丁婷婷，方賢進，梁興柱，石文兵

（1.安徽現代信息工程職業(yè)學院 信息工程系，安徽 淮南232001；2.安徽理工大學 計算機科學與工程學院，安徽 淮南232001）

0 引言

在教育部最新設置的18個計算機類專業(yè)目錄中［1］，信息安全（080904K）、網絡空間安全（080911TK）、保密技術（080914TK）、區(qū)塊鏈工程（080917TK）和密碼科學與技術（080918TK）等專業(yè)的課程體系中均涉及現代密碼學課程，并且都是這些專業(yè)的核心課程.RSA公鑰密碼系統(tǒng)在現代密碼學中具有非常重要的地位，也是國際上最成功的密碼系統(tǒng)之一，目前被廣泛應用于各種網絡、通信與軟件系統(tǒng)中.RSA公鑰密碼系統(tǒng)中的教學知識點多且較為枯燥，在教學中往往會使學生產生厭倦情緒.為了提高RSA 公鑰密碼系統(tǒng)的教學質量，真正讓學生學有所用，很多教師進行了教學改革與研究，如丁勇［2］提出了使用有限群抽象代數知識來證明RSA 能夠正確解密，從而幫助學生理解和學習RSA 公鑰系統(tǒng)；周潔等［3］指出了RSA算法涉及的基于數學難題的教學模式，包括素數、歐拉函數、最大公約數、歐幾里得除法、同余、模冪計算和中國剩余定理等；胡小明等［4］從理論教學和實踐教學兩方面對信息安全專業(yè)密碼學課程進行探討，并提出一套新穎的教學方法和課堂評價標準；田有亮等［5］從算法思維的角度討論了模塊化教學思路的可行性.為了在教學中能夠讓學生充分理解RSA 公鑰密碼系統(tǒng)，訓練其學習現代密碼學的算法思維，培養(yǎng)其利用RSA 公鑰密碼系統(tǒng)解決實際問題的能力，論文梳理了RSA 公鑰密碼系統(tǒng)教學中的理論知識、算法和性質，包括歐拉定理、RSA 的密鑰生成算法、RSA 加密算法、RSA 解密算法、RSA 數字簽名和RSA 算法的乘法同態(tài)性；總結了幾個RSA 公鑰密碼系統(tǒng)的安全性原理，包括選擇密文攻擊、共模攻擊和低指數攻擊等；針對RSA 公鑰密碼系統(tǒng)教學中的理論知識、算法、性質和安全性原理等構建了函數庫，并通過案例教學驗證了函數庫的可用性，提高了學生解決復雜工程問題的能力.

1 RSA公鑰密碼系統(tǒng)教學體系設計

1.1 教學體系設計思路

RSA公鑰密碼系統(tǒng)教學涵蓋的知識點多，特別是數學知識，實用性比較強.因此，為了加強理論學習的系統(tǒng)性和全面性，按照所需掌握的基本知識層遞關系，將RSA 公鑰密碼系統(tǒng)教學體系設計為四層.第一層是數學基礎理論層，包括Euler 定理、Euler 函數、最大公約數和數的素性等；第二層是函數庫層，包括最大公約數計算、大整數冪模運算、擴展的Eculid 算法、模運算乘法逆元、快速積運算、快速冪運算和素性判定運算等；第三層是RSA 算法層，包括密鑰生成算法、加密算法、解密算法、數字簽名算法和驗證簽名算法等；第四層是RSA 應用層，涉及RSA 的性質與安全性內容，包括RSA 算法的乘法同態(tài)性、選擇明文攻擊、選擇密文攻擊、共模攻擊和低指數攻擊等.

通過講授、討論，使學生能夠了解RSA 公鑰加密系統(tǒng)針對性的理論和定理，掌握基本實現原理，重點掌握傳統(tǒng)加密算法和解密算法等.

1.2 RSA公鑰密碼系統(tǒng)教學體系設計中各層之間的關系

函數庫層中各函數的形式化說明，以及函數層中各函數與RSA 算法層、RSA 算法層與RSA 應用層的調用關系設計如表1和表2所示.

表1 函數層與RSA算法層之間的調用關系

表2 RSA算法層與RSA應用層之間的調用關系

RSA 算法層與RSA 應用層之間關系的梳理，一方面是為了實現案例教學，提高課堂的教學效果，另一方面，通過實現RSA 算法的乘法同態(tài)性、選擇密文攻擊、共模攻擊和低指數攻擊等應用訓練學生解決復雜工程問題的能力.

2 案例教學

為了避免出現“滿堂灌”等枯燥乏味的說教方式，選擇具有實際應用背景、典型的案例融入教學設計中，使課程內容更加形象、豐富，不僅能激發(fā)學生的學習興趣，還能加深學生對知識的理解和運用［6］.例如，在教學中通過案例一和案例二的求解和驗證，使學生理解并能夠靈活運用RSA 算法常見的攻擊方式以及RSA密碼體制的同態(tài)性分析.

2.1 案例教學一：RSA算法中的共模攻擊

問題：若用戶user1 和user2 共享模數n=524 747，他們的公鑰e1，e2分別是30 283，8 209.若攻擊者截獲user1 和user2 對同一明文m加密的結果分別是c1=51 297，c2=365 457.求解攻擊者破解明文m的方法并進行驗證.

解答步驟如下：

實驗運行的結果如圖1所示.

圖1 共模攻擊實驗驗證結果

2.2 案例教學二：RSA算法的乘法同態(tài)性

問題：對于明文m1，m2，驗證RSA是否有乘法同態(tài)性，即是否存在：Ee（m1m2）≡Ee（m1）*Ee（m2）.

解答步驟如下：

實驗運行的結果驗證了RSA算法具有乘法同態(tài)性，如圖2所示.

圖2 RSA算法乘法同態(tài)性驗證

3 結語

論文實現了將RSA 公鑰密碼系統(tǒng)進行分層次教學設計，并建立了RSA 公鑰密碼系統(tǒng)教學的函數庫，通過案例教學的方式豐富教學內容，提高了課程教學質量以及學生應用RSA 解決實際問題的能力.經教學實踐表明，RSA公鑰密碼系統(tǒng)教學體系設計獲得了良好的教學效果.但本文建立的函數庫的計算范圍只涉及整數域，還未達到工業(yè)級別RSA 安全性的需求，故不能在商用RSA 加密、解密和數字簽名中進行應用，這也是今后要進行研究的工作.