賈豐鳴 梅教旭 王瑞峰 程剛 劉錕 高曉明

1) (中國科學院合肥物質(zhì)科學研究院,安徽光學精密機械研究所,合肥 230031)

2) (中國科學技術(shù)大學,合肥 230026)

3) (安徽理工大學,深部煤礦采動響應與災害防控國家重點實驗室,淮南 232001)

法拉第磁旋轉(zhuǎn)光譜(Faraday rotation spectroscopy,FRS)技術(shù)因其高靈敏度,零背景噪聲,以及能有效避免抗磁性物質(zhì)干擾的特性廣泛應用于各類順磁性痕量氣體的探測.目前大部分FRS 技術(shù)采用線圈構(gòu)造電磁場,存在能耗高、發(fā)熱多等問題.為此,開展了基于組合環(huán)形永磁體的空間磁場分布建模仿真研究,意在建立軸向分布的磁場,為測量FRS 提供基于永磁體的沿光軸方向的勻強磁場.仿真采用有限元網(wǎng)格剖分的方法,基于麥克斯韋方程組,開展組合磁環(huán)的磁場分布仿真研究,并通過實驗測量實際釹鐵硼永磁體磁環(huán)陣列的磁場分布,證明了建立物理模型的可靠性.在此基礎上提出了對永磁體磁環(huán)陣列的3 種優(yōu)化方案—單理想值優(yōu)化、多段式單理想值優(yōu)化和梯度優(yōu)化方案,來構(gòu)造中心軸線磁感應強度分布均勻的勻強磁場.最后通過引入磁場均勻度,計算評估并分析比較了不同優(yōu)化方案的優(yōu)化效果,為研發(fā)基于永磁體的FRS 光譜設備提供參考.

1 引言

法拉第磁旋轉(zhuǎn)光譜(Faraday rotation spectroscopy,FRS)是以分子吸收線在磁場的作用下發(fā)生Zeeman 效應,從而引起磁致雙折射效應為基本原理[1,2],基本原理圖如圖1 所示.激光通過起偏器變成線偏振光并通過軸向磁場,當在沿光軸的磁場中存在順磁性分子時,分子的能級由于Zeeman 效應而對稱地分裂為多個Zeeman 子能級.其中滿足?MJ=+1和 ?MJ=?1 的躍遷選擇定則的能級分別吸收右旋圓偏振光和左旋圓偏振光,由于不同旋向的圓偏振光在介質(zhì)中的折射率不同,從而產(chǎn)生磁致雙折射效應.線偏振光是右旋圓偏振光和左旋圓偏振光的疊加態(tài),所以線偏振光在沿光軸的磁場中通過一段距離為L的順磁性分子樣品池時,由于磁致雙折射效應,它的偏振面將產(chǎn)生角度為φ的偏轉(zhuǎn).在樣品腔后放置檢偏器,通過光電探測器可探測因磁致雙折射效應而發(fā)生偏振面偏轉(zhuǎn)的透射光強,其強度與樣品濃度成正比關(guān)系,通過標定可實現(xiàn)文獻樣品[3?濃5度].的檢測分析.詳細的FRS 理論可參考

圖1 FRS 原理示意圖Fig.1.Schematic diagram of FRS.

相對于傳統(tǒng)的吸收光譜,FRS 因其對光的偏振態(tài)敏感,故對順磁性分子具有更高的靈敏度和選擇性,可以有效降低光源噪聲,而且不受非順磁性分子的干擾,尤其是不受H2O 和CO2分子的干擾,這大大提高了FRS 探測大氣順磁性分子的選擇性[1],可廣泛用于多種順磁性痕量氣體的探測,如NO[6?15],NO2[1,16,17],O2[18,19]和OH 自由基[20]等.

