李遠富 ，蔣 頻 ，樊 敏 ，樊惠惠 ，吳文芊 ，楊昌睿

（1. 西南交通大學土木工程學院, 四川 成都 610031；2. 西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室, 四川成都 610031）

有許多山區(qū)鐵路項目已納入規(guī)劃或是正在建設(shè)，山區(qū)干線鐵路、高速鐵路等的規(guī)劃與建設(shè)將為我國優(yōu)化干線鐵路網(wǎng)布局，推進高速鐵路“八縱八橫”主通道建設(shè)，拓展鐵路網(wǎng)覆蓋范圍以及拉動山區(qū)經(jīng)濟增長打下堅實基礎(chǔ).

山區(qū)地形困難、地質(zhì)復(fù)雜、生態(tài)脆弱且城鎮(zhèn)經(jīng)濟據(jù)點稀少，因此山區(qū)鐵路線路方案比選更加注重工程的安全性、地質(zhì)選線原則、綠色環(huán)保理念以及對沿線經(jīng)濟發(fā)展的帶動效果等[1]. 在此之前，國內(nèi)已有眾多學者就山區(qū)鐵路線路方案比選做了大量研究：羅圓[2]將鐵路選線視為帶有不確定性的多目標決策過程，分別將可靠性數(shù)學理論、風險分析理論和效用理論等運用于山區(qū)鐵路線路方案評價，提出基于不確定性分析的山區(qū)鐵路線路方案評價方法；鄧漢軒[3]突出山區(qū)鐵路線路方案優(yōu)選過程中的環(huán)境因素，在運用西部山區(qū)鐵路選線工程實例的基礎(chǔ)上，比較模糊綜合評價和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評價兩種方法，最終得出人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評價法的效果更好；林凱[4]在進行困難艱險山區(qū)高速鐵路線路方案綜合優(yōu)化研究時，將防災(zāi)救援部分考慮進去，建立考慮防災(zāi)救援的困難艱險山區(qū)高鐵線路方案綜合優(yōu)化模型；張明威[5]分析了多嶺和強震山區(qū)的鐵路建設(shè)風險，歸納出強震山區(qū)越嶺鐵路的選線策略，同時結(jié)合層次分析法與熵權(quán)法，構(gòu)建強震山區(qū)越嶺段鐵路線路方案風險評價模型.

TOPSIS （technique for order of preference by similarity to an ideal solution）是由Hwang和Yoon在1981年提出的一種用于解決單一型或混合型多屬性決策問題的方法[6]，其主要優(yōu)點是便于理解、計算較簡單、適用范圍廣、幾何意義直觀等. 但TOPSIS有兩個較為突出的不足之處：無法消除決策問題中屬性指標間的相關(guān)性影響；計算雖簡單，但需額外的規(guī)范化和賦權(quán)手段來分別解決屬性指標量綱不一致和權(quán)重分配的問題，這不免會使決策過程復(fù)雜化. 而且當采用主觀賦權(quán)手段時，決策結(jié)果的可信度將降低，當采用主客組合賦權(quán)手段時，決策過程將進一步復(fù)雜化.近年來，國內(nèi)外學者對TOPSIS的改進研究非常多樣化：Jahanshahloo等[7]運用區(qū)間數(shù)來改進TOPSIS，并提出一種基于區(qū)間數(shù)的TOPSIS決策問題擴展算法；Dymova等[8]采用區(qū)間2型模糊值的alpha分割來彌補TOPSIS在進行2型模糊擴展時的不足，且經(jīng)實例證明此2型模糊擴展不受已知方法的限制；王先甲等[9]以馬氏距離代替歐氏距離來改進TOPSIS，最終達到消除變量間相關(guān)性干擾的目的；Wang等[10]將基于五級法改進的AHP （analytic hierarchy process）作為TOPSIS的額外賦權(quán)工具，由此構(gòu)建油氣管道客觀風險綜合評估模型.

