徐 珂，王建林，2

（1.國網(wǎng)山東省電力公司菏澤供電公司，山東 菏澤 274000；2.吉林大學(xué)軟件學(xué)院，吉林 長春 130000）

1 引言

無人機(jī)系統(tǒng)在航跡規(guī)劃、機(jī)車避障等方面取得了大量的研究成果，并逐漸轉(zhuǎn)向多無人集群系統(tǒng)平臺。多無人機(jī)集群平臺在發(fā)揮平臺間互協(xié)作提高工作效率的同時，極大增強(qiáng)的系統(tǒng)的容錯和抗干擾能力[1]。多智能體系統(tǒng)一致性協(xié)同控制[2]通過合適的局部信息協(xié)作控制構(gòu)建分布式控制器使多智能體的某個狀態(tài)趨同或達(dá)到共同值的動態(tài)過程，在多無人系統(tǒng)的分布式優(yōu)化編隊(duì)飛行等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

文獻(xiàn)[3]根據(jù)MAS一致性控制理論，在無人機(jī)隊(duì)形設(shè)計(jì)控制中增加領(lǐng)導(dǎo)者信息獲取和控制，在部分無人機(jī)獲取領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)信息情況即可實(shí)現(xiàn)全隊(duì)形的編隊(duì)控制。文獻(xiàn)[4]引入虛擬領(lǐng)導(dǎo)者組成時變多智能體固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并通過跟蹤誤差修改控制率，實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)編隊(duì)飛行及避障。文獻(xiàn)[5]采用線性二階模型對無人機(jī)集群系統(tǒng)進(jìn)行建模，探討了平均一致性在無向通信拓?fù)湎碌目刂茊栴}。文獻(xiàn)[6]以二階積分模型描述四旋翼無人機(jī)集群系統(tǒng)，并采用圖論分析集群編隊(duì)的一致性控制。文獻(xiàn)[7]融合多機(jī)避障方法與一致性控制理論，設(shè)計(jì)編隊(duì)控制以避免編隊(duì)與障礙物發(fā)生碰撞并生成期望的控制編隊(duì)。

已有研究成果多是基于一階、二階積分模型，集群的通信拓?fù)洳捎脽o向圖進(jìn)行分析。由于干擾及距離限制等因素的存在，集群間的無人機(jī)通信通常為單向并表現(xiàn)出明顯的非線性特性[8]，因此有向拓?fù)浜头蔷€性控制的研究更貼合實(shí)際應(yīng)用情況為此，基于有向拓?fù)浣⒘思旱亩A離散模型，設(shè)計(jì)了分布式控制協(xié)議，通過理論分析和推導(dǎo)，得到了實(shí)現(xiàn)期望集群編隊(duì)的約束條件，最后采用經(jīng)典二階積分模型對算法模型和控制協(xié)議進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了模型的有效性。

2 有向通信拓?fù)鋱D理論

設(shè)無人機(jī)集群系統(tǒng)有編號為1,2,…,N的N架無人機(jī)組成，如果將各機(jī)視為一個圖節(jié)點(diǎn)，則集群的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以描述為有向圖G=(Ω,ε,A)，式 中Ω={1,2,…,Ν}為 集 群 的 節(jié) 點(diǎn) 集，ε={e0:i,j∈Ω}為邊集，A=[aij]N×N為有向圖鄰接矩陣，用于描述邊集的連接權(quán)重。在以有向圖表示的無人機(jī)集群中，如果某無人機(jī)i的狀態(tài)信息可以通過拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)被另一無人機(jī)j接收，即在G中兩無人機(jī)節(jié)點(diǎn)間存在向向邊eij∈ε(i≠j)，則稱j為i的鄰居，即Ni={j|j∈Ω:eij∈ε}。如果存在一個節(jié)點(diǎn)i，可以通過非零的有向邊將其狀態(tài)信息傳遞到拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖中的任意其他點(diǎn)，則稱G包含了一個有向生成樹[9]。圖的Laplacian矩陣L=[lij]N×N，則有：

當(dāng)有向拓?fù)鋱DG的Laplacian矩陣L具有非負(fù)特征值及至少一個零特征值，且他非零特征值均正實(shí)部，則當(dāng)G中存在一個有向生成樹時，零是L矩陣的1重?cái)?shù)特征值；當(dāng)且僅當(dāng)G中存在有向生成樹，有譜半徑u=ρ(G)對應(yīng)的特征值為1n，則u為G和單重特征值，則對于任意給定的x,y∈Rn以及具有相容維數(shù)的矩陣P>0，D和S，可以得到

