邢瑾文 高東鳴 張海牛 王 維

玉柴聯(lián)合動力股份有限公司 蕪湖 241080

0 引言

橋式起重機(jī)（以下簡稱橋機(jī)）主端梁連接技術(shù)對橋架有重要影響[1]。主梁是橋機(jī)的主要承載部件，約占整機(jī)金屬結(jié)構(gòu)自重的70%，對整機(jī)的安全性有重要作用，故研究橋機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的可靠性方法具有現(xiàn)實(shí)意義。在設(shè)計過程中，橋機(jī)主梁存在很多不確定性因素，當(dāng)這些因素耦合在一起時，會在很大程度上對結(jié)構(gòu)響應(yīng)產(chǎn)生較大偏差，甚至面臨失效風(fēng)險。非概率可靠性模型正是在樣本信息匱乏、難以準(zhǔn)確定義概率性質(zhì)的情形下于20世紀(jì)90年代提出，主張用凸集合描述不確定因素，以可靠性指標(biāo)度量結(jié)構(gòu)的安全程度，強(qiáng)調(diào)可接受行為的范圍。因而，非概率可靠性模型適合于分析復(fù)雜的橋式起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)。

Ben-Haim Y等[2，3]主張用凸集描述不確定參數(shù)，闡明了何為非概率可靠性，以結(jié)構(gòu)所能容納的不確定性的極限范圍用于評判結(jié)構(gòu)是否安全；郭書祥等[4]指出非概率可靠性指標(biāo)是基于無窮范數(shù)刻畫的標(biāo)準(zhǔn)空間中坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離；王曉軍等[5]將結(jié)構(gòu)非概率可靠性指標(biāo)重新定義為結(jié)構(gòu)安全域和可行域的體積的比值，考慮以集合的思路度量結(jié)構(gòu)安全性；姜潮等[6]于傳統(tǒng)凸模型發(fā)展出一種變體——平行六面體模型，將獨(dú)立和相關(guān)的不確定變量包含在一個統(tǒng)一的框架內(nèi)，便于解決復(fù)雜不確定性的棘手難題；崔智勇等[7]將工程實(shí)際中的不確定性考慮為區(qū)間變量，研究了微粒群算法下區(qū)間模型非概率可靠性指標(biāo)的計算；陳江義等[8]基于區(qū)間模型提出響應(yīng)面模型的非概率可靠性優(yōu)化方法；姜潮等[9]在已有的平行六面體模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，在改進(jìn)的平行六面體模型中，不確定參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)被重新定義，基于相關(guān)矩陣進(jìn)一步推導(dǎo)出不確定域的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并應(yīng)用到結(jié)構(gòu)可靠性領(lǐng)域；為了克服現(xiàn)有凸模型公式的復(fù)雜性和多樣性，姜潮等[10]又提出了構(gòu)造非概率凸模型的統(tǒng)一框架，并提出凸模型建模方法的評價標(biāo)準(zhǔn)，作為后續(xù)新凸模型建模方法有效性驗(yàn)證的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。

與區(qū)間模型和橢球模型相比，平行六面體模型可以很好地將變量間的獨(dú)立性和相關(guān)性置于同一模型內(nèi)分析，在保證結(jié)構(gòu)可靠的同時成本得以有效控制。從某種意義上講，平行六面體模型是更符合實(shí)際工程的一種凸模型，鑒于此，建立了橋式起重機(jī)主梁的平行六面體非概率可靠性模型。實(shí)例表明，平行六面體模型的運(yùn)用能較準(zhǔn)確地描述起重機(jī)結(jié)構(gòu)的可靠性。

1 基于凸模型的非概率可靠性

1.1 基于區(qū)間模型的非概率可靠性

假設(shè)所有不確定參數(shù)之間相互獨(dú)立，且在已知區(qū)間或超長方體內(nèi)變化，即

式中：xl、xu分別為區(qū)間變量x的下界、上界。

定義區(qū)間變量x的均值和離差分別為

將區(qū)間變量投影到標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量的度量上，這一過程稱為標(biāo)準(zhǔn)化，具體轉(zhuǎn)換過程為