就多數(shù)對TOPSIS的改進研究而言，一些將改進重點放在決策環(huán)境的拓展上，一些注重對賦權(quán)方式的完善，另一些從屬性指標中的不確定性信息著手加以改進，還有一些就方法本身的單個缺陷做相應(yīng)改進，但鮮有學者同時兼顧上述4個方面，并且彌補TOPSIS的兩個不足. 本文先以馬氏距離代替TOPSIS中的歐氏距離，以相關(guān)系數(shù)矩陣代替馬氏距離中的協(xié)方差矩陣，實現(xiàn)TOPSIS的二次改進，既彌補了TOPSIS的兩個不足，完成對屬性指標的客觀賦權(quán)，又解決了協(xié)方差可能導(dǎo)致的問題；然后運用區(qū)間數(shù)和云模型實現(xiàn)從定性語言到定量表示的過渡，既充分考慮了屬性指標的不確定性和離散性，又很好地克服了評價方法在處理模糊性和隨機性方面的不足；最后將上述方法及模型應(yīng)用于山區(qū)鐵路選線決策環(huán)境，決策結(jié)果表明該方法及模型科學、有效，可為日后解決類似決策問題提供一定的參考.

1 TOPSIS及其改進分析

1.1 TOPSIS的步驟

假設(shè)有m個備選方案A1、A2、···、Am和n個屬性指標C1、C2、···、Cn.xij為Ai在Cj下的指標值（i=1，2，···，m；j=1，2，···，n）. TOPSIS的步驟如下：

步驟1根據(jù)屬性指標值構(gòu)造的決策矩陣為

步驟2進行規(guī)范化處理，消除決策矩陣中數(shù)據(jù)量綱不同帶來的影響，處理后得到的標準化矩陣為

步驟3確定權(quán)重W=diag(w1，w2，···，wi，···，wn)，權(quán)重滿足與標準化矩陣相乘，得到的價值矩陣為

步驟4確定正理想方案S+和負理想方案S?：求解方法如下：

當Cj為效益型指標時：

當Cj為成本型指標時：

當無步驟2和步驟3時，將式（2）、（3）中的vij替換成xij即可.

步驟5分別計算Ai到S+的歐氏距離Di+，Ai到S?的歐氏距離Di?. 如式（4）.

步驟6計算各備選方案的相對貼近度. 求解方法如下：

步驟7根據(jù)Ci*的大小進行相對優(yōu)劣排序，顯然Ci*∈[0，1.0]. 對式（5a），Ci*越大越優(yōu)；對式（5b），Ci*越小越優(yōu).

1.2 TOPSIS第一次改進

1.2.1 TOPSIS的局限性分析

1） 由于歐式距離本身的局限性，當指標間存在相關(guān)性，指標所包含的信息重疊，歐式距離失效，決策結(jié)果不準確. 而現(xiàn)實決策問題的屬性指標幾乎都存在相關(guān)性，所以這一問題必須得到解決.

2） 屬性指標的量綱通常不一致，TOPSIS會因量綱不一致而失效，而歐氏距離不能消除量綱不一致帶來的影響，需要借助額外的規(guī)范化手段來消除，使決策過程復(fù)雜化. 1.1節(jié)中的步驟3是各屬性指標的賦權(quán)過程，需要借助額外的賦權(quán)手段才能完成，如果采用主觀賦權(quán)手段確定權(quán)重，決策結(jié)果的可信度會降低，如果采用主客組合賦權(quán)手段確定權(quán)重，由于組合賦權(quán)過程本身就很繁復(fù)，決策過程將進一步復(fù)雜化. 因此，上述兩個方面是亟須改進的[11].

1.2.2 TOPSIS的改進思路

馬氏距離是由印度統(tǒng)計學家Mahalanobis在1936年提出的一種統(tǒng)計距離. 相對于歐氏距離，馬氏距離對屬性指標的變化敏感，獨立于測量尺度，更能體現(xiàn)各狀態(tài)或特征間的關(guān)系，并且還能排除指標間不同程度的相關(guān)性干擾. 同時馬氏距離是以標準差函數(shù)計算指標權(quán)重的，指標值變化大的內(nèi)化權(quán)重賦值小，克服了在計算距離時指標變化程度不同但起相同作用的缺點.

本文利用馬氏距離本身能有效排除指標間的相關(guān)性干擾、不受量綱影響以及內(nèi)化于公式的客觀賦權(quán)方式的優(yōu)良特性，以馬氏距離代替歐氏距離來實現(xiàn)TOPSIS的第一次改進. 改進后的TOPSIS不僅可以排除指標間的相關(guān)性干擾，而且可以省略1.1節(jié)中的步驟2和步驟3.

