李超， 楊曄

（1.浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，杭州 310058；2.浙江藍(lán)城樂境建筑規(guī)劃設(shè)計有限公司，杭州 310000）

0 引言

《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》［1］中指出，計算罕遇地震作用下的結(jié)構(gòu)變形，應(yīng)采用簡化的彈塑性分析方法或彈塑性時程分析方法。簡化的彈塑性分析方法目前采用較多的是將地震作用下結(jié)構(gòu)的彈性變形乘以一定的彈塑性位移增大系數(shù)，采用這種簡化的彈塑性分析方法要求框架結(jié)構(gòu)的屈服強(qiáng)度系數(shù)均勻，而對于側(cè)向剛度變化較明顯的結(jié)構(gòu)，屈服強(qiáng)度系數(shù)也不盡均勻，情況極其復(fù)雜，位移增大系數(shù)計算也會由屈服系數(shù)不均勻而造成一定的誤差。而采用彈塑性時程分析法計算過程復(fù)雜、耗時較長，且選用天然地震波具有較大的離散性。為此，提出一種等效彈性反應(yīng)譜的方法，將原彈塑性結(jié)構(gòu)體系等效成彈性結(jié)構(gòu)體系，使用線性的分析方法來代替彈塑性時程分析方法，使用現(xiàn)有的彈性反應(yīng)譜理論分析不同地震作用下的結(jié)構(gòu)狀態(tài)，簡化分析過程?；趶椥苑磻?yīng)譜理論進(jìn)行罕遇地震動分析關(guān)鍵在于等效剛度的折減，即剛度折減系數(shù)的取值。

對剛度折減系數(shù)取值，國內(nèi)外很多學(xué)者對此進(jìn)行了研究分析。Rosenblueth 和 Herrera［2］，AASHTO［3］提出了等效剛度的計算方法，通過構(gòu)件的滯回曲線得到構(gòu)件的最大位移，將構(gòu)件最大位移對應(yīng)的割線剛度作為等效彈性結(jié)構(gòu)的剛度，而割線剛度與結(jié)構(gòu)彈性剛度之比定義為剛度折減系數(shù)，而使用割線剛度直接定義等效剛度會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)偏大；Iwan_Gates［4］提出了基于R-H的改進(jìn)等效剛度法，基于滯回曲線上直接取用割線剛度使得結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)偏大的事實，為符合一般的設(shè)計實踐，將結(jié)構(gòu)的彈性剛度與割線剛度中間值作為結(jié)構(gòu)的等效剛度，求取該等效剛度與彈性剛度的比值作為剛度折減系數(shù)；劉毅［5］等基于結(jié)構(gòu)整體響應(yīng)提出了考慮梁和柱的剛度折減系數(shù)取值方案，該方案以鋼筋混凝土框架非彈性分析為基礎(chǔ)、以層間位移相近為原則求解，首先按一階內(nèi)力分析確定配筋，按一階彎矩情況和分布規(guī)律，利用彎矩-曲率的關(guān)系求出當(dāng)量剛度，再求得剛度折減系數(shù)；柳冰強(qiáng)等［6］將結(jié)構(gòu)分為上下2個部分，分別設(shè)定對應(yīng)的剛度折減系數(shù)值，來提高分析的精度，這種方法以能量準(zhǔn)則為基礎(chǔ)，利用彈塑性位移相等的原則，將結(jié)構(gòu)的彈塑性耗能等效成彈性耗能，得到彈性剛度，分別得到上下兩部分的剛度折減系數(shù)。這種方法求解剛度折減系數(shù)首先要根據(jù)時程法得到位移值，不能起到代替時程法的作用，且取兩部分誤差的平均值作為精度評價的標(biāo)準(zhǔn)，而結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)看重最大層間位移，該評價方法欠缺可靠性；肖從真等［7］使用連梁彎矩與轉(zhuǎn)角位移曲線的割線剛度與初始彈性剛度的比值作為剛度折減系數(shù)。

