熊志遠(yuǎn)，宋瑞祥，趙 娜，趙 陽(yáng)

（北京市勞動(dòng)保護(hù)科學(xué)研究所，北京100054）

1 引言

彈簧按形狀可分為碟形彈簧、環(huán)形彈簧、扭桿彈簧以及圓柱螺旋彈簧等，其中圓柱螺旋彈簧是應(yīng)用最為廣泛的一類彈簧。圓柱螺旋彈簧可用于緩沖減振，例如：安裝在車身和車輪之間的懸架螺旋彈簧；安裝在水泵、風(fēng)機(jī)等動(dòng)力設(shè)備與基礎(chǔ)之間的隔振彈簧。它還可用于控制機(jī)械運(yùn)動(dòng)，如內(nèi)燃機(jī)中的閥門彈簧、離合器中的控制彈簧以及凸輪機(jī)構(gòu)的壓緊彈簧。圓柱螺旋彈簧也可用于測(cè)量力的大小，如彈簧秤或彈簧測(cè)力計(jì)中的彈簧。

圓柱螺旋彈簧是汽車懸架的重要組成部分，其輕量化能促進(jìn)汽車整備質(zhì)量的降低，有利于提高汽車動(dòng)力性能、減少燃料消耗、降低排氣污染。輕量化的隔振彈簧，能夠給裝卸、運(yùn)輸?shù)葞?lái)便利。便攜式彈簧秤輕量化后，更便于人們輕松攜帶。

文獻(xiàn)[1]基于基因遺傳算法，對(duì)一內(nèi)燃機(jī)用氣門圓柱螺旋彈簧進(jìn)行模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果彈簧減重29.7%。文獻(xiàn)[2]應(yīng)用混合遺傳模擬退火算法對(duì)某采油樹閥門執(zhí)行機(jī)構(gòu)內(nèi)部一圓柱螺旋彈簧進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化結(jié)果與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)法相比，彈簧減重17.50%。文獻(xiàn)[3]運(yùn)用Matlab對(duì)管道機(jī)器人中的圓柱螺旋彈簧進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果彈簧減重10%。文獻(xiàn)[4]分別運(yùn)用傳統(tǒng)彈簧設(shè)計(jì)方法和Matlab方法對(duì)某電子設(shè)備使用的圓柱螺旋彈簧進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算和優(yōu)化，結(jié)果表明：傳統(tǒng)方法及Matlab方法所設(shè)計(jì)的彈簧體積分別為22.8mm3與16.6mm3。

對(duì)圓柱螺旋彈簧進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)除了上述結(jié)構(gòu)優(yōu)化外，還有運(yùn)用新材料。文獻(xiàn)[5]將樹脂傳遞模塑技術(shù)和紡織技術(shù)相結(jié)合制備出復(fù)合材料圓柱螺旋彈簧，并導(dǎo)出了彈性常數(shù)。文獻(xiàn)[6]利用玻璃纖維與環(huán)氧樹脂制備了復(fù)合材料圓柱螺旋彈簧，探討了彈簧的加工工藝及結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其彎曲回彈力、回復(fù)率和拉伸性能等的影響。文獻(xiàn)[7]研究了任意形狀的復(fù)合材料螺旋彈簧的動(dòng)態(tài)行為。文獻(xiàn)[8-9]分別基于多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件，對(duì)復(fù)合材料螺旋彈簧的最小質(zhì)量與最大剛度進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[10-11]對(duì)碳纖維復(fù)合材料圓柱螺旋彈簧的剛、強(qiáng)度性能進(jìn)行了理論預(yù)測(cè)與仿真研究。文獻(xiàn)[12]對(duì)車用復(fù)合材料螺旋彈簧進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后的復(fù)合材料彈簧比金屬?gòu)椈少|(zhì)量減輕了34.4%。