1.3 TOPSIS第二次改進

1.3.1 馬氏距離的局限性分析

馬氏距離考慮的是屬性指標間的協(xié)方差，協(xié)方差是依賴量綱的量，且其大小代表的是兩屬性對各自均值偏差的綜合程度，故協(xié)方差可能導(dǎo)致計算結(jié)果不穩(wěn)定，極易放大屬性間的影響，不能準確代表屬性間的關(guān)聯(lián)程度的問題[12]. 馬氏距離在TOPSIS中的表達式為

1.3.2 TOPSIS的改進思路

任意兩個隨機變量x、y的相關(guān)系數(shù)ρxy與協(xié)方差cov(x，y)的根本區(qū)別在于，當描述其關(guān)聯(lián)程度時前者不受量綱的影響，后者受量綱的影響，而且前者的描述過程更穩(wěn)定，結(jié)果更準確[13]. 因此，以相關(guān)系數(shù)矩陣Q代替協(xié)方差矩陣Σ來改進馬氏距離，能解決協(xié)方差可能導(dǎo)致的問題. 將對馬氏距離的改進作為對TOPSIS的第二次改進，再次改進后的TOPSIS相比第一次改進更具科學性和有效性.

2 方案比選指標探討

2.1 指標選用

山區(qū)鐵路線路方案比選需要考慮的指標多而涉及面廣，指標選用時的側(cè)重點和標準均有所不同. 本文確定指標體系的遞階結(jié)構(gòu)由總目標層、宏觀目標層和微觀目標層組成，在總結(jié)眾多其他學者研究成果的基礎(chǔ)上，秉承系統(tǒng)性、實用性以及定性與定量相結(jié)合等指標體系構(gòu)建原則，從山區(qū)鐵路線路方案與技術(shù)經(jīng)濟條件、周遭環(huán)境以及社會意義等大系統(tǒng)的協(xié)調(diào)發(fā)展出發(fā)，構(gòu)建如表1所示的山區(qū)鐵路線路方案比選指標體系. 表1中的指標主要用于原則方案的比選，在進行實際方案比選時，可根據(jù)具體情況選擇相應(yīng)的指標重新構(gòu)建指標體系[14-15].

表1 山區(qū)鐵路線路方案比選指標體系Tab. 1 Index system of optimal selection of mountain railway location design

2.2 定性指標處理

山區(qū)鐵路線路方案比選指標體系中既有定量指標，又有定性指標. 定量指標直接采用精確數(shù)量化，定性指標的常用量化方式有區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)和云模型，其中區(qū)間數(shù)只能部分考慮定性語言的不確定性特征，三角模糊數(shù)中3個變量的權(quán)重值相等，故其并未體現(xiàn)出變量的重要性. 本文先采用語言類模糊數(shù)表示定性指標，然后采用區(qū)間數(shù)作為語言類模糊數(shù)的轉(zhuǎn)化形式，最后運用云模型將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為精確數(shù)，該精確數(shù)即作為定性指標值.

2.2.1 區(qū)間數(shù)

Moore在1965年首次提出區(qū)間數(shù)的概念. 區(qū)間數(shù)的獲得無需較多的假設(shè)和先驗知識，能便捷地表示數(shù)據(jù)中的不確定信息，而且在求解不確定性問題時能減少主觀因素的影響. 當某個問題的原始特征存在不確定性，且在給定的范圍內(nèi)時，就可以用區(qū)間數(shù)來表示[16].

S={很好，好，較好，一般，較差，差，很差}或{很大，大，較大，一般，較小，小，很小}為語言類模糊數(shù)集. 定性語言“很好或很大”即為語言類模糊數(shù)，其本身存在一定的不確定性特征[17]. 區(qū)間數(shù)與語言類模糊數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系如表2所示.

表2 語言類模糊數(shù)與區(qū)間數(shù)的轉(zhuǎn)化Tab. 2 Conversion between linguistic fuzzy number and interval number

2.2.2 云模型概述

云模型是由李德毅院士以概率統(tǒng)計和模糊數(shù)學為基礎(chǔ)提出的一種定性語言與定量表示間不確定性的轉(zhuǎn)換模型. 云模型不僅能充分考慮定性語言的不確定性和離散性，實現(xiàn)其與定量數(shù)值間的相互轉(zhuǎn)換，而且克服了評價方法在處理模糊性和隨機性方面的不足. 正態(tài)云模型是最基本也是最常用的云模型[18]. 設(shè)

為論域U中的任意一個元素x對定性概念T的隸屬度，云即μ(x)在U上的分布. 其中，x為云滴，是云的最基本組成元素，也是定性概念T的一個量化值.

