王佳敏,可雪麗,臧愛彬

(1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127;2.湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 湖南 湘潭 411105; 3.宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院/應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中心,江西 宜春 336000)

在淺水波領(lǐng)域, 經(jīng)典的模型包括Korteweg-de Vries(KdV) 方程[1]、 Camassa-Holm 方程[2-3]、Kadomtsev-Petviashvili方程[4]等。其中，Camassa-Holm方程[3]有如下表達(dá)形式:

ut-utxx+2κux+3uux=

2uxuxx+uuxxx,t>0,x∈

(1)

該方程是一個(gè)非線性色散波方程。 當(dāng)κ>0時(shí), 此方程可以模擬單向淺水波在平坦底部的傳播, 并且u(t,x)表示t時(shí)刻在水平方向x上的流體速度[3，5]。關(guān)于KP方程的詳細(xì)理論，可參考文獻(xiàn)[4]和[6]。

CH方程的廣義形式還可以模擬非線性波在直徑較小的圓柱形超彈性桿內(nèi)的傳播[7]。在文獻(xiàn)[8]中, Coclite等學(xué)者研究了廣義超彈性桿波動(dòng)方程(或廣義Camassa-Holm方程)

t>0,x∈

(2)

其中，函數(shù)g:→給定,常數(shù)γ∈是根據(jù)材料常數(shù)和桿的預(yù)應(yīng)力給定。若g(u)=2κu+3u2且γ=1,則方程(2)是經(jīng)典的Camassa-Holm方程。若初值在H1()空間, 文獻(xiàn) [8] 證明了方程(2)整體弱解的強(qiáng)連續(xù)半群的存在性, 并且得到了弱解等于強(qiáng)解的唯一性結(jié)果。文獻(xiàn) [9] 在Xs(s>0)空間中研究了Camassa-Holm-Kadomtsev-

Petviashvili(CH-KP)方程

(ut-uxxt+κux+3uux-(2uxuxx+uuxxx))x+

uyy=0

解的局部適定性、爆破準(zhǔn)則和劉維爾定理等。關(guān)于CH-KP方程的詳細(xì)理論可參考文獻(xiàn)[10-11]。

受文獻(xiàn)[8] 和文獻(xiàn) [9] 的啟發(fā), 本文研究了二維廣義Camassa-Holm-Kadomtsev-Petviashvili (CH-KP)方程

uyy=0。

(3)

其中：u(t,x,y)表示t時(shí)刻的流體速度；g(u)∈C∞(),g(0)=0；常數(shù)γ>0。方程(3)也稱為Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程, 其CH對(duì)應(yīng)項(xiàng)是二維廣義超彈性桿波動(dòng)方程。本文的研究思路主要來源于文獻(xiàn) [9], 創(chuàng)新之處在于推廣了文獻(xiàn) [9] 的研究思路及其方法的適用性, 研究得到了當(dāng)g(u)∈C∞,γ>0時(shí), 廣義CH-KP方程(3)解的局部適定性結(jié)果。

首先, 將廣義CH-KP方程(3)轉(zhuǎn)化為等價(jià)形式。令uy=vx, 則uyy=(vy)x。進(jìn)而可以將方程(3)寫成下列等價(jià)形式:

(4)

(5)

G*vy=0

(6)

從而,將方程(3)轉(zhuǎn)化為

(7)

考慮到方程組(7)的結(jié)構(gòu), 下面給出Xs(s>0)空間的定義及其內(nèi)積和范數(shù), 關(guān)于其詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn) [9]。

定義1Xs是一個(gè)希爾伯特空間, 其中s>0,

Hs(2), ?xu∈Hs(2)}。

并對(duì)于任意u∈Xs(2)賦以范數(shù)

和內(nèi)積

(?xu,?xv)Hs, ?u,v∈Xs(2),

下面給出本文的主要結(jié)論。

定理1設(shè)u0∈Xs(2),s≥2, 則存在T>0, 使得方程組(7)在空間C([0,T];Xs(2))∩C1([0,T];Xs-2(2))中存在唯一解u，滿足

此外, 解u連續(xù)依賴于初值u0。

定理2(爆破準(zhǔn)則)設(shè)s≥2,u0∈Xs(2)且u是定理1中方程組(7)的相應(yīng)解。假設(shè)是最大存在時(shí)間, 且g(u)=u3或g(u)=u4時(shí), 有

(8)

