李素月，郝紅婷，王安紅

(太原科技大學 電子信息工程學院，太原 030024)

0 引 言

智能反射面(Intelligent Reflective Surface,IRS)技術的提出，很好地適應了未來蜂窩網(wǎng)絡的需求。一般來說，IRS是一個由大量無源反射單元組成的平面，每個單元都能夠獨立地對入射信號進行誘導，從而可以控制振幅或相位的變化，使發(fā)射機和接收機之間的信道可以實現(xiàn)靈活的配置。IRS為無線通信系統(tǒng)提供了一種新的手段，從根本上解決了無線信道衰落損害和干擾問題，并有望實現(xiàn)無線通信容量和可靠性的大幅度提升[1]。

然而，IRS的引入帶來了新的挑戰(zhàn)，其中獲取信道狀態(tài)信息(Channel State Information,CSI)是比較困難的工作，這是由于為了實現(xiàn)低成本和低功耗，IRS采用無源設計，不配備射頻鏈，因而導致它沒有能力完成信道估計。尤其是除了估計基站(Base Station,BS)和用戶設備(User Equipment,UE)之間的直接信道之外，還需要估計兩個IRS輔助信道，即BS到IRS的信道和IRS到用戶的信道。

信道估計一直是無線通信系統(tǒng)中重要的研究課題之一，不同的系統(tǒng)和信道建模對信道估計帶來不同的挑戰(zhàn)。學者們在關于IRS的一些研究工作中提出了各自有效的信道估計方法[2-4]。對于單天線下行鏈路系統(tǒng)，文獻[2]研究了IRS輔助的環(huán)境反向散射系統(tǒng)的信道估計，通過初始估計和迭代估計獲得信道參數(shù)，并進一步推導了信道的克拉美羅界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB)[3]。另一方面，對于多天線上行鏈路系統(tǒng)，文獻[4]利用壓縮感知技術將級聯(lián)信道構造成塊稀疏信道矩陣恢復問題，不考慮用戶和BS之間的直接鏈路。此外，文獻[5-6]提出了一種基于最小二乘(Least Squares,LS)估計準則的IRS輔助單用戶上行鏈路系統(tǒng)信道估計協(xié)議。文獻[6]假設在一段相干時間內(nèi)信道保持恒定不變且保證IRS在整個信道估計階段處于工作狀態(tài)下，分別估計了直接鏈路和級聯(lián)信道，最后使用IRS相移矩陣和最小方差無偏估計的結果進行優(yōu)化設計。針對IRS上行多用戶通信，文獻[7]提出了一種基于導頻的三階段的信道估計框架：在第一階段和第二階段分別估計基站與用戶的直接信道和一個典型用戶的反射信道；在第三階段，利用其他用戶與典型用戶的強相關性，以較低的導頻開銷估計其他用戶的反射信道，其中在信道估計階段，IRS相移矩陣基于離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)矩陣獲得；最后總結出信道估計所需的最小導頻長度為2K+N-1(K為用戶數(shù)，N為IRS反射單元數(shù))。

然而IRS信道估計的多數(shù)文獻是關于上行鏈路的，據(jù)調(diào)研，目前幾乎沒有針對IRS輔助多天線系統(tǒng)的下行鏈路低復雜度信道估計的研究。為此，本文以文獻[2]為研究基礎，將其IRS單天線系統(tǒng)模型擴展到多天線。利用反向散射信號控制IRS的各個反射面，分兩個階段進行直接鏈路和級聯(lián)反射鏈路的信道估計。在傳統(tǒng)LS算法推導的基礎上，研究Gauss-Seidel(GS)迭代算法，避免矩陣求逆，降低了計算復雜度，僅需較少迭代次數(shù)。為了進一步評估系統(tǒng)性能，進行了CRLB的推導。在仿真實驗環(huán)節(jié)首先仿真了下行鏈路導頻生成方式和導頻長度對估計算法的影響，然后通過對比LS算法和GS迭代算法的均方誤差(Mean Square Error,MSE)性能，驗證了所提出算法的有效性。

1 系統(tǒng)模型

考慮一個如圖1所示的IRS輔助的下行鏈路通信系統(tǒng)模型，BS通過下行鏈路與一個單天線用戶通信，其中BS配有M根天線，IRS包含N個反射元素。h∈M×1表示BS到用戶的直接鏈路信道增益，pn∈M×1表示BS和IRS的第n(1≤n≤N)個反射元素的信道增益，qn∈為IRS的第n個反射元素和用戶之間的信道增益。

圖1 下行IRS輔助系統(tǒng)

根據(jù)系統(tǒng)模型，在時刻i，用戶接收到的信號可表示為

(1)

式中：x(i)∈1×M為BS發(fā)射的導頻信號；φn,i表示IRS的相位和衰落的影響；w(i)表示均值為零且方差為σ2的獨立同分布的加性高斯白噪聲；c(n)表示向用戶傳遞二進制信息位的反向散射信號，取值為0或1，也可用來控制IRS的工作狀態(tài)。

把式(1)中的第二項表示為級聯(lián)反射信道，即

(2)