每個定性概念都可以用云的期望Ex、熵En與超熵He來定量表示，這3個數(shù)值稱為云模型的數(shù)字特征，記作C(Ex，En，He). 其中：期望Ex表示定性語言量化為云滴群的中心點，是最能代表某一定性語言的取值；熵En反映了云滴群分布的不確定性；超熵He表示定性語言量化為云滴群的離散性[19].

2.2.3 正向云、條件云發(fā)生器

云模型發(fā)生器包括正向云發(fā)生器、逆向云發(fā)生器和條件云發(fā)生器. 正向云發(fā)生器是由定性語言向定量數(shù)值轉(zhuǎn)換的映射，即對定性語言的量化算法. 正向云發(fā)生器輸入的是需要轉(zhuǎn)換的定性語言的3個數(shù)字特征，輸出的是n個云滴—— d rop(xt,μt). 正向云發(fā)生器算法如下：

步驟1生成正態(tài)隨機數(shù)E′nt=NORMRND(En，(He)2) ，其中En和 (He)2分別為期望和方差；

步驟2生成正態(tài)隨機數(shù)其中為方差；

步驟3計算即為數(shù)域中任意一個云滴；

步驟4重復(fù)前面3個步驟，直到產(chǎn)生滿足條件的云滴或者設(shè)定的n個云滴為止.

條件云發(fā)生器分為X條件云發(fā)生器和Y條件云發(fā)生器，均以云模型的不確定性推理為基礎(chǔ)，結(jié)合正向云發(fā)生器實現(xiàn)由定性語言向定量數(shù)值的轉(zhuǎn)換. 由于通過發(fā)生器產(chǎn)生的云滴與輸出值均不唯一，也即不確定，故形成不確定性推理. 當定性規(guī)則描述成“如果C1，那么C2”，則C1和C2均為U中的定性概念，也是不確定性推理規(guī)則的前件云與后件云，該定性規(guī)則即為單條不確定性推理規(guī)則. 不確定性推理算法如下：

輸入：前件云C1的 期望ExC1、熵EnC1、超熵HeC1和特定數(shù)值x0以及后件云C2的期望ExC2、熵EnC2、超熵HeC2. 輸出：對應(yīng)于前件云生成確定度為 μt的后件云定性語言的定量數(shù)值y01. 具體步驟為

步驟1由X條件云發(fā)生器生成正態(tài)隨機數(shù)其中分別為期望和方差；

步驟2由X條件云發(fā)生器計算x0在定性語言C1上 的確定度，

步驟3由Y條件云發(fā)生器生成正態(tài)隨機數(shù)

步驟4在Y條件云發(fā)生器內(nèi)，如果x0激活C1的上升沿，則C2用上升沿計算y0. 即當x0≤ExC1時，

步驟5在Y條件云發(fā)生器內(nèi)，如果x0激活C1的下 降 沿，則C2用 下降 沿 計 算y0. 即當x0>ExC1時，

3 基于二次改進的TOPSIS的山區(qū)鐵路線路方案比選步驟

步驟1確定參與比選的m個山區(qū)鐵路線路方案A1，A2，···，Am和n個屬性指標C1，C2，···，Cn中，Cj（j=1，2，···，k）為定量指標，Cj（j=k+1，···，n）為定性指標.xij為Ai在Cj下的指標值，定量指標值取用各方案提供的精確數(shù).

步驟2先聘請專家用語言類模糊數(shù)給定性指標賦值；接著對照表2選取相應(yīng)的區(qū)間數(shù)；然后由式（8）將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為云模型的數(shù)字特征（云模型數(shù)），如表3所示，其中7個云模型數(shù)為不確定性推理算法中前件云的定量表示；最后采用百分制數(shù)值來表征定性指標因子水平的高低，水平越高，因子分值就越大. 分值大小的定性評語與相應(yīng)的百分制云模型描述如表4所示，其中7個云模型描述為不確定性推理算法中后件云的定量表示.

