Sampling，MCS)[1，6-8]和調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器(Modulated Wideband Converter，MWC)[1，6-7，9]3 種采樣系統(tǒng)。RD 是單通道多音頻模型的欠采樣，對(duì)輸入信號(hào)模型比較敏感，當(dāng)信號(hào)是非線譜信號(hào)時(shí)，重構(gòu)誤差和重構(gòu)計(jì)算量均較大，因此無(wú)法普遍適用于所有的寬帶信號(hào)[1]。MWC 采樣系統(tǒng)是多通道均勻亞奈奎斯特采樣，隨著采樣系統(tǒng)通道數(shù)的增加，使得產(chǎn)生各通道上非相關(guān)偽隨機(jī)序列的難度成幾何倍數(shù)地增加，同時(shí)偽隨機(jī)序列的跳變速率不小于奈奎斯特采樣速率。MCS 是多通道周期非均勻亞奈奎斯特采樣，通過(guò)調(diào)整各通道上的時(shí)延實(shí)現(xiàn)頻域內(nèi)不同權(quán)值的頻譜裁剪，在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)各通道上的時(shí)延器很難產(chǎn)生理論中的理想時(shí)延，同時(shí)MCS 在接收信號(hào)前未先進(jìn)行低通濾波，導(dǎo)致ADC 的接收輸入模擬帶寬必須不小于輸入信號(hào)的模擬帶寬。

本文借鑒MWC 在對(duì)輸入信號(hào)采樣前先進(jìn)行頻譜調(diào)制來(lái)降低待采樣信號(hào)模擬帶寬的思想，結(jié)合MCS 通過(guò)控制各通道上的時(shí)延來(lái)實(shí)現(xiàn)頻譜裁剪的思想，提出了預(yù)調(diào)制多陪集采樣系統(tǒng)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，該系統(tǒng)有效克服了MCS 中低速ADC 最大接收輸入模擬帶寬問(wèn)題和難以產(chǎn)生精準(zhǔn)時(shí)延問(wèn)題，同時(shí)克服了MWC 隨著通道數(shù)的增加而帶來(lái)的各通道上產(chǎn)生非相關(guān)偽隨機(jī)序列的難度。

1 多通道采樣系統(tǒng)

1.1 MCS

MCS 是一個(gè)多通道周期非均勻采樣系統(tǒng)，每個(gè)通道上由時(shí)延器和低速ADC 組成，其采樣框架如圖1 所示。

圖1 多陪集采樣框架

MCS 通過(guò)調(diào)整時(shí)延ΔCi控制各通道上低速ADC 采樣起始時(shí)刻，實(shí)現(xiàn)時(shí)間交替采樣；并通過(guò)控制通道數(shù)q和低速ADC 采樣周期對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行多通道并行交替壓縮采樣，頻域內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)x(t)的頻譜進(jìn)行裁剪，然后采用MUSIC 算法[10-11]對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。

MCS 在低速ADC 采樣前沒(méi)有對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波過(guò)程，因ADC 的輸入模擬帶寬要不小于輸入信號(hào)最高頻率的兩倍，導(dǎo)致MCS 不能處理高頻、特高頻信號(hào)；同時(shí)，硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)因電子器件非理論中的完美器件，導(dǎo)致難以按理論中的要求產(chǎn)生各通道上的精準(zhǔn)時(shí)延。

1.2 MWC

MWC 是一個(gè)多通道周期均勻采樣系統(tǒng)，各通道上由偽隨機(jī)序列發(fā)生器、乘法器、低通濾波器和低速ADC組成。其中，偽隨機(jī)序列的一個(gè)周期內(nèi)有M 個(gè)±1 的矩形脈沖信號(hào)，實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行離散化和頻譜調(diào)制。在MWC 各通道上的低通濾波器的作用是對(duì)調(diào)制后的信號(hào)進(jìn)行濾波，同時(shí)低速濾波器帶有積分器[9，12]的作用，實(shí)現(xiàn)對(duì)M 個(gè)離散化樣本點(diǎn)進(jìn)行積分。然后，由低速ADC 采樣后輸出壓縮信號(hào)，再采用以正交匹配追蹤(Orthogonal Match Pursuit，OMP)[13-14]為代表的貪婪算法重構(gòu)出輸入信號(hào)。

MWC 各通道上通過(guò)采用周期偽隨機(jī)序列對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行調(diào)制，并在各通道上實(shí)現(xiàn)不同權(quán)值的頻譜混疊，為了能從壓縮數(shù)據(jù)中重構(gòu)出輸入信號(hào)，需要各通道上的偽隨機(jī)序列之間具有非相關(guān)性，這就導(dǎo)致隨著通道數(shù)的增加，生成各通道上的非相關(guān)偽隨機(jī)序列難度成倍增加。

2 預(yù)調(diào)制多陪集采樣系統(tǒng)