歐進(jìn)萍和白久林［8］則提出了預(yù)設(shè)失效模式的塑性設(shè)計法，因地震輸入能量一部分轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)的動能和彈性應(yīng)變能，另一部分被阻尼耗散掉，耗散的部分以修正系數(shù)體現(xiàn)，進(jìn)而推導(dǎo)出地震輸入能量修正值、滯回耗能以及結(jié)構(gòu)彈性振動能的等量關(guān)系，并基于此提出了框架結(jié)構(gòu)的塑性設(shè)計法。

上述所涉及到的剛度折減系數(shù)取值方法均為一次取值，直接選取某一特定的數(shù)據(jù)作為單根構(gòu)件最終的剛度折減系數(shù)，或者直接取統(tǒng)一值作為所有構(gòu)件的剛度折減系數(shù)值。實際上，在罕遇地震作用下，鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)梁柱在不同的位置處，由于構(gòu)件塑性發(fā)展程度不同，最終變形狀態(tài)并不相同，所得的等效剛度值也是不同的，因此直接選取某一固定值或者均按照最大位移來考量構(gòu)件的剛度折減系數(shù)欠妥。

1 能量等代原則

對于鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)遭受到罕遇地震作用時，結(jié)構(gòu)將會產(chǎn)生彈塑性變形。Eletsos和Newmark［9］等提出能量準(zhǔn)則，認(rèn)為將地震作用整個過程中結(jié)構(gòu)的彈塑性應(yīng)變能等效成彈性應(yīng)變能。對于鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，梁柱的彈塑性應(yīng)變能主要為彎曲應(yīng)變能，假定構(gòu)件進(jìn)入屈服后，彎矩和轉(zhuǎn)角成水平直線關(guān)系。因此，將梁柱彈性應(yīng)變能與彈塑性應(yīng)變能關(guān)系簡化成如圖1所示。

圖1 梁柱構(gòu)件耗能等效

根據(jù)等效彈性耗能與彈塑性耗能相等的原則，可得式（1），對第次迭代進(jìn)行彈性反應(yīng)譜計算，得到結(jié)構(gòu)彈性狀態(tài)下的桿件彈性彎矩。結(jié)構(gòu)彈塑性下，部分構(gòu)件進(jìn)入塑性，達(dá)到屈服彎矩，由式（1）即可得式（2），由此即可求得式（3）所示的結(jié)構(gòu)等效剛度。

式中，k為彈性剛度，ki為等效剛度，Mc，i為第i次反應(yīng)譜計算下構(gòu)件的彈性彎矩，My為構(gòu)件的屈服彎矩。

將剛度折減系數(shù)取值定義為等效剛度與初始彈性剛度之比，將式（3）代入式（4），即可得到剛度折減系數(shù)計算式（5）。

當(dāng)構(gòu)件時，表明構(gòu)件未達(dá)到屈服狀態(tài)，此時剛度折減系數(shù)為1。綜上有式（6）：

2 屈服彎矩及構(gòu)件剛度折減系數(shù)求解

2.1 屈服彎矩

關(guān)于屈服彎矩，目前為止已有學(xué)者對此進(jìn)行過相關(guān)研究，楊小衛(wèi)等［10］將梁、柱受力簡化為線性荷載，給出了相對受壓區(qū)高度取值公式，但關(guān)于柱的屈服彎矩未考慮多排鋼筋作用下內(nèi)排鋼筋先后屈服對屈服彎矩的影響、也未考慮軸力對屈服彎矩的影響。文中暫取用《抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計的二階段設(shè)計方法》［11］中高小旺給出的屈服彎矩計算式（7）～式（10）：