表3 語言類模糊數(shù)、區(qū)間數(shù)與云模型數(shù)的轉(zhuǎn)化Tab. 3 Conversion among linguistic fuzzy number,interval number and cloud model number

表4 定性評語與云模型描述的轉(zhuǎn)化Tab. 4 Conversion between qualitative comment and cloud model description

式中：c為常數(shù)，與語言類模糊數(shù)的本身離散程度和模糊度有關(guān)，一般取0.02.

以定性指標“改善路網(wǎng)布局的意義”為例，由專家知識構(gòu)建語言類模糊數(shù)、定性評語和云模型描述間的不確定性推理規(guī)則. 當改善路網(wǎng)布局的意義“很小”，則定性評語為“很低”，云模型描述為（10，5/3，0.02）；當改善路網(wǎng)布局的意義“小”，則定性評語為“低”，云模型描述為（30，5/3，0.02）.以此類推.

步驟3運用云模型發(fā)生器獲得由精確數(shù)表示的定性指標值，具體操作如下：

首先由表3中的7個云模型數(shù)驅(qū)動正向云發(fā)生器，將生成的7個正態(tài)隨機數(shù)xt的均值作為X條件云發(fā)生器的特定數(shù)值x0；隨后將x0和實際方案Ai的某一定性指標的對應(yīng)云模型數(shù)代入X條件云發(fā)生器，即執(zhí)行2.2.3節(jié)中不確定性推理算法的步驟1、2，得到相應(yīng)的確定度 μt；最后將 μt和通過不確定性推理規(guī)則確定的云模型描述作為Y條件云發(fā)生器的輸入，激活后隨機產(chǎn)生云滴 d rop(y0,μt)，即執(zhí)行不確定性推理算法的步驟3、4或5，精確數(shù)y0即作為該定性指標的取值.

步驟4由上述步驟確定的所有指標值構(gòu)造方案比選的決策矩陣，如式（1）.

步驟5根據(jù)二次改進的TOPSIS求得相對貼近度，并根據(jù)相對貼近度的大小進行方案的相對優(yōu)劣排序. 對式（9a），越大越優(yōu)；對式（9b），越小越優(yōu).

4 實例分析

結(jié)合某山區(qū)鐵路巴塘至昌都段局部線路走向方案，對比分析由本文方法及模型得到的比選結(jié)果與實際工程的優(yōu)選結(jié)果，以說明該方法及模型的科學性與有效性.

該鐵路巴塘至昌都段位于橫斷山脈中部，線路起于海子山西麓，在跨金沙江、穿芒康山脈、跨瀾滄江后，止于昌都市. 區(qū)域交通主要由G214、G317、S501、巴白路等組成. 沿線政治經(jīng)濟據(jù)點坐落不一，交通狀況錯綜，地形地質(zhì)復(fù)雜，自然環(huán)境自我修復(fù)能力較弱. 根據(jù)沿線政治經(jīng)濟據(jù)點分布、交通狀況以及地形地質(zhì)條件等因素，研究了經(jīng)白玉、江達，經(jīng)白玉、貢覺、江達，經(jīng)白玉、貢覺，經(jīng)貢覺、江達和經(jīng)貢覺取直五大線路走向方案.

通過綜合分析，選用表5所示的9個指標進行線路方案綜合比選（取值根據(jù)該山區(qū)鐵路的預(yù)可行性研究報告的相關(guān)內(nèi)容確定）. 其中：A1～A5依次代表經(jīng)白玉、江達，經(jīng)白玉、貢覺、江達，經(jīng)白玉、貢覺，經(jīng)貢覺、江達和經(jīng)貢覺取直五大線路走向方案；C1～C9依次為線路長度、橋隧總長、工程靜態(tài)投資、年換算工程運營費、對自然生態(tài)環(huán)境的影響、不良地質(zhì)條件對工程的影響、促進周邊經(jīng)濟發(fā)展的能力、改善路網(wǎng)布局的意義、滿足地方需求的能力9個指標，前6個為成本型指標，后3個為效益型指標.

運用正向云發(fā)生器、條件云發(fā)生器以及不確定性推理機制，將給定性指標賦值的語言類模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為百分制數(shù)值，也即獲得由精確數(shù)表示的定性指標值. 運算過程由MATLAB實現(xiàn)，結(jié)果如表6所示.