目前大部分FRS 技術(shù)采用線圈電磁方式進行.例如,Smith 等[16]報道了FRS 高靈敏度探測NO,其通過給線圈提供3.5 A 的電流,產(chǎn)生了110 G(1 G=1×10–4T)的磁場,探測靈敏度達到了4×10–9(體積比,后文無特殊說明均指體積比),并應用于2008 年的北京奧運會;Zaugg 等[17]采用FRS實現(xiàn)了NO2的高靈敏度探測,采用7 A,832 Hz 的交流電,產(chǎn)生了230 G 的軸向磁場,達到了1×10–9的探測靈敏度.在文獻[1]中為產(chǎn)生200 G 的軸向勻強磁場,工作電流為5 A 的交流電,對NO2的探測靈敏度達到2.5×10–9.這種正弦交流電產(chǎn)生磁場的方法存在能耗高和發(fā)熱多的局限性.為此,趙衛(wèi)雄等[20]開展了基于超導線圈的FRS 技術(shù)研究,采用由NbTi 超導材料制成的線圈,用循環(huán)低溫冷卻器和He 將線圈冷卻至5 K 以下,以達到超導狀態(tài),通電電流12 A,產(chǎn)生的磁場磁感應強度為215 G.這種采用超導電磁的FRS 克服了線圈發(fā)熱的問題,能夠產(chǎn)生較高的磁場,但涉及超導的液氦制冷,僅適用于實驗室的分析研究,基于目前的超導技術(shù)水平,對發(fā)展便攜式的FRS 設備有一定的局限.針對線圈電磁的問題,2012 年,Brumfield 等[18]開展了基于永久磁鐵的FRS 探測O2的研究,其采用由20 個圓柱狀稀土磁體組成的八極磁體排列結(jié)構(gòu),構(gòu)造了在110 mm 長度內(nèi)磁感應強度為554 ±64 G 的磁場,最終實現(xiàn)了1.3×10–9的靈敏度.

從以上文獻分析可知,目前大部分FRS 以正弦調(diào)制的線圈電磁的方式實現(xiàn),雖然少量開展了基于永磁體磁場的FRS 實驗,但對永磁體磁場的優(yōu)化設計方面開展討論和研究的還比較少見.FRS的核心組件之一就是磁場,而磁場的強度、均勻性和有效長度很大程度上會影響FRS 系統(tǒng)的性能和檢測靈敏度.因此,探索研究永久磁場的構(gòu)建具有重要的理論研究意義和應用價值.為此開展了基于環(huán)形永磁體陣列構(gòu)建適用于FRS 的仿真優(yōu)化研究,以便通過永磁替代電磁,降低能耗,提升磁感應強度.論文研究對發(fā)展低能耗、高性能的FRS 儀器具有重要的參考價值.本論文提出的仿真優(yōu)化方法,也可通過適當?shù)恼{(diào)整應用于其他需要勻強磁場的應用中,如激光陀螺中法拉第云室的構(gòu)建[21],微波電子器械中的磁路設計等.

2 磁場設計理論依據(jù)

為了說明磁場磁感應強度和有效長度對FRS探測信號的影響,以及構(gòu)造適用于FRS 裝置的均勻強磁場,首先對FRS 基本的理論做簡要介紹.

入射的線偏振光通過磁場中的氣體分子后,偏振面會旋轉(zhuǎn)一個角度φ,稱為Faraday 旋轉(zhuǎn)角,可表達為[8]

式中,n±分別是右旋圓偏振光(+)和左旋圓偏振光(–)的折射率,const(n+?n?) 的大小和順磁性分子的濃度成正比,B是外磁場的磁感應強度,L是入射線偏振光和磁場中氣體分子相互作用的程長.對于氣體分子,該旋轉(zhuǎn)角非常微小,為了使該旋轉(zhuǎn)角可測量,故適當增加磁場的磁感應強度和長度來增大Faraday 旋轉(zhuǎn)角,從而探測到FRS 的信號.同時,從檢偏器探測到的FRS 的出射信號強度I可表達為[8]

其中,I0為入射光強度,d為兩個正交偏振片的消光比(最大為 10?5),Φ為兩個偏振片偏振軸之間的夾角.由(2)式可知,Faraday 旋轉(zhuǎn)角的大小對最終探測到的FRS 的信號強度有重要影響.