（1）梁的屈服彎矩：

（2）柱的屈服彎矩：

定植后要加強(qiáng)管理，檢查人員要對定植苗以及植株之間的間距進(jìn)行檢查，查看是否太密或者太疏，影響茄子的生長。

當(dāng)0.4bhσck≥0時，

當(dāng)Nmax≥N≥0.4bhσck時，

式中，My，b為梁屈服彎矩；As為受拉鋼筋面積；fyk為鋼筋屈服強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值；h0為梁截面有效高度；My，c為柱屈服彎矩；h為柱截面高度；b為柱截面寬度；N為柱軸壓力；σck為混凝土抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值；Nmax為柱極限軸向抗壓強(qiáng)度；A為柱全截面配筋面積。

2.2 剛度折減系數(shù)

等效彈性反應(yīng)譜法分析目標(biāo)地震作用下的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)抗震性能，其剛度折減系數(shù)的取值流程可歸納如下。首先，通過有限元設(shè)計軟件，得到構(gòu)件的初始彈性剛度數(shù)值，同時根據(jù)構(gòu)件配筋信息，計算構(gòu)件的屈服彎矩；其次，通過目標(biāo)地震作用下的彈性反應(yīng)譜分析，得到構(gòu)件的彎矩值。

由式（6）計算得剛度折減系數(shù)；按等效剛度，再次調(diào)用有限元設(shè)計軟件，計算構(gòu)件的彎矩，如此往復(fù)迭代，直至滿足定義的收斂準(zhǔn)則。其搜索流程圖可歸納如圖3所示。

圖3 等效彈性反應(yīng)譜法分析流程

3 框架模型實例分析

3.1 實例簡介

所選取的結(jié)構(gòu)模型如圖4所示，結(jié)構(gòu)為10層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，首層高度4.2m，其余層高為3.6m，結(jié)構(gòu)總高度為36.6m。結(jié)構(gòu)平面布置為首層非對稱，2～10層為對稱布置。1層結(jié)構(gòu)平面布置如圖5所示，2～10層結(jié)構(gòu)平面布置如圖6所示，其中1～2層中柱截面為，邊柱截面為，主梁截面為，次梁截面為；3～10層中柱截面為，邊柱截面為，主梁截面為，次梁截面為；各層樓板厚度均為100mm。

圖4 10層框架結(jié)構(gòu)模型

圖5 首層結(jié)構(gòu)平面布置圖（單位：mm）

圖6 2～10層結(jié)構(gòu)平面布置圖（單位：mm）

結(jié)構(gòu)的混凝土強(qiáng)度等級為梁柱C40，樓板C30，鋼筋選用HRB335，抗震設(shè)防烈度為7度（0.10g），水平地震影響系數(shù)值為0.08，設(shè)計地震分組為第二組，場地類別為三類，特征周期為0.55g。

3.2 選取地震波

工程選取三條地震波對等效彈性反應(yīng)譜法的剛度折減系數(shù)進(jìn)行驗證，其中2條天然地震波（天然地震波1：ChiChi，Taiwan-04_NO_2737；天然地震波2：Lo?maPrieta_NO_733）與1條人工地震波，所選取的地震波與反應(yīng)譜擬合如圖7所示，3條波均滿足規(guī)范規(guī)定的彈性時程分析中底部剪力與CQC法比值要求。

圖7 多波與反應(yīng)譜對比圖

3.3 彈塑性時程法對比驗證

工程選取的3條地震波，將地震動峰值加速度分別調(diào)整到65、88、109、131、152、174、196、220cm/s2，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性時程分析。并將其中設(shè)防地震（100cm/s2）、罕遇地震（220cm/s2）所得到的層間位移角與等效彈性反應(yīng)譜法進(jìn)行對比如圖8所示。

圖8 層間位移角與等效彈性反應(yīng)譜對比

地震峰值加速度在35cm/s2時為多遇地震，結(jié)構(gòu)整體處于彈性階段。當(dāng)峰值加速度達(dá)到100cm/s2時為設(shè)防地震，此時水平構(gòu)件部分屈服，時程分析法與等效彈性反應(yīng)譜法計算的層間位移角基本重合，單條波與等效法差值X向最大為20%，Y向最大為5.3%，整體均保持在適用范圍內(nèi)。