表6 由精確數(shù)表示的定性指標值Tab. 6 Qualitative index value represented by exact number

由5個方案的所有指標值構(gòu)造方案比選的決策矩陣X，并確定正理想方案S+和負理想方案S?，S+={204.711，188.375，254.251，318.326，55.010 7，8.762 3，88.762 2，88.755 8，88.763 4}；S?={274.562，242.171，330.298，416.236，81.685 8，55.010 7，45.536 2，55.010 7，64.494 6}

式（9a）計算值越大，則方案越優(yōu)，因此不難得出方案A1最優(yōu). 對表5中的指標進行分析可知，雖然經(jīng)白玉、江達方案線路長度較長，工程投資較多，但地質(zhì)條件、交通條件、設(shè)站條件最好，而且該方案經(jīng)過了玉龍銅礦，同時輻射范圍最廣、能更好地帶動地方經(jīng)濟發(fā)展，滿足地方意見及其他要求. 如以所選擇的9個指標作為線路方案綜合比選的主要依據(jù)，則由本文方法及模型得到的比選結(jié)果與該項目的預(yù)可行性研究報告中建議選擇的結(jié)果較為一致，說明該方法及模型具有較好的科學性與有效性.

表5 線路走向方案及其屬性指標取值Tab. 5 Route direction scheme and its attribute index value

5 結(jié) 論

1） 現(xiàn)實決策問題的指標間幾乎都會存在相關(guān)性，指標的量綱會有差別，指標的賦權(quán)過程或不夠科學或過于復(fù)雜，這要么使TOPSIS的決策過程復(fù)雜化，要么使TOPSIS的決策結(jié)果不夠準確. 鑒于馬氏距離本身帶有能有效排除指標間相關(guān)性干擾等優(yōu)良特性，以馬氏距離代替歐氏距離來改進TOPSIS，改進后的TOPSIS既能保證決策結(jié)果的科學性與準確性，又能使決策過程簡單化.

2） 馬氏距離在TOPSIS中的表達要考慮協(xié)方差. 在計算馬氏距離時，可能會因考慮協(xié)方差而導(dǎo)致不能準確代表屬性間的關(guān)聯(lián)程度等問題的出現(xiàn).任意兩變量的相關(guān)系數(shù)能夠彌補協(xié)方差的不足，它能準確地描述變量間的關(guān)聯(lián)程度，而且描述過程穩(wěn)定，描述結(jié)果準確. 故以相關(guān)系數(shù)矩陣代替協(xié)方差矩陣來改進馬氏距離，把對馬氏距離的改進作為TOPSIS的第二次改進，再次改進后的TOPSIS更加科學、客觀.

3） 語言類模糊數(shù)本身帶有一定的不確定性特征. 區(qū)間數(shù)的運算過程雖簡單、直觀，但其不足之處在于不能充分考慮定性語言的不確定性特征. 而云模型既能充分考慮定性語言的不確定性和離散性，又克服了評價方法在處理模糊性和隨機性方面的不足，還能實現(xiàn)由定性語言向定量表示的有效轉(zhuǎn)換. 所以本文選用云模型實現(xiàn)語言類模糊數(shù)的精確數(shù)化.

4） 針對二次改進的TOPSIS，在求算馬氏距離時需計算相關(guān)系數(shù)矩陣的逆. 本文實例分析中的相關(guān)系數(shù)矩陣存在逆矩陣. 但在極少數(shù)情況下，當屬性指標線性強相關(guān)時，相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)矩陣可能不可逆，此時馬氏距離將無法求算，進而無法得到?jīng)Q策結(jié)果. 要求相關(guān)系數(shù)矩陣一定可逆不太現(xiàn)實，但如何確保在推進決策工作時能求算出相關(guān)系數(shù)矩陣的“逆矩陣”是值得進一步研究的. 例如當相關(guān)系數(shù)矩陣不可逆時，可采用奇異值分解法求算其正定的“廣義”逆矩陣，以其代之.

5） 結(jié)合某山區(qū)鐵路巴塘至昌都段局部線路走向方案，由本文方法及模型得到的比選結(jié)果同實際工程的優(yōu)選結(jié)果基本一致，說明該方法及模型具有較好的科學性與有效性，并為今后類似決策問題的解答提供一定的參考.