然后，將標(biāo)準(zhǔn)化后的變量帶入功能函數(shù)，即

在此失效模式下的區(qū)間模型非概率可靠性指標(biāo)采用無窮范數(shù)表示，即

其幾何意義為：在標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量張成的擴(kuò)展空間里，以無窮范數(shù)度量的n維空間中坐標(biāo)分量到失效面的最短距離，擴(kuò)展空間是指其擴(kuò)展后的無限空間。若極限狀態(tài)函數(shù)簡單，有學(xué)者主張采用定義法、轉(zhuǎn)換法和優(yōu)化法進(jìn)行可靠性指標(biāo)的求解。同時，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)面將整個標(biāo)準(zhǔn)化空間劃分成2個域：失效域和安全域。當(dāng)η＝1時，失效面與凸域剛好相切，結(jié)構(gòu)性能處于臨界失效狀態(tài)；當(dāng)η＝＞1時，結(jié)構(gòu)性能的實(shí)際波動范圍均處于安全區(qū)內(nèi)，與失效面沒有交集，結(jié)構(gòu)可靠，且η的值越大，結(jié)構(gòu)也越可靠。

1.2 基于橢球模型的非概率可靠性

假設(shè)不確定參數(shù)之間具有相關(guān)性，且在已知橢球體內(nèi)變化，即

在實(shí)際情況下，常常將不確定參數(shù)向量x無量綱化為相對變差向量δ，兩者的分量元素關(guān)系式為

式中：為名義值。

橢球模型用超橢球集合界定變差向量δ，其表達(dá)式為

引入標(biāo)準(zhǔn)化向量

式中：Qi、Λi分別為超橢球形狀矩陣Wi的特征向量和特征值對角矩陣，有

經(jīng)過變換，原凸模型轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)化q空間下，即

用Euclidean范數(shù)定義標(biāo)準(zhǔn)q空間中向量的長度為

其幾何意義為：標(biāo)準(zhǔn)化空間的坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離。經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后，單位值1可作為結(jié)構(gòu)性能是否可靠的標(biāo)尺。當(dāng)η＝1時，極限狀態(tài)曲線與凸域相切，恰好位于臨界失效處；當(dāng)η＞1時，不確定參數(shù)的變差均在安全域內(nèi)，結(jié)構(gòu)性能保留有一定程度的安全余量。

1.3 基于平行六面體模型的非概率可靠性

假設(shè)不確定參數(shù)之間具有相關(guān)性，且在一直平行六面體內(nèi)變化，即

如圖1所示，將不確定參數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，轉(zhuǎn)換過程可表示為

圖1 平行六面體模型的二維區(qū)間變量的標(biāo)準(zhǔn)化過程

任意2個變量間的相關(guān)系數(shù)可定義為

進(jìn)一步相關(guān)矩陣可描述為

特征矩陣定義為

由此得到包絡(luò)所有區(qū)間變量的平行六面體域?yàn)?/p>

可以借助不確定域中的點(diǎn)到失效平面G（δ）＝0之間的最短距離來評判系統(tǒng)是否安全可靠，故構(gòu)建一個優(yōu)化問題來得到系統(tǒng)的非概率可靠性指標(biāo)η

前述最短距離是基于無窮范數(shù)來進(jìn)行衡量的，而最優(yōu)點(diǎn)則是指失效平面上的設(shè)計驗(yàn)算點(diǎn)。在幾何空間中，最優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)不確定域均勻地向外擴(kuò)展時和失效平相切時的第一個點(diǎn)。圖2描述了二維空間中基于多維平行六面體模型的可靠性指標(biāo)定義。