對于FRS 的性能而言,磁場強度和分布的長度是提升FRS 性能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一,因此開展磁場構(gòu)建的研究對FRS 至關(guān)重要.論文以磁環(huán)的物理模型為基礎,提出單理想值優(yōu)化、多段式單理想值優(yōu)化以及梯度優(yōu)化的永磁體磁環(huán)陣列優(yōu)化方案,并運用計算機仿真建模手段分析各類方案的磁場特性.

3 磁環(huán)物理模型建立

根據(jù)第2 節(jié)理論可知,構(gòu)建不同強度和長度的勻強磁場將獲得不同的信號效果.為此本文采用多個永磁體磁環(huán)組合的方式,通過優(yōu)化磁環(huán)的排列間距和磁環(huán)的磁化參數(shù),來實現(xiàn)滿足FRS 測量的磁環(huán)陣列的優(yōu)化方案,為FRS 的磁場構(gòu)造提供參考.

首先,構(gòu)建正確的磁環(huán)物理模型.對實驗室現(xiàn)有的磁環(huán)封裝進行測量,該封裝由5 個型號為N52的釹鐵硼磁環(huán)組成,相鄰磁環(huán)以7.70 mm 的間距隔開,磁環(huán)的內(nèi)徑為60 mm,外徑為100 mm,高度為25 mm,剩磁1.42 T,矯頑力Hcb=828—907 kA/m,內(nèi)稟矯頑力Hcj≥ 876 kA/m,最大磁能積 (BH)max=394—414 kJ/m3,工作溫度≤ 70 ℃(寧波磁性材料廠出廠數(shù)據(jù)提供).將磁環(huán)組放置在無磁性的實驗平臺上,將高斯計的探頭固定于滑軌上,通過探頭在滑軌上滑動的方式測量磁環(huán)組中心軸線的磁感應強度分布,每隔5 mm 讀取高斯計測量值,所得中心軸線的磁感應強度分布如圖2 所示.

圖2 實驗測量結(jié)果Fig.2.Measurement result of experiment.

接下來對該封裝的磁環(huán)進行仿真建模.用于磁環(huán)物理模型構(gòu)建的磁化模型有很多種,如相對磁導率,磁損耗,B-H曲線,等效B-H曲線,剩余磁通密度,非線性永磁體等.考慮到廠家提供的參數(shù)和釹鐵硼材料的屬性,采用剩余磁通密度Br作為永磁體磁環(huán)的磁化模型,基于Br建立永磁體磁環(huán)空間磁場B-H的本構(gòu)關(guān)系,其中B為磁感應強度,也稱磁通密度,H為磁場強度,且兩者滿足

式中μrec為回復磁導率,μ0為空氣磁導率;Br=為剩余磁通密度模,由材料屬性決定;e是剩余磁通密度的方向矢量,取e=(0,0,?1).結(jié)合?×H=J,B=?×A,J=σE可以得到永磁體等效的電流密度,用磁通密度z分量表征磁體軸向磁場的空間分布特征.