注記2局部適定性結(jié)果 (定理 1) 和爆破準(zhǔn)則 (定理 2) 也對(duì)Sobolev空間Xs(Ω1×Ω2)，s≥2成立, 其中Ω1和Ω2是實(shí)數(shù)軸或單位圓P=/。

定理3假設(shè)u0∈Xs(P2),s≥2。設(shè)T0是方程組(7)在空間C([0,T];Xs(P2))∩C1([0,T];Xs-2(P2))中的解u的最大存在時(shí)間。當(dāng)g(u)=ξγu2(ξ為任意常數(shù))時(shí), 假設(shè)有一點(diǎn)x0∈P滿足

(9)

T0≤

如果y∈, 則空間L2()不能嵌入到空間L1()中，定理3不成立。 通過給方程(7)乘以權(quán)函數(shù), 得到了如下定理 4。

定理4固定φ∈H2(),φ≥0, 且假設(shè)u0∈Xs(2)，s≥2。設(shè)T0是方程(7)在空間C([0;T];Xs(2))∩C1([0;T];Xs-2(2))中的相應(yīng)解的最大存在時(shí)間。當(dāng)g(u)=un(n=3或4)時(shí), 假設(shè)有一個(gè)點(diǎn)x0∈使得其中C2滿足

則解u在有限時(shí)間T0內(nèi)爆破,滿足

注記5本文中的常數(shù)C0不一定相等，常數(shù)C也不一定相等。

研究中的主要困難是：①將文獻(xiàn)[9]中的函數(shù)2κu+3u2推廣到任意C∞函數(shù)g(u), 以及將2uxuxx+uuxxx項(xiàng)的系數(shù)1 推廣到任意正數(shù)γ, 這將會(huì)增加方程的研究難度。受文獻(xiàn) [12-14]的啟發(fā), 找到g(u)的范數(shù)與u的范數(shù)之間的關(guān)系, 同時(shí)利用卷積的Young不等式和Sobolev嵌入等理論解決了主要困難。②一般的g(u)的范數(shù)與u的范數(shù)的關(guān)系式對(duì)爆破準(zhǔn)則及其相關(guān)定理的證明不再適用。主要原因在于g(u)的范數(shù)估計(jì)式對(duì)函數(shù)u的正則性要求較高。因此, 在爆破準(zhǔn)則及其相關(guān)定理中, 本文只論證g(u)為幾類特殊多項(xiàng)式函數(shù)的情況。

1 預(yù)備知識(shí)

為了便于后面局部適定性定理的證明,給出以下幾個(gè)引理。

‖fg‖Hs(2)≤C(‖Λsf‖Lp1(2)‖g‖Lq1(2)+

‖Λsg‖Lp2(2)‖f‖Lq2(2)),

其中p1,p2∈[2,+∞)和q1,q2∈(2,+∞]滿足

i) ‖[Λs,f]g‖L2(2)≤

C(‖Λsf‖L2(2)‖g‖L∞(2)+

ii) ‖[Λs,f]g‖L2(2)≤

C(‖f‖Hq0(2)‖g‖Hs-1(2)，?q0>1,

0≤s≤q0+1，

其中所有常數(shù)C與f和g無關(guān)。

引理3(Sobolev嵌入)[9]對(duì)于s≥2, 空間Xs(2)可以連續(xù)嵌入到Lip(2)空間中, 即存在一個(gè)常數(shù)C，使得‖u‖L∞(2)≤C‖u‖Xs(2)。

推論1[9]對(duì)于所有u∈Xs(2),s≥2, 則下列3個(gè)不等式成立:

iii) ‖u‖L∞≤C(‖u‖L2+‖ux‖L2+‖uy‖L∞)。

注記6在推論1中，所有C皆為正常數(shù)，且i)、ii)、iii)中的常數(shù)C不一定相等。

引理4[12]設(shè)g是上的光滑函數(shù)且g(0)=0。若u∈Hs(2)∩L∞(2),s>0, 則復(fù)合函數(shù)g°u也屬于Hs(2)∩L∞(2)空間, 并且有

‖g°u‖Hs≤C(g′,‖u‖L∞)‖u‖Hs。

引理5[12-14]若u∈L∞(2), 則復(fù)合函數(shù)g′°u,g″°u也屬于L∞(2)空間, 并且滿足

‖g′°u‖L∞≤

C(g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞),

‖g″°u‖L∞≤

C(g″,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞),

其中,g是上的光滑函數(shù)且g(0)=0。

2 定理1的證明

定理1的證明分為存在性和唯一性兩部分。由于其證明較為冗長, 所以先給出先驗(yàn)估計(jì), 即論證命題1, 其證明主要分兩大步:第一步對(duì)u作L2范數(shù)估計(jì); 第二步對(duì)u作高階Xs范數(shù)估計(jì)。下面給出先驗(yàn)估計(jì)及其詳細(xì)的證明過程。