2.1 基本思路

MSC 在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)因低速ADC 的電子元器件存在最大輸入模擬帶寬問(wèn)題，導(dǎo)致被采樣的輸入信號(hào)帶寬要小于其模擬帶寬，但實(shí)際輸入信號(hào)帶寬均大于ADC 的最大輸入模擬帶寬。針對(duì)該問(wèn)題，本文借鑒MWC 在采樣前先進(jìn)行頻譜調(diào)制來(lái)降低采樣前信號(hào)帶寬的思想，提出預(yù)調(diào)制多陪集采樣系統(tǒng)。該系統(tǒng)在MCS 系統(tǒng)框架的各通道上添加混頻器和低通濾波器，在頻域?qū)斎胄盘?hào)進(jìn)行頻譜調(diào)制后，由低通濾波器濾除多余頻譜信息，從而使待采樣信號(hào)帶寬小于低速ADC 最大輸入模擬帶寬。

MCS 的本質(zhì)是從奈奎斯特采樣序列中選擇出一些周期性的特定采樣點(diǎn)[1，5]，通過(guò)控制各通道上的不同時(shí)延和低速ADC 采樣周期來(lái)實(shí)現(xiàn)頻域內(nèi)對(duì)輸入信號(hào)的頻譜進(jìn)行裁剪，從而實(shí)現(xiàn)每個(gè)通道上低速率采樣。而MWC通過(guò)各通道上偽隨機(jī)序列之間的非相關(guān)性，實(shí)現(xiàn)各通道上在頻域內(nèi)的頻譜混疊權(quán)值不同，并將信號(hào)恢復(fù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多測(cè)量向量(Multiple Measurement Vector，MMV)[15]求解問(wèn)題。在本文提出的預(yù)調(diào)制多陪集采樣系統(tǒng)中的混頻信號(hào)不同于MWC 的偽隨機(jī)序列，而是幅值為1、周期是奈奎斯特采樣周期整數(shù)倍的單脈沖序列的調(diào)制信號(hào)，其作用是在各通道上周期性的對(duì)輸入信號(hào)的特定位置點(diǎn)進(jìn)行離散化，與MCS 采樣本質(zhì)相同。同時(shí)，混頻信號(hào)在混頻時(shí)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行了頻譜調(diào)制，然后由ADC 進(jìn)行低速采樣輸出壓縮數(shù)據(jù)，且各通道上的隨機(jī)序列和低速ADC 共用同一控制時(shí)鐘，實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行同步壓縮采樣。

2.2 系統(tǒng)框架及分析

預(yù)調(diào)制多陪集采樣系統(tǒng)是多通道周期采樣系統(tǒng)，每個(gè)通道均由混頻器、低通濾波器和低速ADC 組成，如圖2所示。

圖2 預(yù)調(diào)制多陪集采樣系統(tǒng)

假設(shè)輸入信號(hào)x(t)為稀疏多頻帶信號(hào)，且為頻域內(nèi)帶限信號(hào)，奈奎斯特采樣頻率為W，輸入信號(hào)帶寬為W/2；x(t)由N 個(gè)子頻帶組成，且?guī)払 均遠(yuǎn)小于輸入信號(hào)帶寬；TNYQ為奈奎斯特采樣周期(TNYQ=1/W)，pi為第i 通道上隨機(jī)序列的起始時(shí)刻，則周期單脈沖序列信號(hào)pi(t)在t=(kL+pi)TNYQ時(shí)刻對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行離散化，且1＜＜i＜＜q，k=0，1，2，…，LTNYQ為隨機(jī)序列發(fā)生 器和低速ADC 的周期，q 為通道數(shù)。

輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)周期單脈沖序列信號(hào)離散化后為x(kL/W+pi/W)，因低通濾波器在時(shí)域內(nèi)具有積分器的作用，因此低通濾波器在時(shí)域的作用是把x(t)在t=(kL+pi)TNYQ的幅值累加至(k+1)LTNYQ時(shí)刻，且低速ADC 采樣時(shí)刻為(k+1)LTNYQ。則第i 通道上的輸出信號(hào)的表達(dá)式為：

計(jì)算yi(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)，將ω 范圍設(shè)定為[-πW/L，πW/L)，并令Q=，可得：

其中，i=1，…，q。對(duì)于預(yù)調(diào)制多陪集采樣系統(tǒng)，式(2)可用向量矩陣表達(dá)式簡(jiǎn)寫(xiě)為：

其中，Z 為q×1 向量，S 為L(zhǎng)×1 向量，Φ 為q×L 矩陣，它們的元素分別為：

其中，i=1，…，q；l=1，…，L；ml=-Q+l。

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

在仿真實(shí)驗(yàn)中，稀疏多頻帶信號(hào)參數(shù)為：子頻帶數(shù)N 為4，帶寬B 均為15 Hz，中心載頻為-350 Hz、-100 Hz、100 Hz 和350 Hz，總占頻帶寬為1 000 Hz(即奈奎斯特采樣頻率fNYQ)；輸入信號(hào)的信噪比為45 dB，時(shí)域觀測(cè)長(zhǎng)度為10 s，子頻帶時(shí)延分別為2 s、4 s、6 s 和8 s。預(yù)調(diào)制多陪集采樣系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置為：通道數(shù)q=15(q≥2N)，L=100(即隨機(jī)序列和ADC 采樣的周期為100TNYQ）；各通道上的隨機(jī)序列的起始時(shí)刻為隨機(jī)產(chǎn)生(小于L)，為奈奎斯特周期采樣的整數(shù)倍，且互不相同，如圖3(b)所示。