因釹鐵硼永磁體的典型回復磁導率μrec=1.05,與空氣的相對磁導率μair=1.00 接近,故多磁環(huán)組的磁場分布可視為多個單磁環(huán)的磁場的線性疊加[22].采用二維建模對磁環(huán)組進行仿真分析,在旋轉(zhuǎn)軸右側(cè)距離旋轉(zhuǎn)軸30 mm 的位置構(gòu)建寬20 mm,高25 mm 的小矩形,該小矩形代表磁環(huán)軸向截面的二分之一.將矩形沿z軸方向陣列,位移為32.5 mm(矩形高度25.0 mm+間隔7.7 mm),最終得到等間距排列的5 個小矩形(第4 節(jié)對該對稱模型有詳細敘述).以旋轉(zhuǎn)軸為一條邊,構(gòu)建一個寬為 200 mm,長為600 mm 的大矩形作為磁環(huán)所處的空間,并在該矩形的頂部、底部和右側(cè)設置厚度為20 mm 的邊界層,并定義該邊界層為無限元域,其構(gòu)建可保證磁環(huán)在大矩形空間中的磁場分布不會因為邊界限制受到影響;采用內(nèi)置的空氣材料對整體(小矩形和大矩形)進行填充;對代表磁環(huán)的小矩形,采用安培定律和B-H本構(gòu)關(guān)系對小矩形進行磁化,為保證所得磁環(huán)中心軸線磁感應強度是正值,以z軸負方向為磁化方向.設置磁環(huán)的初始磁通密度為1.42 T (基于廠家提供的Br=1.42 T),仿真過程中發(fā)現(xiàn)測量結(jié)果與仿真結(jié)果存在偏置,調(diào)整Br=0.9 T 時,兩者吻合最好,最終確定建立模型∥Br∥=0.9 T .偏置的原因是永磁體的磁路中有空隙,因此永磁體的實際工作點在退磁場的作用下由Br點移至退磁曲線上的某點,使永磁體的剩磁不再是Br[23],故仿真所用的Br需進行適當調(diào)節(jié).基于有限元求解方法的流程,對模型進行自由網(wǎng)格剖分,得到的三角形網(wǎng)格單元數(shù)為635,四邊形單元網(wǎng)格數(shù)為260,共計628 個網(wǎng)格頂點,34 個頂點單元且最小單元質(zhì)量為0.63020,平均單元質(zhì)量為0.89710,單元面積比為0.02374;對計算結(jié)果進一步整理,采用二維旋轉(zhuǎn)得到三維空間的磁感應強度分布結(jié)果,通過設置磁環(huán)軸向截面觀察磁場分布狀況,組合永磁體磁環(huán)的磁感應強度分布截面圖如圖3 所示.圖3(a)中箭頭方向表示磁感應強度方向,圖3(b)中的流線代表磁力線.

圖3 永磁體磁環(huán)陣列仿真效果圖 (a) 磁感應強度分布特征箭頭圖;(b) 磁感線分布特征流線圖Fig.3.Modeling magnetic induction of array-ring permanent magnets:(a) Arrow distribution of magnetic induction intensity;(b) streamline diagram of magnetic induction.

為與實驗測量結(jié)果保持相同的精度,設置的域點探針也每間隔5 mm 提取中心軸線的磁感應強度z分量,導出域點探針的數(shù)值,磁環(huán)中心軸線磁感應強度和實驗測量結(jié)果的比較如圖4(a)所示,誤差棒表示實驗值和測量值之差,即測量值的誤差.磁環(huán)陣列總長156.4 mm,取磁環(huán)陣列中間點z1=78.20 mm(掃描路徑1)和第二個間隔中間點z2=61.64 mm(掃描路徑2)處的徑向磁場磁感應強度分布繪制成圖4(b).可以看出,兩條曲線都沿中心呈對稱分布,差別在于磁環(huán)體的徑向磁感應強度分布呈中間低兩側(cè)高的趨勢,但間隔處的徑向磁感應強度分布呈中間高兩側(cè)低的趨勢,兩個圖線的變化呈相反的趨勢.這種差異是因為磁環(huán)體內(nèi)的磁場遠大于它所處空間的磁場的磁感應強度.

圖4 五個磁環(huán)的實驗與仿真結(jié)果 (a) 實驗與仿真結(jié)果對比圖;(b) 磁環(huán)體內(nèi)部(z1=78.20 mm)和間隔(z2=61.64 mm)處的徑向磁感應強度分布圖Fig.4.Measurement and simulation results of five magnetic rings:(a) Comparison of experimental and simulation results;(b) radial magnetic induction intensity distribution inside the ring (z1=78.20 mm) of the group and gap (z2=61.64 mm).