命題1(Xs能量估計(jì))設(shè)u0∈Xs(2),u是方程組(7)的光滑解, 則有:

i)當(dāng)s>2時(shí), 下列估計(jì)式成立

且存在T>0,滿足2C(γ,g′,‖u‖L∞)(‖u0‖Xs+1)T≤1,使得

2‖u0‖Xs, ?t∈[0,T]。

ii) 當(dāng)s=2時(shí), 下列估計(jì)式成立

C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)[(‖u‖L∞+

且存在T>0,滿足

證明第1步 對(duì)u作L2范數(shù)估計(jì)。

vy=0。

(10)

方程(10)關(guān)于u作L2內(nèi)積, 由分部積分得

(11)

接下來, 對(duì)等式(11)的右邊兩項(xiàng)分別估計(jì)。利用分部積分并整理可得

由分部積分與函數(shù)g(u)的光滑性可知

結(jié)合上述事實(shí), 可以推出

(12)

第2步 對(duì)u作高階Xs范數(shù)估計(jì)。

對(duì)方程(10)變形并作用分?jǐn)?shù)階算子Λs, 有

?tΛsu-?tΛsuxx+

Λs?yv=0

(13)

(14)

(15)

其中,Ai,i=1,…,4分別如下:

下面,對(duì)等式(15)右邊的A1～A4分別進(jìn)行估計(jì)。結(jié)合等式uy=vx與分部積分, 有

引理1, 計(jì)算出

Cγ‖u2‖Hs‖ux‖Hs≤

同理可得

將A1～A4的估計(jì)代入等式(15)并整理可得, 對(duì)于s≥2，

C(γ,g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞+

(16)

再結(jié)合Xs范數(shù)的定義,可推導(dǎo)出

C(γ,g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞+

(17)

情形1當(dāng)s>2時(shí)，對(duì)式(13)關(guān)于Λsu在全空間作L2內(nèi)積得

(18)

采用相似于A1的估計(jì)方法, 易得

|B1|=

C(γ)[C(g′,‖u‖L∞)+

(19)

為了得到B2的估計(jì),首先根據(jù)分部積分和交換子的定義得到

‖[Λs,u]uxx‖L2‖ux‖Hs)≤

C(‖ux‖L∞‖ux‖Hs+‖u‖L∞‖uxx‖Hs-1+

‖uxx‖L∞‖u‖Hs)‖ux‖Hs

(20)

再結(jié)合嵌入不等式和Young不等式可得

|B2|≤C(γ)(‖u‖L∞+

因此, 將B1至B3的估計(jì)代入式(18)并整理, 有

C(γ,g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞+

(21)

將式(17)和式(21)合并整理得

(22)

情形2當(dāng)s=2時(shí),空間Hs-1不能嵌入到空間L∞中，式(21)中的‖uxx‖L∞不能再利用嵌入不等式估計(jì)。因此, 對(duì)于s=2, 需要采用新的方法對(duì)u進(jìn)行高階導(dǎo)數(shù)估計(jì)。受文獻(xiàn) [9] 的啟發(fā), 并由推論1可知

(23)

‖uxx‖L∞≤C(‖uxx‖L2+

‖uxxx‖L2+‖uxxy‖L∞)。

(24)

?tu+γu?xu+γuxu+

G*vy=0,

(25)

?tux+γu?xux+γuxux+

Gx*vy=0,

(26)

?tuxx+γu?xuxx+2γuxuxx+

2γuxxux+γuxxxu-

γuxu+γuux+

Gxx*vy=0。

(27)

I1+I3+I4+I6,

(28)

(29)

這里,Ij,j=1,…,7,分別是

γuxux)]·uxdxdy,

γuu+γuxux)]·uxxdxdy,

繼而對(duì)I1～I(xiàn)7分別進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)分部積分以及函數(shù)G的性質(zhì)可得

|I3|≤(γ‖ux‖L2‖u‖L∞+

γuxux)‖L2)‖u‖L2。

(30)