需要指出的是，IRS的反射元素的個數(shù)及相移設計，與級聯(lián)信道g的估計精度無關。

由于用戶端的功率和處理能力受限，需要采用低復雜度的信號處理技術。接下來從基礎的LS算法出發(fā)，探索低復雜度的信道向量h和g的估計方法。

2 算法推導

2.1 LS估計算法

假設信道在一段相干時間內(nèi)保持恒定不變，考慮的信道估計分兩個階段完成。在第一階段，先估計直接鏈路信道h，假設第一階段的導頻長度為K0。此時令IRS保持關閉狀態(tài)，即c(n)=0?；谑?1)，用戶接收到的信號表示為

u0=X0h+w0。

(3)

式中：u0=[u(1),u(2),…,u(K0)]T是K0×1維的接收向量，X0=[x(1);x(2);…;x(K0)]是K0×M維的發(fā)射導頻矩陣，w0=[w(1),w(2),…,w(K0)]T表示服從零均值且方差為σ2的獨立同分布的加性高斯白噪聲向量。在此統(tǒng)一說明：公式中上標T和H分別表示向量或矩陣的轉置及共軛轉置運算。

在第二階段，主要任務是估計級聯(lián)信道g。假設采用K1個導頻符號，此時令IRS處于工作狀態(tài)，即c(n)=1。基于式(1)，用戶接收到的導頻信號向量為

u1=X1h+X1g+w1。

(4)

式中：u1=[u(1),u(2),…,u(K1)]T是K1×1維的接收向量，X1=[x(1);x(2);…;x(K1)]T是K1×M維的發(fā)射導頻矩陣，w1=[w(1);w(2);…;w(K1)]T表示加性高斯白噪聲向量。這里，兩階段采用的總導頻長度記為Kp=K0+K1。

將式(3)和式(4)合并起來，可得

(5)

(6)

因此，可以得到

(7)

式中:t=[h,g]T為要估計的信道向量。

由式(7)，利用LS算法，信道向量的估計結果為

(8)

式中：

(9)

將式(9)代入式(8)，可得

(10)

通過式(10)得出直接鏈路和反射鏈路的LS信道估計結果分別表示為

(11)

(12)

需要說明的是，式(8)中求逆矩陣F的維數(shù)是2M×2M，式(11)和式(12)中求逆矩陣的維數(shù)均為M×M?？梢娛?11)和式(12)相對于式(8)維數(shù)減少一倍，大大降低了矩陣求逆的計算復雜度。

(13)

(14)

2.2 GS估計算法

已知對于下行大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，信道矩陣R的列是漸近正交的[8]。因此通過將任意2M×1的非零向量表示為e，可以得到eHFe=(Re)HRe>0，這說明矩陣F是正定的。此外，通過FH=(RHR)H=F，可以進一步得出矩陣F是厄米特(Hermitian)正定的。

(15)

式中：上標i∈表示迭代次數(shù)。

正如前面所提到F是厄米特正定的，因此也可以將F分解為

F=D+L+LH。

(16)

式中：D=diag(diag(F))為對角矩陣，而且L和LH是F的對角線以外的上三角和下三角矩陣。式(8)的形式等價為Ft=z，用GS迭代算法來表示如下：

(17)

需要注意的是，由于矩陣F是厄米特正定的，因此所采用的GS迭代算法對于任何初始解都是收斂的(收斂條件：迭代矩陣((D+L)-1LH)的譜半徑小于1，其中譜半徑指的是其矩陣特征值的絕對值的最大值[10])。接下來將通過對比計算復雜度，說明GS迭代算法相比LS算法的優(yōu)越性。

2.3 復雜度分析

由于復雜度主要由復數(shù)乘法的次數(shù)決定，考慮用復乘數(shù)對計算復雜度進行分析。基于式(16)中D和L的定義，式(17)的解可按元素表示為

(18)

表1通過公式比較了LS算法和GS迭代算法的復雜度，可以看出，對于公式(8)，LS算法的復雜度為O(8M3)，而GS迭代算法的復雜度為O(4M2)，低了一倍。而為了保證近似性能，通常需要更多的乘法計算。相比較而言，GS迭代算法所需的乘法計算次數(shù)更少，能夠進一步降低整體方案的復雜度。

表1 復雜度對比

3 CRLB推導

CRLB經(jīng)常被用來計算理論達到的最佳估計精度以評估參數(shù)的性能。接下來用CRLB推導算法的理論性能。

基于式(7)可知，向量是要被估計的參數(shù)，其中t[1∶M]=h，t[M+1∶2M]=g。

已知對于每個參數(shù)t「i?,i=1,…,M,…,2M，它的CRLB可以作為Fisher信息逆矩陣的第「i,i?個元素，由此可得出

var(t[i])≥CRLB(t[i])=[I-1(t)]ii。

(19)

式中：var(t[i])表示t[i]的方差；I(t)是維數(shù)為2M×2M的Fisher信息矩陣，其中I(t)的第[i,j]項可定義為

(20)