圓柱螺旋彈簧輕量化設(shè)計(jì)不同于現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，它探討了空心簧絲圓柱螺旋彈簧的剛、強(qiáng)度性能與重量之間的變化關(guān)系，探究一種新的圓柱螺旋彈簧輕量化設(shè)計(jì)方法，以期給已有的各種設(shè)計(jì)方法提供補(bǔ)充參考。

2 空心簧絲圓柱螺旋彈簧的剛強(qiáng)度

空心簧絲圓柱螺旋彈簧在P力作用下進(jìn)行壓縮的示意圖，如圖1所示。與該彈簧對(duì)應(yīng)的相關(guān)參數(shù)，如表1所示。空心簧絲的內(nèi)、外徑分別用di、d o表示，下標(biāo)“i”與“o”分別為英文“inside”與“outside”的第一個(gè)字母。實(shí)心簧絲圓柱螺旋彈簧受到一定壓力時(shí)的最大剪應(yīng)力及剛度均有經(jīng)典的理論分析[13]，將對(duì)空心簧絲圓柱螺旋彈簧受壓時(shí)的最大剪應(yīng)力及剛度進(jìn)行理論推導(dǎo)。

圖1 空心簧絲彈簧示意圖Fig.1 Diagram of Spring with Hollow Spring Wire

表1 空心簧絲彈簧的相關(guān)參數(shù)Tab.1 Relevant Parameters of Spring with Hollow Spring Wire

當(dāng)α<5o時(shí)，便可忽略α的影響，近似認(rèn)為簧絲橫截面與彈簧軸線在同一平面內(nèi)，據(jù)此截取彈簧上部分，如圖2所示。為保持該部分平衡，簧絲橫截面上應(yīng)有一個(gè)剪力Q和一個(gè)力偶矩T，且Q=P，T=P D∕2。

圖2 基于簧絲任意橫截面截取的彈簧上部分Fig.2 Based on the Arbitrary Cross Section of Spring Wire the Upper Part of the Spring to be Cut Out

與Q對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)力τ1，認(rèn)為在簧絲橫截面上均勻分布，如圖3（a），其表達(dá)式為：

表1中，簧絲外徑do與簧圈平均直徑D之比為0.1，故可略去簧絲曲率的影響，近似用受扭的空心直桿公式表示τ2，其表達(dá)式為[13]

式中：r—簧絲橫截面上應(yīng)力所在點(diǎn)到圓心的距離，如圖3（b）所示。

圖3中，最大合應(yīng)力位于簧絲截面最左邊緣處，將r=do∕2代入式（2）后，并與式（1）相加，可得

圖3 橫截面上的剪應(yīng)力Fig.3 Shear Stress on Cross Section

右邊括號(hào)內(nèi)的1與剪力Q對(duì)應(yīng)與純扭對(duì)應(yīng)。將表1中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入，計(jì)算結(jié)果為13.85，1與之相比可省略，式（3）簡(jiǎn)化為：

載荷P對(duì)彈簧所做的功W為：

基于式（2）和圖3（b）作圖，如圖4所示。圖4是橫截面上距圓心為r的點(diǎn)處的剪應(yīng)力τ2。單位體積變形能u可表示為：

圖4 距圓心為r的點(diǎn)處的剪應(yīng)力τ2Fig.4 Shear Stressτ2 at the Point That is r Away From the Center of the Circle

整個(gè)彈簧儲(chǔ)存的變形能U為：

式中：rdrdθ—截面上的微分面積；ds—沿簧絲軸線的微分長(zhǎng)度。

將式（2）代入式（6），再將式（6）代入式（7），計(jì)算結(jié)果為：

載荷P對(duì)彈簧所做的功W應(yīng)等于彈簧所儲(chǔ)存的變形能U，由式（5）等于式（8），可得彈簧剛度表達(dá)式為：

3 圓柱螺旋彈簧性能與重量變化關(guān)系

3.1 剛度性能與重量變化關(guān)系

3.1.1 僅簧絲內(nèi)徑di變化時(shí)的情況

將表1中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（9），其中只允許簧絲內(nèi)徑di變化，作出彈簧剛度K與簧絲內(nèi)徑di的關(guān)系曲線，如圖5所示。