圖4(a)為磁環(huán)中心軸向磁場磁感應強度z分量的理論仿真和實驗測量結(jié)果,兩者相關(guān)性為0.838.偏差主要有以下原因:1) 實際磁環(huán)的尺寸(內(nèi)外徑,高度)與仿真模型有誤差;2) 無法保證實際磁環(huán)的剩余磁化參數(shù)(Br)處處均勻;3) 磁環(huán)的排列間距并非完全相等,使得實際測量的磁環(huán)間隔處的空間磁場分布與仿真有一定的誤差;4) 滑軌上探頭位置的測量和讀取誤差也需考慮在內(nèi).考慮到這些誤差因素,結(jié)合實驗測量與仿真結(jié)果的相對誤差,可以認為所建物理模型是可靠的,可用于磁環(huán)組的磁場分布優(yōu)化研究.

4 優(yōu)化方案

為了最大程度地減少求解模型所需的計算資源和時間,提高運算效率,對磁環(huán)組的解析建模過程進行了優(yōu)化.研究過程中利用永磁體磁環(huán)的對稱性質(zhì)對模型進行簡化.采用二維軸對稱構(gòu)圖對多個磁環(huán)組成的磁環(huán)陣列進行建模,將對稱邊界定義為理想磁導體邊界,該邊界條件代表等效電流的鏡像對稱平面.因磁場方向和電場方向垂直,磁場垂直穿過理想磁導體邊界,而電場則與理想磁導體邊界平行.在對稱平面的另一側(cè),等效電流將被精確鏡像,即等效電流仍沿切向流動,且方向不發(fā)生變化,也不會出現(xiàn)法向分量.故永磁體的磁場可由等效電流的分布情況根據(jù)本構(gòu)關(guān)系計算得出.且磁環(huán)磁場具有空間分布的對稱性,圓環(huán)具有旋轉(zhuǎn)對稱性,故采用二維軸對稱模型對永磁體磁環(huán)組進行建模.模型建立過程如圖5 所示.基于磁環(huán)組的二維軸對稱模型,采用有限元方法對磁環(huán)組的排列間距和所需磁環(huán)個數(shù)進行仿真計算.

經(jīng)過比較分析,采用內(nèi)徑180 mm,外徑220 mm,高度25 mm 的磁環(huán)進行三種優(yōu)化方案的比較.在旋轉(zhuǎn)軸右側(cè)距離旋轉(zhuǎn)軸90 mm 的位置構(gòu)建寬20 mm,高25 mm 的矩形,小矩形代表磁環(huán)軸向截面的1/2.在旋轉(zhuǎn)軸右側(cè)距離旋轉(zhuǎn)軸70 mm的位置構(gòu)建寬60 mm,高27 mm 的矩形,作為磁環(huán)優(yōu)化的移動變形區(qū)域1.將上述兩矩形沿z軸方向陣列,位移為S0=45 mm (矩形高度25 mm+初始間距20 mm)最終得到等間距排列的6 個嵌套的矩形.在旋轉(zhuǎn)軸右側(cè)距離旋轉(zhuǎn)軸86.5 mm 的位置構(gòu)建寬27.0 mm,高350.0 mm 的矩形,作為變形區(qū)域2,并且使變形區(qū)域1 和2 的交叉部分為一個正方形且恰好嵌套著小矩形.在旋轉(zhuǎn)軸右側(cè)距離旋轉(zhuǎn)軸70 mm 的位置構(gòu)建寬60 mm,高350 mm的矩形,作為變形區(qū)域3,是整個磁環(huán)的優(yōu)化區(qū)域,包含變形區(qū)域1 和2,以及所有小矩形.以旋轉(zhuǎn)軸為半徑所在位置,構(gòu)建一個半徑為450 mm 的1/4 圓作為磁環(huán)所處的空間,并設置厚度為30 mm的邊界層,并定義該邊界層為無限元域.變形區(qū)域的劃分和網(wǎng)格剖分示意圖如圖6 所示.