3 基于一致性理論的集群控制

將文中N架無人機(jī)集群通信結(jié)構(gòu)描述為包含向生成樹的有向圖G。設(shè)集群為單機(jī)動態(tài)特性相似的非線性時不變同構(gòu)系統(tǒng)，則無人機(jī)集群中第架無人機(jī)節(jié)點(diǎn)的動力學(xué)模型為：

式中：xi(t)∈Rn、vi(t)∈Rn—無人機(jī)相應(yīng)的位置、速度；ui(t)∈Rn－控制輸入；δ—狀態(tài)信息采集時間周期，狀態(tài)更新t=t0+qδ；t0—采樣初始時間；n—集群的空間維數(shù)。則集群系統(tǒng)的數(shù)據(jù)模型可以建模為[10]：

式中：ξi(t)=[xi(t)，vi(t)]T；B1=[1，0]T、B2=[0,1]T—維數(shù)相容的常數(shù)矩陣。

設(shè)h(t)=[hT1,hT2,...,hTN]T∈R2N為描述集群隊(duì)形的一組編隊(duì)參考向量，hi(t)=[hxi(t),hvi]T，hxi(t)和hvi分別為編輯參考位置與期望速度向量，根據(jù)多智能體一致性理論和無人機(jī)與其局部鄰居之間的相對狀態(tài)信息及通信拓?fù)?，則期望的分布式集群編隊(duì)控制器可以采用有界函數(shù)描述為：

其閉環(huán)系統(tǒng)方程可以推導(dǎo)為：

式中：i=1,2,...,N，K—系統(tǒng)的反饋增益矩陣，c>0—耦合系數(shù)，F(xiàn)(x)—Lipschitz非線性函數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)［5］中分析，如果無人機(jī)集群系統(tǒng)中任意兩個節(jié)點(diǎn)i，j=1，2，...，N，i≠j，及有限初始值xi(0)，使式（7）成立，即：

式中：i，j=1，2，...，N，hi—無人機(jī)的狀態(tài)信息，用于描述多無人機(jī)系統(tǒng)的編隊(duì)隊(duì)形，則該集群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了期望編隊(duì)h[11]。

當(dāng)輸入控制ui使得無人機(jī)集群實(shí)現(xiàn)了編隊(duì)h(t)的期望，則h(t)在協(xié)議ui下是可行的。

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中的分析，為使無人機(jī)集群達(dá)到期望的控制編隊(duì)隊(duì)形，基于一致性理論，分布式控制協(xié)議為：

式中：α，β>0—增益系統(tǒng)，K=[?α，?β]—待設(shè)計(jì)控制參數(shù)。

通過一定的補(bǔ)償策略，可以將式（8）中的非一致時延補(bǔ)償為一致性以消除其對通信拓?fù)涞挠绊憽?/p>

4 集群系統(tǒng)分布式編隊(duì)控制

文中將無人機(jī)集群系統(tǒng)的通信拓?fù)浼皶r延描述為含有向生成樹的非線性有向圖，并通過變量替換將上節(jié)式（8）描述的編隊(duì)分布式一致性控制可以轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的穩(wěn)定性求解問題。

令ψix(t)=xi(t)?hix(t)，ψiv(t)=vi(t)?hiv(t)，將其代入式（8）和式（3），則無人機(jī)集群的動力學(xué)模型可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為表示為：

定義單位向量E和E?1分別為：

則式（9）可進(jìn)一步推導(dǎo)為：

其中，?x(t)=E?1ψx(t)，?v(t)=E?1ψv(t)，A′=[a′ij]N×N。

同時根據(jù)式（10）可以得到有：

則根據(jù)式（7）編隊(duì)滿足h隊(duì)形的控制條件，當(dāng)式（10）的編隊(duì)相對誤差對任務(wù)初始條件，有?(t)→0(t→∞)，則式（8）描述的控制協(xié)議可以確保非線性無人機(jī)分布式編隊(duì)控制滿足hvi，即有：