圖2 平行六面體模型的非概率可靠性度量指標(biāo)示意圖

2 數(shù)值算例和工程應(yīng)用

2.1 懸臂梁

研究圖3所示懸臂梁的不確定性參數(shù)的量化，并進(jìn)行非概率可靠性分析，懸臂梁的梁中彎矩最大值應(yīng)小于極限彎矩。極限狀態(tài)函數(shù)可表示為

圖3 懸臂梁

在距固定端為b1＝2.0 m，b2＝5.0 m，處分別作用2個集中載荷p1和p2。設(shè)基本區(qū)間變量為的取值范圍給定7種情況，分別基于區(qū)間、平行六面體和橢球3種模型計算結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo)，結(jié)果如表1所示。

表1 基于不同凸模型的非概率可靠性指標(biāo)的比較

比較3種方法的結(jié)果，可得到如下結(jié)論：

1）隨著極限彎矩mcr不確定范圍的逐漸增大，可靠性指標(biāo)呈逐漸上升的趨勢，η越大，結(jié)構(gòu)越可靠。

2）無論極限彎矩mcr的區(qū)間范圍變化多大，基于區(qū)間模型計算的可靠性指標(biāo)始終較保守，即若區(qū)間模型算出的可靠性指標(biāo)η＞1，則橢球模型和平行六面體模型算出的可靠性指標(biāo)必定使結(jié)構(gòu)可靠。另外，在實(shí)際工程中，區(qū)間模型非概率可靠性往往容易造成材料不必要的浪費(fèi)，加大制造成本。

3）由于橢球模型考慮了變量間的相關(guān)程度，故相對區(qū)間模型而言是更合理的。由表1的結(jié)果對比可知，同區(qū)間模型和平行六面體模型相比，橢球模型計算出來的非概率可靠性指標(biāo)總是最大的，這主要是由于橢球模型無法考慮任意2個變量間獨(dú)立的情形造成的。與區(qū)間模型不同，橢球模型非概率可靠性往往容易出現(xiàn)過危險設(shè)計。

4）平行六面體模型計算出的非概率可靠性指標(biāo)介于區(qū)間模型和橢球模型兩者之間，既不像區(qū)間模型那樣過保守，也不像橢球模型那般過危險，可以很好地將變量間的獨(dú)立性和相關(guān)性置于同一模型內(nèi)分析，在保證結(jié)構(gòu)可靠的同時成本也有效地得到控制。因此，在某種程度上，平行六面體模型是更符合實(shí)際工程的一種凸模型。

2.2 橋機(jī)主梁結(jié)構(gòu)

1）基本參數(shù)及結(jié)構(gòu)校核

以某起重量為32 t的橋機(jī)偏軌箱形梁為例進(jìn)行可靠性分析，該橋機(jī)的基本參數(shù)如表2所示?？紤]到實(shí)際工程中不確定性因素的客觀存在，且難以獲得大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)信息，將額定起重量、吊具質(zhì)量、小車質(zhì)量、許用強(qiáng)度及彈性模量等5個不確定性參數(shù)看成區(qū)間變量，并分別以x1、x2、x3、x4、x5表示，區(qū)間范圍分別為：x1＝[28.8，35.2]，x2＝[0.9，1.1]，x3＝[9.9，12.1]，x4＝[158.4，193.6]，x5＝[1.8×105，2.2×105]。根據(jù)給定的區(qū)間范圍可求出相應(yīng)的均值和離差，具體參數(shù)如表3所示。

表2 橋機(jī)基本參數(shù)表

表3 不確定參數(shù)的區(qū)間范圍及其均值、離差

對于橋機(jī)主梁，其穩(wěn)定性往往滿足要求，而強(qiáng)度和剛度通常為結(jié)構(gòu)的主要破壞形式，為此只考慮橋機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度可靠性問題，需要校核偏軌箱形梁跨中截面3個驗(yàn)算點(diǎn)的強(qiáng)度，如圖4所示。