峰值加速度為220cm/s2時，使用彈塑性時程分析法得到的最大層間位移角與使用等效彈性反應(yīng)譜法計算得到的最大層間位移角X、Y方向分別相差15.8%、11.5%，與3條地震波的均值位移X、Y方向分別相差7.36%、26.46%，與該層中層間位移角最小的地震波位移角相差X、Y方向分別為40.39%、43%。等效彈性反應(yīng)譜法與三條地震波中的最大層間位移角相差在20%以內(nèi)，但最大差值約40%，且等效彈性反應(yīng)譜法計算結(jié)果比時程分析法結(jié)果的均值偏大。

在罕遇地震作用下絕大多數(shù)梁構(gòu)件已經(jīng)發(fā)生嚴(yán)重屈服，在首層、3層、4層柱也出現(xiàn)絕大為嚴(yán)重屈服的情況；等效彈性反應(yīng)譜法的梁柱折減系數(shù)是發(fā)生在梁柱屈服之后，因此由折減系數(shù)可判定梁也絕大多數(shù)達(dá)到屈服破壞，而柱有部分破壞，這與時程分析法結(jié)果尚有差距。

3.4 偏差原因分析

等效彈性反應(yīng)譜法與時程法分析產(chǎn)生偏差的主要原因：

（1） 時程分析法選取人工地震波以及天然地震波雖均滿足《抗震設(shè)計規(guī)范》中的要求，但仍存在一定離散性，使得結(jié)構(gòu)對不同地震波的響應(yīng)并不相同，等效彈性反應(yīng)譜法更接近多波均值位移角。

（2） 等效彈性反應(yīng)譜法是通過等效剛度來進(jìn)行迭代求解，忽略了由剛度變化導(dǎo)致結(jié)構(gòu)阻尼變化的影響，實際結(jié)構(gòu)中阻尼的變化對結(jié)構(gòu)的周期以及地震作用下的剪力會有一定影響。在剛度折減系數(shù)取值時，忽略了軸向與剪切應(yīng)變能，對于柱僅考慮由柱軸力影響導(dǎo)致的屈服彎矩值。

對于框架結(jié)構(gòu)，經(jīng)大量對比分析，不同地震作用下，等效彈性反應(yīng)譜法與時程分析法選用不同地震波計算的位移角平均值最大偏差均較小，誤差均在允許范圍內(nèi)，因此可以認(rèn)為該方法適用。

4 結(jié)語

文中基于能量原理，提出了一種適用于等效彈性反應(yīng)譜法的剛度折減系數(shù)求解公式，編輯了計算機(jī)迭代求解的流程方法，并以10層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)為例驗證，得到結(jié)論如下：

（1） 由分析以及驗證可以得到，《抗震設(shè)計規(guī)范》對于梁、柱統(tǒng)一的剛度折減系數(shù)取值不能完全反應(yīng)不同構(gòu)件的變形狀態(tài)，實際的構(gòu)件剛度折減系數(shù)取值會隨著構(gòu)件的屈服程度而不斷變化。

（2） 構(gòu)件剛度折減系數(shù)求解需要不斷迭代求解，迭代差值會隨著迭代次數(shù)的增加而不斷縮小，初期前兩次迭代差值較大，反映出等效剛度變化較大，隨著迭代次數(shù)的增加，等效剛度變化越來越小，最后達(dá)到所需要的精度即可停止迭代，該方法較好地反映了構(gòu)件從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的剛度變化。

（3） 一般結(jié)構(gòu)設(shè)計中未分析設(shè)防地震以及罕遇地震動下的抗震性能，僅通過抗震構(gòu)造措施進(jìn)行加強(qiáng)，未對性能化做出合理驗算?；谀芰繙?zhǔn)則，等效彈性反應(yīng)譜法按性能化設(shè)計要求，可驗算設(shè)防地震以及罕遇地震動作用下抗震性能。