李頌，周長城，張云山，李鵬雷

(1.山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院，山東 淄博 255049；2.山東汽車彈簧廠淄博有限公司，山東 淄博 255410)

螺旋彈簧是最基本的彈性元件之一，廣泛應(yīng)用于汽車等工業(yè)中[1],其中最為常見是圓柱螺旋彈簧[2]。這類彈簧安裝時，對空間有一定的要求，但在某些特殊的應(yīng)用中，空間受到限制，使用組合圓柱螺旋彈簧又無法滿足剛度要求[3-4]，此時橢圓式螺旋彈簧可以很好地解決這個問題。

目前，螺旋彈簧設(shè)計的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)多適應(yīng)于圓形中徑螺旋彈簧[5]，國內(nèi)外學(xué)者的研究也多以圓柱螺旋彈簧為基礎(chǔ)進行。Wahl[6]將螺旋彈簧看作受剪切和扭轉(zhuǎn)作用的圓桿，分析得出了圓柱螺旋彈簧的剛度公式。張健等[7]以改進后的精確幾何模型梁單元為基礎(chǔ)，對圓柱螺旋彈簧的非線性特性進行了分析。然而目前對于橢圓形中徑螺旋彈簧的研究卻非常少。張英會[8]給出了橢圓形彈簧圈螺旋彈簧的變形及應(yīng)力的計算式，但是此計算式是將橢圓形中徑等效成圓形中徑彈簧得出的近似修正式。對于橢圓形絲徑的研究，日本彈簧協(xié)會以等圓面積法對橢圓形截面簧進行了計算分析[9]。Gzal等[10]給出了小螺旋角橢圓截面簧的應(yīng)力公式，但其僅考慮扭轉(zhuǎn)應(yīng)力作用，也忽略了曲率的影響。上述文獻所用的研究分析方法雖然準(zhǔn)確，但只考慮了彈簧圈為圓形時的情況，亦或是未給出準(zhǔn)確的計算方法。以上方法應(yīng)用于橢圓式螺旋彈簧時，計算得出的剛度及應(yīng)力值偏差過大。

本文根據(jù)橢圓式螺旋彈簧的力學(xué)模型，利用卡氏定理建立其撓度、剛度計算方法，利用半逆解法建立考慮扭轉(zhuǎn)及彎曲應(yīng)力同時作用的復(fù)合切應(yīng)力計算方法。根據(jù)復(fù)合切應(yīng)力計算方法，總結(jié)橢圓式螺旋彈簧截面復(fù)合切應(yīng)力、彎曲切應(yīng)力以及彈簧圈上應(yīng)力分布情況和變化規(guī)律。最后，通過實例參數(shù)對橢圓式螺旋彈簧進行ANSYS仿真驗證。

1 橢圓式螺旋彈簧基本參數(shù)

橢圓式螺旋彈簧在軸向的投影輪廓如圖1所示。圖1中，長半軸為az, 短半軸為bz,R為任意角度αz下彈簧圈的半徑,O為彈簧軸心。

圖1 橢圓式螺旋彈簧中徑參數(shù)

橢圓式螺旋彈簧的簧絲截面如圖2所示。圖2中，長半軸為as,短半軸為bs,r為任意角度下簧絲的半徑,O1為簧絲形心。

圖2 橢圓式螺旋彈簧絲徑參數(shù)

由三角函數(shù)及比例關(guān)系，可推得任意角度αz、αs下的彈簧圈半徑R、簧絲半徑r表達式如下：

(1)

式中:kz=az/bz;ks=as/bs。

2 橢圓式螺旋彈簧剛度計算

如圖1所示，橢圓式螺旋彈簧的投影輪廓關(guān)于橫軸和縱軸對稱,因此只需對1/4彈簧圈進行力學(xué)分析、推導(dǎo)撓度關(guān)系式。1/4橢圓式螺旋彈簧受力分析模型如圖3所示。

圖3 1/4橢圓式螺旋彈簧力學(xué)模型

彈簧中心受豎直向下的力F, 在彈簧線圈P點上產(chǎn)生一個力矩M,M與P點法線QQ′的夾角為β。過P點的切線NN′與橫軸的夾角為ξ, 當(dāng)αz改變時，半徑R、夾角β及ξ都隨之改變。根據(jù)切線斜率的定義,ξ可表示為

(2)

由角與角的關(guān)系，可以推出角αz、β、ξ之間的關(guān)系如下：

β=αz+ξ。

(3)

P處的力矩M可分解為沿切線方向的扭矩T與沿法線方向的彎矩Me, 表達式如下：

(4)

根據(jù)彈性力學(xué)知識，由載荷F作用的1/4橢圓式螺旋彈簧力學(xué)模型的應(yīng)變能U1可表示為

(5)

式中，J、I分別為彈簧截面的極慣性矩和慣性矩，且

(6)

則橢圓式螺旋彈簧總的應(yīng)變能U可表示為

U=4NU1，

(7)