圖4 主梁截面強(qiáng)度驗(yàn)算示意圖

其中，主腹板邊緣點(diǎn)1處的極限狀態(tài)函數(shù)為

式中：[σ]為許用強(qiáng)度，σ01為垂直彎矩產(chǎn)生的應(yīng)力，σ02為水平彎矩產(chǎn)生的應(yīng)力，σm為主腹板邊的局部壓應(yīng)力，τ為主腹板邊的切應(yīng)力。

下蓋板點(diǎn)2處的極限狀態(tài)函數(shù)為

式中：[σ]為許用強(qiáng)度，Mx為主梁跨中總的彎矩，My為主梁跨中總的水平彎矩，x2、y2為形心位置，Ix、Iy為慣性矩。

下蓋板點(diǎn)3處的極限狀態(tài)函數(shù)為

式中：[σ]為許用強(qiáng)度，Mx為主梁跨中總的彎矩，My為主梁跨中總的水平彎矩，x2、y2為形心位置，Ix、Iy為慣性矩。

此外，還應(yīng)校核結(jié)構(gòu)的靜剛度，其極限狀態(tài)函數(shù)為

式中：[Y]為許用靜撓度，這里為滿載小車總靜輪壓，E為彈性模量，L為跨度，b為小車輪距。

2）平行六面體模型可靠性分析

在構(gòu)建強(qiáng)度的平行六面體模型時，根據(jù)極限狀態(tài)函數(shù)，共涉及額定起重量、吊具質(zhì)量、小車質(zhì)量、許用強(qiáng)度4個不確定性參數(shù)。將不確定性參數(shù)x1、x2、x3、x4標(biāo)準(zhǔn)化，轉(zhuǎn)化關(guān)系如式(13)，基于平行六面體模型對橋機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度進(jìn)行非概率可靠性分析時，由式(14)和式(15)可得該模型的相關(guān)矩陣為

按照式(16)計算該模型的特征矩陣為

基于強(qiáng)度的平行六面體模型的不確定域?yàn)?/p>

所以，采用無窮范數(shù)進(jìn)行該模型的非概率可靠性分析，則有

在構(gòu)造剛度的平行六面體模型時，首先對不確定性參數(shù)額定起重量、吊具質(zhì)量、小車質(zhì)量、彈性模量等進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，轉(zhuǎn)化關(guān)系如式(13)，由式(20)可以得到式（35）所示基于平行六面體模型的結(jié)構(gòu)剛度的不確定域，即

基于平行六面體模型對橋機(jī)主梁結(jié)構(gòu)剛度的非概率可靠性分析過程與上述相同，計算結(jié)果見表4。

表4 主梁結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度非概率可靠性指標(biāo)計算結(jié)果

通過分析計算結(jié)果，基于平行六面體模型對橋機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的可靠性分析，有關(guān)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度的非概率可靠性指標(biāo)都大于1，表明橋機(jī)主梁結(jié)構(gòu)是安全可靠的。橋機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的整體非概率可靠性應(yīng)由最危險的情形確定，針對所研究的目標(biāo)起重機(jī)主梁可靠性指標(biāo)為2.758 3＞1，且有一定的安全余量，能滿足使用要求。

3 結(jié)論

1）從不確定域的量化、可靠性指標(biāo)的計算、適用范圍等方面分別探討了區(qū)間模型、橢球模型和平行六面體模型的非概率可靠性，通過懸臂梁數(shù)值算例，表明基于平行六面體的非概率可靠性模型相對比較合理，較好地解決了其他模型過保守或過危險的設(shè)計問題。

2）提出了基于平行六面體的橋機(jī)主梁結(jié)構(gòu)的非概率可靠性分析方法，該方法可在確保經(jīng)濟(jì)的基礎(chǔ)上很好地分析結(jié)構(gòu)可靠性問題，具有一定工程價值。

此外，本文方法還可拓展至概率—模糊—平行六面體模型混合可靠性問題中，進(jìn)一步拓展平行六面體模型在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中的應(yīng)用能力。