令K=BTP2，P2—正定矩陣，同時期望的編隊(duì)隊(duì)形h符合(E?A)h=0，則可以推導(dǎo)出：

設(shè)?1和?2為矩陣的最大特征值和最小特征值，則有正定矩陣P1≤?1I，P1≥?2I，從而可進(jìn)一步推導(dǎo)得到：

式中：c>0，由式（14）不等式條件可進(jìn)一步得到，無人機(jī)集群可以形成編隊(duì)h時，當(dāng)且僅當(dāng)滿足式（15）條件。

式（15）條件描述大式（8）所示控制協(xié)議下，集群實(shí)現(xiàn)期望隊(duì)形的約束條件，說明需要在集群位置、位置及控制輸入等“相容”情況下，集群可以達(dá)到期望編隊(duì)。

5 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

5.1 仿真條件及參數(shù)設(shè)置

采用4架無人機(jī)組成這里實(shí)驗(yàn)采用的仿真集群，無人機(jī)在二維平面運(yùn)動并采用經(jīng)典二階積分系統(tǒng)模型，非線性函數(shù)項(xiàng)為f(xi,t)=[0,0.1 sin(xi2(t)),0,0]T，實(shí)驗(yàn)中位置，速度和加速度單位分別為m、m/s、m/s2。無人機(jī)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 無人機(jī)之間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Communication Topology between Drones

可以看出，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對應(yīng)的圖是有向且含有一個生成樹，集群無人機(jī)的初始位置為：

期望編隊(duì)隊(duì)形為間距100m的正方形隊(duì)形，則編隊(duì)描述為h=[hix(0),hiv(t)]，即

結(jié)合給定的初始條件，通過迭代計(jì)算，可以得到不同時刻的期望隊(duì)形，迭代結(jié)束后，可以得到隊(duì)形滿足(E?A)h=0，且根據(jù)約束條件，可以得到參數(shù)α=0.19，β=0.61，δ=0.15。

5.2 仿真結(jié)果及分析

通過層高差來避撞的無碰撞參考的控制協(xié)議下，得到的實(shí)驗(yàn)無人機(jī)集群運(yùn)動軌跡并形成期望編隊(duì)的過程，如圖2所示。圖中坐標(biāo)為集群在形成編隊(duì)過程的x和y方向的位置，矩形框?yàn)樗募軣o人機(jī)之間的相對位置，可以看出，從開始位置，大約經(jīng)過100s的時間，集群初步完成隊(duì)形，之后保持較好的期望隊(duì)形運(yùn)動。此驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

圖2 無人機(jī)集群系統(tǒng)編隊(duì)隊(duì)形形成過程Fig.2 UAVs Formation Realization Process

集群中四架無人機(jī)的速度和隨時間變化的仿真結(jié)果，如圖3、圖4所示?？梢钥闯?，在仿真實(shí)驗(yàn)初期，無人機(jī)之間以不同的速度趨向相應(yīng)的位置，當(dāng)?shù)竭_(dá)期望位置后，各無人機(jī)保持穩(wěn)定的相對速度，這與算法分析一致，而形成編隊(duì)后，各無從機(jī)之間的位置也保持了固定的相對距離。同時拓?fù)鋱D還反映出無人機(jī)1不能獲取另個三架無人機(jī)的狀態(tài)信息，只能傳遞自身狀態(tài)信息，因而可看作領(lǐng)航者，其他三架無人機(jī)可看作是跟隨者。

圖3 無人機(jī)速度隨時間的變化趨勢Fig.3 The Velocity Trends of the UAVs over Time

圖4 無人機(jī)位置隨時間的變化趨勢Fig.4 The Position Trends of the UAVs over Time

綜合所有實(shí)驗(yàn)的仿真結(jié)果可以得出，設(shè)計(jì)的集群編隊(duì)控制協(xié)議能夠何足掛齒無人機(jī)快速趨向期望隊(duì)形，并在形成編隊(duì)后，能夠保持較好的相對位置和速度。

6 結(jié)論

利用多智能體一致性理論研究了在有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，無人機(jī)集群的分布式非線性編隊(duì)控制問題，建立了集群的二階離散模型，設(shè)計(jì)了分布式控制協(xié)議，解決了具有Lipschitz非線性特性的的無人機(jī)分布式編隊(duì)問題；通過理論分析和推導(dǎo)，得到了實(shí)現(xiàn)期望集群編隊(duì)的約束條件，最后采用經(jīng)典二階積分模型對算法模型和控制協(xié)議進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了模型的有效性。