式中：i,j=1,…,M,…,2M。

根據(jù)式(7)和式(20)，以天線數(shù)M=2為例，可得維數(shù)為4×4的Fisher信息矩陣I(t)為

(21)

式中：ln表示對數(shù)運算，p(u;t)表示隨機向量u對t的概率密度函數(shù)。

假設w～N(0,σ2I4×4)，其中I4×4是維數(shù)為4×4的單位矩陣，因此p(u;t)可表示為

(22)

為了簡化p(u;t)，基于式(6)、式(7)和式(22)，對p(u;t)取對數(shù)后得到

(23)

接下來將式(23)代入式(21)，進一步計算可得I(t)為

(24)

對式(24)中的矩陣I(t)求逆可得

(25)

基于式(19)，由式(25)可得信道h和g的CRLB為

(26)

(27)

4 仿真分析

4.1 導頻設計對估計性能的影響

圖2為LS算法下三種不同的導頻序列對MSE的影響，這三種導頻分別是，導頻1：隨機生成+1和-1的序列，即(2×rand([0 1],Kp,1)-1)；導頻2：隨機生成指數(shù)序列，即exp(-1i×2×π×rand(Kp,1))；導頻3：生成正交導頻序列由DFT矩陣獲得。圖2(a)和(b)僅K0取值不同，Kp相同，均為40。聯(lián)合觀察圖2(a)和圖(b)發(fā)現(xiàn)，當K0=10或K0=20時，三種導頻序列的MSE估計性能接近，但是由從圖2(a)可以明顯發(fā)現(xiàn)，當采用導頻1時，信道h和g的MSE估計性能是最好的。因此，在接下來的仿真實驗中均采用導頻1來評價不同算法的MSE性能。

(a)K0=10

圖3仿真了K0固定、總導頻長度Kp變化下LS算法的MSE性能，設置信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)為15 dB。從圖中可以看出，K0固定的情況下，信道h的MSE不受總導頻長度變化的影響，呈現(xiàn)一條直線。不過，由于Kp的增加使得K1增加，反射信道g的MSE逐漸減小。當Kp=60時，信道g在K0=30時的MSE低于K0=45時的MSE，這是因為K0=45時對應的導頻長度K1太短(為Kp的1/4)，導致g的估計誤差變大。然而，當Kp≥90時，信道g在K0=45時的MSE高于K0=30時的MSE，原因是導頻長度K1大于Kp的1/2。此時，繼續(xù)增加Kp對信道g的誤差性能提升很小?？傮w而言，無論導頻多長，信道g的估計總比信道h的估計性能差一些，這是由于前者的估計受后者的估計誤差影響。

圖3 LS算法下Kp對MSE的影響

圖4在總導頻長度Kp固定的條件下，通過改變K0來觀察MSE的變化。此場景的參數(shù)為Kp=80。由圖可見，當K0≤40時，直接鏈路h的MSE和反射信道g的MSE都在逐漸減小；然而，隨著K0的增加，信道g的性能變差，這是由于K1長度不夠造成的(K0>40使得K1小于總導頻長度的一半)。顯然，SNR較高時，h和g的估計精度都明顯提高。

圖4 LS算法下K0對MSE的影響

4.2 算法性能對比

本小節(jié)仿真對比LS算法和迭代的GS算法的MSE性能，設K0=K1=20。圖5顯示了LS算法下信道h和g隨SNR變化的MSE性能，并根據(jù)式(26)和式(27)獲得相對應的CRLB。由圖可知，隨著SNR的增加，h和g的MSE均呈下降趨勢；當SNR較高時，估計誤差和CRLB之間的差距減小。

圖5 LS算法下MSE和CRLB的估計

圖6顯示了LS算法和GS迭代算法的MSE估計性能的對比結果。從圖中可以明顯看出，LS算法和GS算法的MSE曲線幾乎完全重合，GS迭代算法只需要迭代4次就可以實現(xiàn)與LS算法相同的估計誤差性能，因此GS算法實現(xiàn)了更好的性能與復雜度的折中。

圖6 LS估計和GS估計的MSE對比

圖7為不同天線數(shù)M下GS算法的MSE性能仿真結果。從圖中可以明顯看出，當天線數(shù)增加時，M=4時的MSE要比M=2時的大。這是由于當天線數(shù)增加時，需要估計的信道參數(shù)以及同信道干擾增加導致估計誤差變大。

圖7 GS算法下不同天線數(shù)的MSE對比

5 結 論

本文研究了下行鏈路IRS輔助多天線系統(tǒng)的信道估計問題，利用迭代GS算法取代直接的矩陣求逆對直接信道和IRS反射信道進行估計。為了計算理論上的最佳估計精度，進行了CRLB的推導。實驗仿真結果表明，為了獲得良好的估計性能并降低復雜度，應選擇合適的導頻序列。信道估計的兩個階段對應的不同導頻序列長度對MSE性能有一定的影響，在總長度固定的情況下，應考慮合理分配。GS迭代算法享有低復雜度優(yōu)勢的同時，可達到與LS算法相同的誤差性能。