C(γ)(‖g′(u)‖L∞‖u‖L2+

‖u‖L∞‖u‖L2+‖ux‖L∞‖ux‖L2)≤

C(γ)[C(g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞)‖u‖L2+

‖u‖L∞‖u‖L2+‖u‖L∞‖ux‖L2]

(31)

結(jié)合式(30)～(31)與Young不等式可得

|I3|≤C(γ,g′,‖u‖L∞)[(1+

類似于I3的估計(jì),可以推出

|I4|≤

|I5|≤[2γ‖ux‖L∞‖uxx‖L2+

γ‖uxxx‖L2‖u‖L∞+

γ‖ux‖L2‖u‖L∞+

γ‖u‖L∞‖ux‖L2+

γuxux)‖L2]‖uxx‖L2

(32)

采用文獻(xiàn)[9]中, 引理3.3的證明方法可以推出

C(γ)‖ux‖L2‖uxx‖L2

(33)

由引理5易得

C(g″,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞)×

(34)

C(g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞)‖ux‖L2。

(35)

將式(33)～(35)整理代入不等式(32), 并結(jié)合Young不等式放縮, 有

|I5|≤C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)×

[(1+‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞)+

(36)

于是,聯(lián)立估計(jì)式I1,I3,I4,I6并代入等式(28), 可得

C(γ,g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞+

(37)

將I1～I(xiàn)7所有估計(jì)式聯(lián)立代入等式(29),整理得到

C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)[‖ux‖L2+

(38)

?tuyy+γu?xuyy+2γuyuxy+γuxuyy+

G*vyyy=0,

(39)

Gx*vyyy=0。

(40)

分別對(duì)式(39), (40)關(guān)于uyy,uxyy在全空間作L2內(nèi)積并將所得結(jié)果相加, 得到

(41)

其中

由分部積分, 函數(shù)G的性質(zhì)以及uy=vx可得

(42)

再次利用分部積分,對(duì)J2整理如下:

(43)

(44)

同理可得

(45)

C(γ)(‖ux‖L2+‖uxx‖L2)×

(46)

采用類似于式(44)的估計(jì)方法, 并結(jié)合引理5, 可推導(dǎo)出

‖uxyy‖L2≤

C(g″,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞)×

(47)

使用與推算式(47)同樣的方法, 可以得到

C(g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞)×

(48)

將式(44)～(48)整理代入式(43), 適當(dāng)合并可得

|J2|≤C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)×

{[(1+‖u‖L∞)‖u‖L2+1+

‖u‖L∞+‖u‖L∞+‖ux‖L2+

[(1+‖u‖L∞)‖u‖L2+

于是,聯(lián)立估計(jì)式J1～J4并代入式(41)可得

C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)×

{[(1+‖u‖L∞)‖u‖L2+‖u‖L∞+

‖u‖L∞+‖ux‖L2+‖uxx‖L2+1]×

[(1+‖u‖L∞)‖u‖L2+

(49)

聯(lián)立式(12)、 (16)、 (38)、 (49), 可推導(dǎo)出

C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)[(‖u‖L∞+

(50)

一方面,當(dāng)s>2時(shí),易得

(51)

則式(51)結(jié)合式(22)可得

(52)

根據(jù)Gr?nwall[16]不等式計(jì)算可知

(53)

取T>0, 使得不等式2C(γ,g′,‖u‖L∞)(‖u0‖Xs+1)T≤1成立, 則根據(jù)bootstrap方法得到

(54)

另一方面, 當(dāng)s=2時(shí), 有

(55)

于是,式(55)結(jié)合式(50)易得

C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)[(‖u‖L∞+

(56)

由Gr?nwall不等式可得

(57)

取T>0, 使得不等式

2C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)×

(1+‖u‖L∞)+

成立, 則由bootstrap方法得到, 式(54)仍然成立。

至此, 完成命題1的證明。

定理1的證明由命題1可知, 式(54)對(duì)?s≥2都成立。再結(jié)合方程(3), 可以得到

?t∈[0,T]

(58)

繼而可以利用逼近方法[17]與緊性理論, 通過構(gòu)造方程(7)的逼近方程, 并找滿足特定條件的逼近解, 對(duì)逼近方程取極限等步驟, 進(jìn)而得到解的存在性。

接下來, 證明解的唯一性。假設(shè)u(1),u(2)是方程(7)在空間C([0;T];Xs(2))∩C1([0;T];Xs-2(2))中具有相同初值的兩個(gè)解。記δu=u(1)-u(2),δv=v(1)-v(2),則(δu,δv)滿足

(59)