式中N為彈簧的有效圈數(shù)。根據(jù)卡氏第二定理可知，橢圓式螺旋彈簧的撓度為

(8)

由于對應(yīng)變能U的公式積分化簡存在一定的難度，因此利用微元法以及疊加原理對橢圓式螺旋彈簧的撓度進行計算。將1/4彈簧力學(xué)模型的π/2角度等分為90個微元角，單位微元角為Δα=π/180，則任意角度αzi可表示為

(9)

根據(jù)上述公式，可整理得到橢圓式螺旋彈簧的撓度計算式

(10)

式中v為泊松比。由式(10)及撓度與剛度的關(guān)系式，可整理得到橢圓式螺旋彈簧剛度K的計算式為

(11)

3 橢圓式螺旋彈簧復(fù)合切應(yīng)力計算

3.1 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算

橢圓式螺旋彈簧簧絲截面受扭轉(zhuǎn)應(yīng)力如圖4所示。

圖4 橢圓簧絲截面受扭轉(zhuǎn)應(yīng)力示意圖

設(shè)除應(yīng)力分量τ1zx,τ1zy外其余應(yīng)力均為0。根據(jù)彈性力學(xué)理論[11]可知，扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)需滿足微分方程和邊界條件

(12)

式中T為橢圓式螺旋彈簧所受扭矩。設(shè)應(yīng)力函數(shù)為

(13)

式中m為一常數(shù)，顯然應(yīng)力函數(shù)滿足側(cè)面邊界條件。將式(13)帶入式(12)中的微分方程可求得m。因此，應(yīng)力函數(shù)可整理為

(14)

由彈性力學(xué)理論，可求得剪切應(yīng)力分量為

(15)

式中：γ為單位長度的扭轉(zhuǎn)角；G為剪切模量。根據(jù)端面邊界條件可求得

(16)

式(16)中的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分量是在直桿的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，若直接應(yīng)用于彈簧這類大曲率螺旋線上，則會造成實際誤差偏大；因此，需要引入扭轉(zhuǎn)應(yīng)力修正系數(shù)k對結(jié)果進行偏差修正。修正系數(shù)k[12]的表達式為

(17)

式中：C為彈簧的旋繞比,C=R/r；k1=(4C-1)/(4C-4),k2=(4C+1)/(4C+4)。

3.2 彎曲切應(yīng)力的計算

彈簧所受的彎曲切應(yīng)力在某些條件下不應(yīng)被忽略，彈簧截面所受彎曲應(yīng)力如圖5所示。彈簧所受的剪力可簡化為作用于圓心O1的力Fs, 受力分析后可知Fs=F。

圖5 橢圓簧絲截面受彎曲應(yīng)力示意圖

由彈性力學(xué)理論可知，橢圓截面彎曲應(yīng)力函數(shù)需滿足微分方程以及邊界條件

(18)

式中：v為泊松比，一般取v=0.3；Cw為常數(shù)；Ix為橢圓截面的慣性矩。為滿足微分方程和邊界條件，假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為

(19)

將式(19)帶入式(18)中的微分方程及邊界條件，即可求得mw。則彎曲應(yīng)力函數(shù)可整理為

(20)

已知彎曲應(yīng)力函數(shù)，由彈性力學(xué)理論，則可求得彎曲應(yīng)力分量

(21)

3.3 總切應(yīng)力的計算

橢圓式螺旋彈簧總的切應(yīng)力應(yīng)為修正后的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力的疊加之和，即

(22)

總切應(yīng)力τ為

(23)

4 仿真驗證

4.1 實例參數(shù)

已知某橢圓式螺旋彈簧的主要參數(shù)如下：彈簧中徑長半軸az=23.66 mm、短半軸bz=18.86 mm，彈簧絲徑長半軸as=4.26 mm、短半軸bs=3.34 mm，彈簧彈性模量E=206 Gpa，泊松比v=0.3，密度為7 800 kg/m3，彈簧的有效圈數(shù)為7.45，彈簧受軸向載荷F=1 950 N。

4.2 橢圓式螺旋彈簧剛度的ANSYS仿真驗證

根據(jù)橢圓式螺旋彈簧的實例參數(shù)，在UG中建立其三維模型，將模型導(dǎo)入到ANSYS Workbench中進行靜力學(xué)特性仿真。首先對模型進行網(wǎng)格收斂性分析，對彈簧模型一端施加固定約束，另一端施加大小為1 950 N的軸向載荷。分別對3組不同網(wǎng)格尺度下的彈簧撓度及應(yīng)力進行仿真，結(jié)果見表1。

表1 網(wǎng)格收斂性分析

由表1可以看出，彈簧撓度及應(yīng)力的仿真結(jié)果隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加幾乎不變，說明仿真結(jié)果具有很好的收斂性。仿真得到的橢圓式螺旋彈簧的變形云圖如圖6所示。

圖6 橢圓式螺旋彈簧變形云圖

由圖6可知，仿真得到的彈簧最大撓度為38.14 mm，剛度為51.13 N/mm。將實例參數(shù)帶入式(10)、式(11)中求得橢圓式彈簧撓度及剛度的計算值。計算值與仿真值的對比結(jié)果見表2。