圖6 有限元仿真區(qū)域網(wǎng)格剖分 (a) 變形區(qū)域的劃分;(b) 間距優(yōu)化網(wǎng)格剖分圖Fig.6.Deformation and meshing division of finite element simulation:(a) Division of deformation zone;(b) gradient optimization mesh division diagram.

用內(nèi)置的空氣材料對整體(6 個小矩形和1/4圓)進行填充;采用安培定律和B-H本構(gòu)關(guān)系對小矩形進行磁化,為保證所得磁環(huán)中心軸線磁感應強度是正值,以z軸負方向為磁化方向,剩余磁通密度模取值為0.9 T;截取旋轉(zhuǎn)軸上z=0 mm 到z=200 mm 的一條線段,作為優(yōu)化算法的積分目標.(4.1 節(jié)—4.3 節(jié)提到的三種優(yōu)化算法均基于SNOPT 非線性求解器進行優(yōu)化計算.三種優(yōu)化目標表達式后文將詳細敘述,且優(yōu)化目標是本論文討論的重點.)為避免優(yōu)化過程中出現(xiàn)磁環(huán)相交的情況,每個磁環(huán)可移動的距離的上下限需有邊界條件限制,磁環(huán)可移動范圍的邊界約束條件為

采用雙線插值法計算變形區(qū)域邊界的Laplace 方程的解[24],對于不同的建模區(qū)域以及復雜的邊界約束條件如固定區(qū)域、自由變形區(qū)域、指定變形區(qū)域、指定位移邊界、無位移邊界等,需要對邊界進行特殊的網(wǎng)格剖分.網(wǎng)格剖分圖如圖6(b)所示,其中三角形網(wǎng)格單元數(shù)為67141,四邊形網(wǎng)格單元數(shù)為2350,邊單元為5255,最小單元質(zhì)量為0.1886,平均單元質(zhì)量為0.842,單元面積比為2.036×10?6.共計有邊單元5255 個,頂點單元86 個,網(wǎng)格面積1589 cm2.下面基于以上網(wǎng)格剖分方案,進行三種優(yōu)化方案的研究和討論.

4.1 單理想值優(yōu)化

單理想值優(yōu)化方法,即將中心軸線的磁場磁感應強度的z分量Bz與目標值B0之間的差異最小化,并沿磁環(huán)中心從z=0 到z=L0進行積分.為使目標函數(shù)的值收斂,該目標值相對于L0是歸一化的:

其中L0為目標磁場的長度,此處取L0=20 cm ;B0為目標磁場磁感應強度的理想值,此處B0=0.024 T(240 G).

圖7 單目標值優(yōu)化中心軸向磁感應強度分布Fig.7.Single value optimization of central axial magnetic induction.

最終優(yōu)化結(jié)果如表1 所列(位移量為正,磁環(huán)上移;位移量為負,磁環(huán)下移),結(jié)合磁環(huán)的初始間隔,可計算出相對于對稱邊界,磁環(huán)的排列間距(見表2).

表1 單理想值優(yōu)化結(jié)果Table 1.Results of single-objective optimization.

表2 單理想值優(yōu)化磁環(huán)排列間隔Table 2.Magnetic rings gaps of single-objective optimization.

設置域點探針,用于提取中心軸線磁感應強度z分量的數(shù)值,每隔0.01 mm 讀取一次探針數(shù)值,繪制成中心軸向磁感應強度分布圖(圖7),數(shù)據(jù)提取的掃描路徑如圖8 所示.與表2 參數(shù)相對應的,磁環(huán)組的間距排布見圖8.

圖8 磁環(huán)組分布情況Fig.8.Distribution of magnetic ring arrangements.