首先, 取方程(59)和δu的L2內(nèi)積得:

(60)

(61)

(1-θ)u(2))(u(1)-u(2))]δudxdy|≤

C(g′,‖(u(1),u(2))‖L∞)(1+

(62)

其中θ∈(0, 1)。 又由分部積分與等式uy=vx, 易得

(63)

接下來估計(jì)D3。易知

(64)

(65)

u(2))δu]δudxdy|≤

(66)

利用分部積分,卷積的Young不等式與引理3, 可得估計(jì)式

‖δu‖L2≤

(67)

將式(65)～(67)代入式(64), 適當(dāng)合并可得

(68)

將式(61)～(63), 式(68)代入等式(60)得到:

C(γ,g′,‖(u(1),u(2))‖L∞)(1+

(69)

(70)

其中

(71)

(72)

(73)

繼而估計(jì)E2。

(74)

(75)

C(γ)(‖(u(1)+u(2))‖L∞‖δu‖L2+

‖u(1)+u(2)‖L∞‖δu‖L2)‖δu‖L2≤

(76)

關(guān)鍵是估計(jì)E2,3。利用分部積分與卷積的性質(zhì),整理得到

(77)

(78)

(79)

將式(78)～(79)代入式(77)可知

(80)

將式(75)、(76)、(80)代入等式(74)可得估計(jì)式

(81)

(1-θ)u(2))δuu(2)]·δudxdy|≤

C[C(g′,‖u(1)‖L∞)+

C(g″,‖(u(1),u(2))‖L∞)‖u(2)‖X2]×

(82)

由分部積分易得

(83)

將式(73), (81)～(83)代入式(72), 有

C(γ)[1+C(g′,‖u(1)‖L∞)+

C(g″,‖(u(1),u(2))‖L∞)‖u(2)‖X2]×

(84)

于是,式(69)與式(84)聯(lián)立可以推出:

C(g′,‖(u(1),u(2))‖L∞)+

C(g″,‖(u(1),u(2))‖L∞)‖u(2)‖X2]×

(85)

因此, 方程組(7)在空間C([0,T];Xs(2))∩C1([0,T];Xs-2(2))中存在唯一解u。此外, 根據(jù)式(54), 可以證明解u在空間Xs中連續(xù)依賴于初值u0。定理1證畢。

3 定理 2的證明

定理2的證明和文獻(xiàn) [9] 的爆破準(zhǔn)則證明思路相同, 但證明過程更為復(fù)雜。為使問題簡單化, 本文只論證g(u)=u3和g(u)=u4的情況。

情形1g(u)=u3。先驗(yàn)估計(jì)的證明思路與命題1類似, 因此只給出不同部分的推算過程。為了證明的簡單化, 只證明s=2的情況。根據(jù)命題1可得

其中A1,A3,A4的估計(jì)與命題1相同。當(dāng)g(u)=u3時(shí),

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2)(‖u‖L2+

則對(duì)于s≥2，

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(1+‖u‖L∞+

(86)

C(γ)‖u‖L∞‖ux‖L2‖u‖L2≤

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L∞+1)×

對(duì)I4的估計(jì)采用類似于I3的證明方法, 可以推出

|I4|≤C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

接下來估計(jì)

γuxu+γuux+Gx*

γuxux)]·uxxdxdy|。

C‖u‖L∞‖u‖L4‖ux‖L4‖uxx‖L2≤

C‖u‖L∞(‖u‖L2+

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2)(‖u‖L∞+1)×

結(jié)合上述兩個(gè)不等式, 就有

|I5|≤C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)[(‖u‖L2+

于是,聯(lián)立估計(jì)式I1,I3,I4,I6可得

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L∞+1)×

(87)

將I1～I(xiàn)7所有估計(jì)式聯(lián)立并整理得到

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)[(‖u‖L2+1)×

(88)

(89)

從而,聯(lián)立式(88)和式(89), 有

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(90)

(91)

exp{C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

接下來估計(jì)J1～J5。如命題1的證明, 易得J3=J4=0。關(guān)鍵是估計(jì)

γuuyy]uxyydxdy。

類似于式I5的估計(jì)方法,可推導(dǎo)出

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(92)

使用與式(92)同樣的方法, 可以得到

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L2+1)×

(93)

將式(92)～(93)代入式J2, 整理得

|J2|≤

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ){[(‖u‖L2+1)×

于是,聯(lián)立估計(jì)式J1～J4可得

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(94)

