王 晴

（天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300350）

0 引 言

求多項(xiàng)式系數(shù)線性差分方程的有理解在計(jì)算機(jī)代數(shù)中占有重要地位.更準(zhǔn)確地說，K是一個(gè)域 ，a0(t)，a1(t)，…，ad(t)，f(t) ∈K(t)，找到 所有滿足

的有理函數(shù)g(t)∈K()t.許多問題都?xì)w結(jié)于此，比如Gosper算法[1]或者尋找非齊次線性差分方程的超幾何解[2].

解決這類問題的一個(gè)通常的方法是估計(jì)出g(t)的分母，從而把這個(gè)問題歸結(jié)到找多項(xiàng)式解.這就引出了萬有分母，也就是此分母能夠整除每一個(gè)方程（1）解的分母.

Abramov[3-4]首先給出了尋找萬有分母的第一個(gè)算法，這個(gè)算法依賴所有的系數(shù)a0(t)，a1(t)，…，ad(t)和f(t)；Abramov[5]改進(jìn)了他的算法，改進(jìn)的算法只需要利用首項(xiàng)系數(shù)a0(t)和末項(xiàng)系數(shù)ad(t)，此算法得到的萬有分母稱為Abramov萬有分母；Barkatou[6]給出了關(guān)于Abramov萬有分母在矩陣差分方程中的顯式公式；Chen等[7]利用收斂性得到了相同的公式；Hou和 Mu[8]利用 Gosper算法得到了一階線性差分方程一個(gè)新的萬有分母，且這個(gè)萬有分母是Abramov萬有分母的因子.

在差分域的情況下，Karr[9-10]引入了 ∏∑-域，并給出了求和算法，允許更一般的求和.在∏∑-域中求解參數(shù)線性差分方程的一個(gè)重要應(yīng)用是簡化和證明嵌套的多和表達(dá)式和恒等式.Bronstein[11]和Schneider[12-13]給出了在 ∏∑-域中計(jì)算萬有分母的界的算法；Middeke 和 Schneider[14]將萬有分母界的公式[6-7]在給定的差分系統(tǒng)中拓展到∏∑-域.特別地，將∏∑-域中分母的界[11-12]由單變量差分方程擴(kuò)展到耦合系統(tǒng).本文將文獻(xiàn)[8]中得到的極小萬有分母推廣到∏∑-域，找到滿足

的有理函數(shù)g(t)∈K()t的萬有分母.

1 萬有分母

2 極小性

3 例 子

4 結(jié)束語

線性差分方程的理論與求解算法在組合數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，尤其是組合恒等式的機(jī)器證明.計(jì)算線性差分方程的各種閉形式解往往可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算有理函數(shù)解問題.通過估計(jì)有理函數(shù)解的萬有分母，即通過估計(jì)既約有理解的分母的一個(gè)倍式，可以將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式解問題，并最終借助次數(shù)估計(jì)將問題轉(zhuǎn)化為線性方程組求解問題 .給定(F，σ)的 ∏∑-擴(kuò)張 (F(t)，σ)和系數(shù)屬于F(t)的形式為（2）的一階線性差分方程，在假設(shè)Spread可以在F[t]中計(jì)算且為有限集合的情況下，本文給出了計(jì)算其解極小萬有分母d∈F的算法.但目前為止卻無法證明本文中的算法對(duì)于高階線性差分方程的情形適用，對(duì)于高階線性差分方程解的極小萬有分母有待于進(jìn)一步研究.