4.2 多段式單理想值優(yōu)化

基于對單理想值優(yōu)化方案的討論,發(fā)現(xiàn)目標磁場的優(yōu)化結(jié)果仍有較大的不均勻分布,為了減小這種不均勻程度,采用多個理想值,對目標磁場區(qū)域分段優(yōu)化,稱為多段式單理想值優(yōu)化方案.在多段式單理想值優(yōu)化分析中,對磁環(huán)中心均勻分布的5 個點進行理想值約束,其中受約束的點依次為z=0,5,10,15,20 cm.即采用多段式單理想值將磁場軸向分量與各理想值之間的差異最小化,將Bz沿磁環(huán)中心從1,2,3,4)進行積分.為了使函數(shù)目標值收斂,目標相對于是歸一化的,且滿足

表3 多段式單理想值優(yōu)化結(jié)果Table 3.Results of multi-part single objective optimization.

設置域點探針,用于提取中心軸線磁感應強度z分量的數(shù)值,為保證和單理想值優(yōu)化結(jié)果的精度相同,依然每隔0.01 mm 讀取一次探針數(shù)值,繪制成如圖9 所示的中心軸向磁感應強度分布圖.

圖9 多段式單理想值優(yōu)化中心軸向磁感應強度分布Fig.9.Multi-part single objective optimization of central axial magnetic induction.

為比較兩種優(yōu)化方案,用200 mm 目標磁場磁感應強度的方差衡量磁場均勻程度,稱為磁場均勻度參數(shù)ζ,每間隔0.01 mm 取磁感應強度數(shù)值,共取20000 個中心軸線處的磁感應強度z分量值Bz_n,用于計算中心軸線磁場均勻度,其表達式為

式中,Bave為由20000 個中心軸線磁感應強度計算出來的平均值.對于單理想值優(yōu)化,磁場均勻度ζ=23.2359;多段式ζ=12.7926 .此結(jié)果表明,相比于單理想值優(yōu)化的磁場均勻度,多段式提高了44.9%,說明多段式單理想值磁場優(yōu)化效果相比于單理想值優(yōu)化效果好,但是該磁場均勻度仍不足以滿足均勻磁場的要求.

4.3 梯度優(yōu)化

針對前面單理想值優(yōu)化、多段式單理想值優(yōu)化構(gòu)造的磁場均勻度有限的問題,結(jié)合多段式單理想值優(yōu)化的優(yōu)化方案能顯著提升磁場均勻度的特點,對優(yōu)化方法進行了進一步的改進,提出了梯度優(yōu)化方法,即基于對磁場中心軸線方向的磁感應強度梯度進行二次積分作為優(yōu)化目標,并進行歸一化處理,研究討論該情況下的局部最優(yōu)解,

其中L0=20 cm,B0為目標磁場磁感應強度的理想值,此處定義B0=0.024 T,Bz為軸向磁場的z分量.考慮最小化沿優(yōu)化區(qū)域的磁場梯度,在需要構(gòu)造的勻強磁場的中心點對場進行約束.優(yōu)化方程通過取軸向磁感應強度的z分量,并計算z方向梯度的平方值,之后將所得表達式對磁場長度進行積分,并用L0B0對前式進行歸一化運算,這一過程可表示為(8)式.

表5 梯度優(yōu)化結(jié)果Table 5.Results of gradient optimization.

設置域點探針,用于提取中心軸線磁感應強度z分量的數(shù)值,每隔0.01 mm 讀取一次探針數(shù)值,繪制成如圖10 所示的中心軸向磁感應強度分布圖.

圖10 梯度優(yōu)化中心軸向磁通密度分布Fig.10.Gradient optimization center axial magnetic flux density distribution.

為方便對以上三種方案的優(yōu)化結(jié)果進行比較,均采用(7)式計算三種優(yōu)化結(jié)果的磁場均勻度,最終結(jié)果見表7.

表7 三種優(yōu)化方案的磁場均勻度結(jié)果比較Table 7.Comparison of magnetic field uniformity of three optimization method.

相比于均勻纏繞的螺線管產(chǎn)生的均勻磁場,想要用永磁體磁環(huán)產(chǎn)生勻強磁場,需將磁環(huán)陣列進行不等間距的排列.這樣的排列方式是由磁環(huán)本身的空間磁場分布特性決定的.單個磁環(huán)中心軸線上的磁場分布并非處處相同,且對于不同規(guī)格尺寸的磁環(huán),尤其是磁環(huán)軸向長度的取值,會使中心軸線上的磁場呈現(xiàn)一定程度的不均勻性.這個特點和永磁體退磁場的不均勻性質(zhì)相關(guān).