圖5 彈簧剛度K與簧絲內(nèi)徑di的變化關(guān)系Fig.5 Relationship Between the Stiffness of Spring K and the Inside Diameter of Spring Wire di

關(guān)系曲線表明：隨著簧絲內(nèi)徑增加，彈簧剛度下降，即：在簧絲外徑（12mm）等其他參數(shù)不變的情況下，隨著空心簧絲壁厚越來(lái)越薄，彈簧的剛度也是越來(lái)越低的，但是在曲線的不同區(qū)域，彈簧剛度的降低程度是不一樣的。將簧絲內(nèi)徑di=0mm及表1中的其他相關(guān)參數(shù)代入式（9），可得實(shí)心簧絲彈簧的剛度為24600N∕m，與圖5中曲線與縱軸的交點(diǎn)位置相符。設(shè)定彈簧剛度下降率為5%，對(duì)應(yīng)的空心簧絲彈簧的剛度為23370N∕m。將表1中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（9），并令其等于23370N∕m，可計(jì)算出簧絲內(nèi)徑di=5.67mm，見圖5中直線。將該位置點(diǎn)定為減重設(shè)計(jì)最佳點(diǎn)，即認(rèn)為該點(diǎn)是剛度下降盡量小、重量下降盡量多的平衡點(diǎn)。

空心簧絲圓柱螺旋彈簧的重量計(jì)算式為：

式中：g—重力加速度，取9.8m∕s2。將do=12mm、di=0mm及表1中相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（10）后，計(jì)算得實(shí)心簧絲彈簧重為16.38N。同樣，將do=12mm、di=5.67mm及表1中相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（10）后，計(jì)算得空心簧絲彈簧重為12.73N?？招幕山z相比于實(shí)心簧絲彈簧，重量下降22.28%?？梢?，剛度損失5%，減重卻可達(dá)22.28%。

3.1.2 僅簧絲外徑do變化時(shí)的情況

模擬法人實(shí)體運(yùn)行機(jī)制是指以效益為中心，以成本為主線，將市場(chǎng)機(jī)制引入企業(yè)內(nèi)部，實(shí)現(xiàn)實(shí)業(yè)部、工序等主體的獨(dú)立核算、自主經(jīng)營(yíng)、自負(fù)盈虧。接受營(yíng)業(yè)收入、利潤(rùn)、成本、資金占用等指標(biāo)，以及安全、質(zhì)量、環(huán)保等指標(biāo)的考核，經(jīng)營(yíng)成果與工資總額掛鉤，做到績(jī)效與監(jiān)督同步、激勵(lì)與制約并重。以建立壓力層層傳遞、指標(biāo)層層分解、責(zé)任層層落實(shí)、績(jī)效層層考核、活力層層激發(fā)的新機(jī)制，充分調(diào)動(dòng)企業(yè)內(nèi)部方方面面的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性。

將表1中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（9），其中只允許簧絲外徑do變化，作出彈簧剛度K與簧絲外徑do的關(guān)系曲線，如圖6所示。關(guān)系曲線稍微向右下方凸出，而且隨著簧絲外徑do的增加，彈簧剛度K的增加量愈來(lái)愈顯著。

圖6 彈簧剛度K與簧絲外徑do的變化關(guān)系Fig.6 Relationship Between the Stiffness of Spring K and the Outside Diameter of Spring Wire do

3.1.3 簧絲內(nèi)、外徑d i、d o同時(shí)變化的情況

將表1中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（9），其中允許簧絲內(nèi)、外徑d i、do變化，作出彈簧剛度K與簧絲內(nèi)、外徑d i、do的關(guān)系曲面，如圖7所示。圖7中的上、下兩圖是針對(duì)同一曲面的不同角度投影。

圖7 彈簧剛度K與簧絲內(nèi)、外徑d i、do的變化關(guān)系Fig.7 Relationships Between the Stiffness of Spring K and the Inside，Outside Diameters of Spring Wire d i，do