將式(12),(86),(88),(94)聯(lián)立可推導(dǎo)出

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

將估計(jì)式(91)代入上式, 有

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

其中,

情形2g(u)=u4。先驗(yàn)估計(jì)的證明思路與命題1類似, 因此只給出不同部分的推算過程。為了證明的簡單化, 只證明s=2的情況。根據(jù)命題1可得

其中A1,A3及A4的估計(jì)與命題1相同。當(dāng)g(u)=u4時(shí),

利用乘積估計(jì)迭代可得

(95)

再結(jié)合推論1與式(12)可得

(96)

則有

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L∞+1)×

(97)

γuu+γuxux)]·udxdy|≤

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L∞+1)×

(98)

類似可得

|I4|≤C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(99)

接下來估計(jì)

γuxxxu-6u2uxu-2u3ux+

γuxu+γuux+Gx*(2u3u-γuu+

γuxux)]·uxxdxdy|

(100)

由推論1可以推出

(101)

C‖uy‖L∞‖ux‖L2‖u‖L2‖ux‖L2‖uxx‖L2≤

(102)

所以

|I5|≤C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(103)

則有

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L∞+1)×

(104)

‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L∞+

(105)

(106)

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)[‖u‖L∞+

(107)

(108)

其中

exp{C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

接下來估計(jì)

由推論1與式(12)可得

‖uy‖L∞‖uxyy‖L2≤

‖uy‖L∞‖uxyy‖L2≤

(109)

C‖uy‖L∞‖ux‖L2‖u‖L2×

‖uyy‖L2‖uxyy‖L2≤

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2)‖u‖L∞×

(110)

其他項(xiàng)如命題1中的估計(jì),因此得到

|J2|≤C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(111)

所以

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(112)

聯(lián)立式(12)、(97)、(105)及式(112), 并利用式(108), 有

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(113)

根據(jù)Gr?nwall不等式計(jì)算可知, 對(duì)所有t∈

其中，

4 定理 3和定理 4的證明

為了證明定理3,引入以下引理。

引理6[9,18]設(shè)u∈H1(P)。對(duì)任意α,β∈, 下面的卷積估計(jì)式成立

I(α,β)u2(x), ?x∈P

(114)

其中I(α,β)是最佳常數(shù),

βα=inf{β∈ (0,+∞)|β2+

I(α,β)-α≥0}。

關(guān)于卷積估計(jì)的更詳細(xì)理論, 讀者可參考文獻(xiàn)[18]。

4.1 定理 3的證明

對(duì)方程(7)關(guān)于y在 [0,1] 上積分可得

(115)

對(duì)方程(7)關(guān)于x求導(dǎo), 然后在[0,1]上關(guān)于y積分可得

(116)

設(shè)q(t,x,y)是粒子軌跡, 定義為

γu(t,q(t,x,y),y),q(0,x,y)=x

(117)

則有

(118)

以及

(119)

定義兩個(gè)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)如下:

ux(t,q(t,x0,y),y)dy,

(120)

ux(t,q(t,x0,y),y)dy。

(121)

直接計(jì)算可得

(122)

則有

(123)

當(dāng)g(u)=ξγu2時(shí),根據(jù)引理6和βξ的定義可得

(124)

(125)

u0x(x0,y)dy>0

(126)

(127)

(128)

(129)

(130)

關(guān)于時(shí)間在[0,t]上積分可得

(131)

T0≤

<∞。

故定理 3得證。

注記3的證明g(u)=ηu2與g(u)=ξγu2的證明思路類似。因此, 只給出相異部分的計(jì)算。利用引理6和βη,γ的定義可得

(132)

(133)

推論2[9]假設(shè)初值u0滿足定理 3或注記 3中的條件。設(shè)T0是相應(yīng)解的爆破時(shí)間,T0>0。則可以得到在T0時(shí)刻的爆破率滿足

(134)

證明?ε>0， 對(duì)于?t∈ (T0-ε,T0), 由定理 3 的證明可得式(129)以及式(130)。 對(duì)式(130)關(guān)于時(shí)間在[t,T0]上積分可得

(135)

(136)

4.2 定理 4的證明

對(duì)式(7)關(guān)于x求導(dǎo), 在等式兩端乘以φ(y), 然后關(guān)于y在上積分, 可得

(137)

(138)

所以

(139)

γE(u0)‖φ‖L∞

(140)

(141)

將各項(xiàng)估計(jì)式代入式(138), 則有

(142)

(143)

所以存在一個(gè)時(shí)間T滿足