表2 彈簧撓度及剛度對比結(jié)果

由表2可知，彈簧撓度及剛度的計算值與仿真值偏差均在0.84%左右，表明本文建立的橢圓式螺旋彈簧剛度的計算方法是正確的。

4.3 橢圓式螺旋彈簧復(fù)合切應(yīng)力的ANSYS仿真驗證

根據(jù)所建立的橢圓式螺旋彈簧模型，對簧絲截面邊界進行應(yīng)力仿真，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 簧絲截面應(yīng)力云圖

將截面實例參數(shù)帶入式(23)求得截面邊界應(yīng)力的計算值。提取邊界應(yīng)力的仿真結(jié)果與計算值進行對比分析，對比結(jié)果如圖8所示。

圖8 簧絲截面邊界切應(yīng)力曲線圖

簧絲邊界0°、180°及最大應(yīng)力所在位置313°的對比結(jié)果見表3。

表3 彈簧切應(yīng)力結(jié)果分析

圖8與表3的結(jié)果表明，根據(jù)式(23)計算所得應(yīng)力值與仿真值趨勢相同，能夠較好地給出橢圓式螺旋彈簧應(yīng)力分布的情況。其中，最大切應(yīng)力的計算偏差在2.20%右右，表明提出的橢圓式螺旋彈簧復(fù)合切應(yīng)力的計算方法是正確的。

根據(jù)給出的計算方法，對簧絲截面內(nèi)部復(fù)合切應(yīng)力及彎曲切應(yīng)力進行計算分析，利用計算所得結(jié)果繪制如圖9、圖10所示的應(yīng)力分布圖。

圖9 簧絲截面復(fù)合切應(yīng)力分布圖

圖10 簧絲截面彎曲切應(yīng)力分布圖

根據(jù)圖9、圖10分析可知，簧絲截面復(fù)合切應(yīng)力在空間的分布形似飛機狀，由截面形心O1到截面邊界隨著半徑的增大而逐漸遞增，復(fù)合切應(yīng)力隨簧絲截面角度增加呈波浪式的變化。簧絲截面彎曲切應(yīng)力并非均勻分布在截面內(nèi)，其在空間的分布似雙漏斗狀；截面形心O1的彎曲切應(yīng)力最大，隨著半徑的增大，截面角度0°、180°、360°位置處的應(yīng)力略有下降，而約在90°、260°位置處的應(yīng)力急劇減小，在此角度邊界處的彎曲切應(yīng)力近乎為0。

根據(jù)復(fù)合切應(yīng)力計算方法，求取橢圓式螺旋彈簧表面的應(yīng)力值并繪制應(yīng)力分布圖，結(jié)果如圖11所示。

圖11 橢圓式螺旋彈簧表面應(yīng)力分布圖

由圖11可知，彈簧圈表面的復(fù)合切應(yīng)力隨著彈簧圈角度的增大呈余弦式變化。彈簧圈半徑為中徑長半軸時，即彈簧圈角度取0°、180°、360°時復(fù)合切應(yīng)力最大；彈簧圈半徑為短徑長半軸時，即彈簧圈角度取90°、270°時復(fù)合切應(yīng)力最小。

5 結(jié)論

1)對橢圓式螺旋彈簧模型進行力學(xué)分析，利用卡氏第二定理，建立了橢圓式螺旋彈簧撓度及剛度的計算方法，實現(xiàn)了對此彈簧撓度及剛度的準(zhǔn)確計算。

2)基于材料力學(xué)、彈性力學(xué)理論知識，利用半逆解法建立了同時考慮扭轉(zhuǎn)應(yīng)力及彎曲應(yīng)力的橢圓式螺旋彈簧的復(fù)合切應(yīng)力計算方法，可準(zhǔn)確計算彈簧任意位置處的復(fù)合切應(yīng)力。利用此計算方法，計算并繪制出彈簧簧絲截面、彈簧圈表面的復(fù)合切應(yīng)力分布圖以及簧絲截面彎曲切應(yīng)力的分布圖，通過對應(yīng)力分布圖進行分析，總結(jié)出了切應(yīng)力的變化趨勢及分布情況。

3)ANSYS實例仿真結(jié)果表明，橢圓式螺旋彈簧剛度及復(fù)合切應(yīng)力的計算值與仿真值均相吻合。其中，彈簧剛度的相對偏差在0.84%左右，復(fù)合切應(yīng)力的相對偏差在2.20%左右。以上結(jié)果表明，所建立的橢圓式螺旋彈簧剛度及復(fù)合切應(yīng)力的計算方法是可靠的。

4)本文所建立的橢圓式螺旋彈簧的剛度及任意角度位置處的復(fù)合切應(yīng)力計算方法，經(jīng)仿真驗證是準(zhǔn)確可靠的，可為橢圓式螺旋彈簧后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計及應(yīng)用提供一定的理論參考。