圖7中，底面上兩垂直坐標(biāo)分別代表彈簧空心簧絲的內(nèi)徑di和外徑do，縱坐標(biāo)表示彈簧剛度。在正方形底面上，對(duì)角線do=di上的點(diǎn)代表空心簧絲的內(nèi)、外徑相等，該處彈簧不存在，剛度為零；在dodi的區(qū)域內(nèi)才呈現(xiàn)出曲面圖形。

從圖7中可以看到，假定簧絲的外徑do取定某一個(gè)具體的值時(shí)，彈簧剛度K隨內(nèi)徑di的增加，首先經(jīng)歷一個(gè)平緩下降區(qū)域，然后急劇下降。圖中①號(hào)曲線就是外徑do=12mm的平面與曲面相交的交線，即圖5所示的曲線。假定簧絲內(nèi)徑d i取定某一個(gè)具體值時(shí)，彈簧的剛度K將隨簧絲外徑do的增加而急劇增加。圖中②號(hào)曲線就是內(nèi)徑d i=8mm的平面與曲面相交的交線，即圖6所示的曲線。

當(dāng)簧絲外徑分別為4mm、8mm、16mm、20mm時(shí)，同樣可計(jì)算得相應(yīng)的簧絲內(nèi)徑與彈簧剛度，如表2所示。從而可在圖7中的曲面上得到曲線③。通過曲面上標(biāo)注的③號(hào)曲線，設(shè)計(jì)時(shí)既能夠通過增大或縮小簧絲外徑來(lái)快速提高或降低彈簧的剛度，又能夠通過選取適當(dāng)?shù)膬?nèi)徑來(lái)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品減重的目的。

表2 剛度下降5%時(shí)對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.2 Corresponding Design Parameters When Stiffness Decreases by 5%

3.2 強(qiáng)度性能與重量變化關(guān)系

同一載荷作用下，構(gòu)件最大應(yīng)力越大，強(qiáng)度越低；反之，強(qiáng)度越高。

3.2.1 僅簧絲內(nèi)徑di變化時(shí)的情況

將表1中相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（4），其中只允許簧絲內(nèi)徑di變化，作出最大剪應(yīng)力τmax與簧絲內(nèi)徑di的關(guān)系曲線，如圖8所示。

圖8 彈簧最大剪應(yīng)力τmax與簧絲內(nèi)徑di的變化關(guān)系Fig.8 Relationship Between the Maximum Shear Stress of Springτmax and the Inside Diameter of Spring Wire di

關(guān)系曲線表明：隨著簧絲內(nèi)徑的增加，最大剪應(yīng)力τmax也增加，但在曲線不同區(qū)域，最大剪應(yīng)力τmax增加程度不同。將di=0及表1中的相關(guān)參數(shù)代入式（4），計(jì)算得實(shí)心簧絲彈簧最大剪應(yīng)力為141.54MPa，與圖8中曲線與縱軸的交點(diǎn)位置相符，若該最大剪應(yīng)力τmax增加5%，即為148.62MPa。將表1中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（4），并令其等于148.62 MPa，計(jì)算出空心簧絲內(nèi)徑di=5.61mm，見圖8中直線。這里將該點(diǎn)定為減重設(shè)計(jì)最佳點(diǎn)，即認(rèn)為該點(diǎn)是強(qiáng)度下降盡量小、重量下降盡量多的平衡點(diǎn)。

將do=12mm、di=5.61mm以及表1中相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（10），經(jīng)計(jì)算得空心簧絲彈簧重為12.80N；又已知do=12mm的實(shí)心簧絲彈簧重為16.38N，則空心簧絲相對(duì)于實(shí)心簧絲彈簧減重率為21.86%?？梢娨暂^小的強(qiáng)度損失可以獲得較多減重。