等間距排列的磁環(huán)中心軸線的磁場分布顯示(見圖2),磁環(huán)陣列的中心區(qū)域出現(xiàn)了大幅衰減.磁環(huán)實際的空間磁場分布情況與磁化場和磁體本身的退磁場兩部分相關(guān),且退磁場的方向與外加磁化場方向相反.永磁體的實際工作點將從剩磁點移動到磁滯回線的第二象限,即退磁曲線上的某一點.因此永磁體的空間磁場分布應采用退磁曲線上的物理量來描述.退磁場的強度Hd與磁體的幾何形狀和磁極的強度M有關(guān),且滿足關(guān)系Hd=?αM,其中α稱為退磁因子,僅與材料的形狀有關(guān),且與磁化方向的軸長度成反比.如對于沿長軸方向磁化的細長樣品,α接近于0,但是對于短而粗的樣品,α可以很大.僅少數(shù)幾何形狀的樣品能計算退磁因子,比如橢球體,球體,細長圓柱體等.對于環(huán)狀物體的退磁因子,還無法準確數(shù)值計算[23].由此,磁環(huán)的實際空間磁場分布大多由仿真或?qū)嶋H測量來表述.論文旨在給出適用于磁環(huán)優(yōu)化的一般性解決方案,但對于不同永磁材料和規(guī)格的環(huán)形永磁體,還需根據(jù)實際情況進行優(yōu)化方案的選取和參數(shù)的調(diào)節(jié).

5 結(jié)論

構(gòu)建了正確模擬永磁體磁環(huán)空間磁場分布的物理模型,首先利用微位移平臺測量了實驗室5 個磁環(huán)樣品中心軸線上的磁感應強度的分布,并對5 個釹鐵硼磁環(huán)組進行仿真建模,實驗測量與仿真結(jié)果相關(guān)性較強,證明了基礎物理模型的構(gòu)造正確;基于間距調(diào)整的有限元網(wǎng)格剖分方案,采用三種優(yōu)化方案構(gòu)建了三類優(yōu)化模型:單理想值優(yōu)化方案,多段式單理想值優(yōu)化方案,梯度優(yōu)化方案.由于以上方案返回的結(jié)果均為局部最優(yōu)解,故在優(yōu)化參量相同的情況下,所得結(jié)果也不盡相同.單理想值優(yōu)化方案基于磁場軸向分量與理想值之間的差異最小化為原則,對中心點處的磁通密度值進行約束.為進一步探索理想值優(yōu)化的局部最優(yōu)結(jié)果,提出多段式單理想值優(yōu)化方案,采用多個理想值,分別對總目標磁場的不同區(qū)域磁場進行理想值優(yōu)化,所得優(yōu)化方程的目標值優(yōu)于單理想值方案,即此種方案的優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于單理想值優(yōu)化結(jié)果.基于以上分析研究,將優(yōu)化區(qū)域無限細分,即做微元處理后再積分,提出梯度優(yōu)化方案.該方案的優(yōu)化結(jié)果比其他兩種方案低3 個數(shù)量級,說明優(yōu)化的磁場均勻性明顯高于另外兩種方案.根據(jù)本論文的仿真分析,發(fā)現(xiàn)在磁環(huán)高度和內(nèi)外徑差保持不變的情況下,同時大幅度增加磁環(huán)的內(nèi)外半徑,更有利于構(gòu)建均勻強磁場.論文為FRS 光學諧振腔采用永磁體磁環(huán)陣列構(gòu)造均勻強磁場的設計方案提供了參考和借鑒.從而替代電磁方式,構(gòu)造出能夠長時、穩(wěn)定工作的無能耗磁場,可以為發(fā)展FRS 檢測技術(shù)和應用研究提供參考.