圖3(a)是輸入稀疏多頻帶信號(hào)的時(shí)域波形圖，圖3(c)～圖3(e)分別是第1、2、15 通道上輸入信號(hào)與隨機(jī)序列經(jīng)混頻器后輸出的時(shí)域波形圖，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)序列時(shí)延為奈奎斯特采樣周期的92、41、3 倍。隨機(jī)序列的周期遠(yuǎn)大于奈奎斯特采樣周期，在各通道上經(jīng)混頻器對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行頻譜調(diào)制后，經(jīng)由低通濾波器濾波和低速ADC 亞奈奎斯特采樣后輸出壓縮采樣數(shù)據(jù)，該過(guò)程與MCS 本質(zhì)相同，之后采用MUSIC 算法從壓縮采樣數(shù)據(jù)中重構(gòu)出輸入信號(hào)。

圖3 混頻信號(hào)

圖4(a)是采用MUSIC 算法計(jì)算出壓縮矩陣的特征譜，圖4(b)是MUSIC 算法識(shí)別出來(lái)的有用信息(含有頻譜)的頻譜切片。圖5(a)～圖5(c)分別為無(wú)噪的輸入信號(hào)、有噪的輸入信號(hào)和重構(gòu)出的信號(hào)，圖5(d)～圖5(f)分別為對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)波形圖。

圖4 MUSIC 算法識(shí)別出的頻譜片段

圖5 重構(gòu)信號(hào)與輸入信號(hào)的對(duì)比

預(yù)調(diào)制多陪集采樣系統(tǒng)的核心是在各通道上通過(guò)隨機(jī)序列發(fā)生器產(chǎn)生不同起始時(shí)刻的周期單脈沖調(diào)制信號(hào)，以實(shí)現(xiàn)頻域內(nèi)的頻譜調(diào)制和時(shí)域內(nèi)亞奈奎斯特采樣，因此在仿真實(shí)驗(yàn)中各通道上隨機(jī)序列的起始時(shí)刻為隨機(jī)產(chǎn)生，分別為奈奎斯特采樣周期的92、41、75、42、56、72、60、63、58、73、30、48、76、69、3 倍。因各通道上隨機(jī)序列的時(shí)延不同，使得各通道上的壓縮采樣數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的頻譜混疊權(quán)值不同，實(shí)現(xiàn)該采樣系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的頻譜裁剪，經(jīng)MUSIC 算法對(duì)壓縮感知矩陣進(jìn)行計(jì)算，識(shí)別出頻域內(nèi)含有頻譜的頻譜片段，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的重構(gòu)，在仿真實(shí)驗(yàn)中信號(hào)重構(gòu)的均方誤差在10-5量級(jí)。同時(shí)，該采樣系統(tǒng)有15 個(gè)通道，各通道上的L 均為100，因此，各通道上的采樣速率為W/L=10 Hz，采樣系統(tǒng)總采樣速率為qW/L=150 Hz，采樣速率是奈奎斯特采樣速率的0.15 倍。

4 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)MWC 和MCS 采樣系統(tǒng)進(jìn)行了分析，提出了預(yù)調(diào)制多陪集采樣系統(tǒng)，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該采樣系統(tǒng)的可行性，在實(shí)現(xiàn)低速率采樣和完美重構(gòu)出輸入信號(hào)的同時(shí)，有效克服了MCS 各通道上低速ADC 最大輸入模擬帶寬上限問(wèn)題和難以產(chǎn)生精準(zhǔn)時(shí)延問(wèn)題，同時(shí)克服了MWC 非相關(guān)偽隨機(jī)序列發(fā)生器的困難。在實(shí)際工程應(yīng)用中，針對(duì)稀疏多頻帶信號(hào)的頻帶帶寬、頻譜波形、奈奎斯特帶寬等特征，需進(jìn)一步設(shè)計(jì)預(yù)調(diào)制多陪集采樣系統(tǒng)的通道數(shù)、隨機(jī)系列周期以及ADC 采樣周期等重要參數(shù)。下一步工作將針對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的稀疏多頻帶信號(hào)，設(shè)計(jì)預(yù)調(diào)制多陪集采樣系統(tǒng)，硬件實(shí)現(xiàn)該采樣系統(tǒng)并進(jìn)行實(shí)測(cè)，力爭(zhēng)推進(jìn)本文研究成果的實(shí)際應(yīng)用。