3.2.2 僅簧絲外徑d o變化時(shí)的情況

將表1中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（4），其中只允許簧絲外徑do變化，作出最大剪應(yīng)力τmax與簧絲外徑do的關(guān)系曲線，如圖9所示。很明顯，最大剪應(yīng)力τmax與簧絲外徑do的變化關(guān)系是一條曲線，隨著簧絲外徑do的增加，最大剪應(yīng)力τmax急劇下降，即強(qiáng)度顯著增強(qiáng)。

圖9 彈簧最大剪應(yīng)力τmax與簧絲外徑do的變化關(guān)系Fig.9 Relationship Between the Maximum Shear Stress of Springτmax and the Outside Diameter of Spring Wire do

3.2.3 簧絲內(nèi)、外徑di、do同時(shí)變化的情況

將表1中相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（4），其中允許簧絲內(nèi)、外徑di、do同時(shí)發(fā)生變化，作出最大剪應(yīng)力τmax與簧絲內(nèi)、外徑di、do的關(guān)系曲面，如圖10所示。圖10中的上、下兩圖是針對(duì)同一曲面的兩個(gè)不同角度的投影。在正方形底面的對(duì)角線d o=di上，式（4）分母為0，最大剪應(yīng)力τmax理論上為無(wú)窮大；在dodi的等腰直角三角形區(qū)域內(nèi)呈現(xiàn)出有意義的圖形。

圖10 最大剪應(yīng)力τmax與簧絲內(nèi)、外徑di、do的變化關(guān)系Fig.10 Relationships Between the Maximum Shear Stressτmax and the Inside，Outside Diameters of Spring Wire di，d o

從圖10中可以看到，假定簧絲的外徑do取定某一個(gè)具體的值時(shí)，最大剪應(yīng)力τmax隨內(nèi)徑di的增加，首先經(jīng)歷一個(gè)平緩上升區(qū)域，然后急劇上升。圖中①號(hào)曲線就是外徑d o=12mm的平面與曲面相交的交線曲線，如圖8所示。假定簧絲的內(nèi)徑di取定某一個(gè)具體值時(shí)，最大剪應(yīng)力τmax將隨簧絲外徑do的增加而急劇下降。圖中②號(hào)曲線就是內(nèi)徑di=8mm的平面與曲面相交的交線，如圖9所示。

當(dāng)簧絲外徑分別為4mm、8mm、16mm、20mm時(shí)，同樣可計(jì)算得相應(yīng)的簧絲內(nèi)徑與彈簧最大剪應(yīng)力如表3所示，從而可在圖10中的曲面上得到曲線③。通過曲面上標(biāo)注的③號(hào)曲線，設(shè)計(jì)時(shí)既能通過增大或縮小簧絲外徑來(lái)快速提高或降低彈簧強(qiáng)度，又能夠通過選取合適的內(nèi)徑來(lái)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品減重的目的。

表3 強(qiáng)度下降5%時(shí)對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.3 Corresponding Design Parameters When Strength Decreases by 5%

4 結(jié)論

首先，理論推導(dǎo)了空心簧絲圓柱螺旋彈簧受壓時(shí)的最大剪應(yīng)力、剛度；然后，基于最大剪應(yīng)力、剛度及提供的彈簧實(shí)例數(shù)據(jù)，探討了空心簧絲彈簧的剛、強(qiáng)度性能與重量之間的變化關(guān)系，得到如下結(jié)論：

（1）隨著簧絲內(nèi)徑的增加，彈簧剛度逐漸降低；當(dāng)彈簧剛度下降5%時(shí)，彈簧減重22.28%；該位置點(diǎn)被認(rèn)為是剛度下降盡量小、重量下降盡量多的最佳設(shè)計(jì)點(diǎn)。

（2）隨著簧絲內(nèi)徑的增加，彈簧強(qiáng)度逐漸降低；當(dāng)彈簧強(qiáng)度下降5%時(shí)，彈簧減重21.86%；該位置點(diǎn)被認(rèn)為是強(qiáng)度下降盡量小、重量下降盡量多的最佳設(shè)計(jì)點(diǎn)。