李 瑩，龔成博

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長春130000）

0 引言

1960年卡爾曼［1］提出能觀性這一控制理論中的基本概念.通常在分析或者綜合一個(gè)控制系統(tǒng)時(shí)，都要判定該系統(tǒng)是否具有能觀性.對(duì)多變量廣義系統(tǒng)能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型的問題，眾多學(xué)者結(jié)合控制理論對(duì)單輸入單輸出系統(tǒng)做出研究，例如，王永超等［2］完善了多變量廣義系統(tǒng)的能觀規(guī)范型問題；任夏楠等［3］闡述了非奇異變換矩陣與Luenberger能觀規(guī)范型的關(guān)系，提出了將Luenberger能觀規(guī)范型按照結(jié)構(gòu)差異劃分為廣義和狹義兩種規(guī)范型的觀點(diǎn)，并且給出了完全能觀線性MIMO 系統(tǒng)的Luenberger能觀規(guī)范型實(shí)現(xiàn)的充要條件；王治銘等［4］對(duì)不同的規(guī)范型及辨識(shí)方法進(jìn)行了統(tǒng)一的研究，最后得出了結(jié)構(gòu)辨識(shí)與采用哪一種規(guī)范型是無關(guān)的結(jié)論；江寧強(qiáng)等［5］證明了在完全能控的情況下，用Luenberger 能控規(guī)范型方法進(jìn)行極點(diǎn)配置有一定的局限性等等.但是在以上的研究中均未考慮單變量廣義系統(tǒng)能觀規(guī)范型問題.因此，本文以單輸入單輸出的正則廣義系統(tǒng)為研究對(duì)象，利用受限等價(jià)變換的方法將廣義系統(tǒng)分為快子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)兩部分，然后給出快子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)能觀的條件以及兩個(gè)等價(jià)命題，并且得出單變量廣義系統(tǒng)的能觀規(guī)范型.

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于正則的廣義系統(tǒng)

其中：x(t)∈Rn,u(t)∈Rn和y(t)∈Rn分別為狀態(tài)、輸入和輸出向量，對(duì)狀態(tài)向量x(t)求導(dǎo)，記為x?(t)；E，A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rl×n為定常矩陣；E為奇異矩陣，且假定degdet(sE-A)=r.

首先，系統(tǒng)(A,B)能觀的充要條件為rank[C/CA/…CAn-1]=n.考慮單輸入單輸出的正則廣義系統(tǒng)（1）且rank(E)=q≤n.

如果

則稱式（2）為單變量廣義系統(tǒng)（1）的能觀規(guī)范型，其中a0等于1或0.

其次，對(duì)廣義系統(tǒng)（1）進(jìn)行線性非奇異變換xˉ(t)=Q-1x(t)，可以得到

當(dāng)矩陣對(duì)(E,A)正則時(shí)，總存在可逆實(shí)矩陣P和Q，使得

其中：N∈R(n-r)×(n-r)是冪零矩陣.

進(jìn)而得到

這種分解通常稱為快慢子系統(tǒng)分解，又稱為第一種受限等價(jià)形式.

引理 對(duì)于廣義系統(tǒng)（1），下述結(jié)論成立：

（3）下面兩個(gè)命題等價(jià)：（a）廣義系統(tǒng)（1）是能觀的；（b）它的快子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)都是能觀的.

2 主要結(jié)果

定理 廣義系統(tǒng)（1）能觀的充要條件是廣義系統(tǒng)（1）受限等價(jià)于廣義能觀規(guī)范型（2）.

且

由引理知廣義系統(tǒng)（1）是能觀的.

如果rank(E)=n，則a0= 1，否則a0= 0.則有

其中：g，p是行向量；g1是常數(shù)；A1是(n- 1 )×(n- 1 )階矩陣［6］.

由初等變換可知，存在可逆矩陣P4和Q4，使得

3 結(jié)論

本文利用受限等價(jià)變換的方法將正則的廣義系統(tǒng)分為快子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)兩部分，在受限等價(jià)變換的基礎(chǔ)上，通過引理來判斷快子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)的能觀性，并對(duì)整個(gè)系統(tǒng)是否能觀加以判斷，進(jìn)而推導(dǎo)出單變量廣義系統(tǒng)的能觀規(guī)范型.