孫元?jiǎng)? 趙玲燕

中學(xué)數(shù)學(xué)“六學(xué)課堂”教學(xué)范式提出“應(yīng)該學(xué)、人人學(xué)、做中學(xué)、自主學(xué)、交互學(xué)和深度學(xué)”，旨在促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施上進(jìn)一步落實(shí)以學(xué)生為本的教育理念。下面筆者以人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書必修第二冊(cè)6.3.1節(jié)“平面向量基本定理”教學(xué)為例，構(gòu)建基于“六學(xué)課堂”教學(xué)范式的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)框架。

一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容：平面向量基本定理。

2.內(nèi)容解析。

（1）內(nèi)容的本質(zhì)：平面向量基本定理揭示了平面內(nèi)任一向量與兩個(gè)不共線向量的聯(lián)系，是二維向量空間特征的表現(xiàn)，即平面內(nèi)任一向量可以由兩個(gè)不共線的向量生成，這是將平面向量的運(yùn)算化歸為數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ)。在同一平面內(nèi)雖然存在無(wú)窮多個(gè)向量，但任意一個(gè)向量都可以表示成兩個(gè)不共線向量組成的基底的線性組合，這樣就可以利用這組基底表示這個(gè)平面內(nèi)圖形的任意元素，從而可以通過代數(shù)運(yùn)算解決平面幾何問題，使得問題的解決“程序化”。

（2）內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法：平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過程蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等。

（3）內(nèi)容的上下位關(guān)系：平面向量基本定理是共線向量定理的推廣，是定義向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，也是將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)。理解平面向量基本定理的重要作用，可以加深對(duì)平面向量運(yùn)算的認(rèn)識(shí)。

（4）內(nèi)容的育人價(jià)值：從“位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示”出發(fā)，通過力的分解這一背景和已有向量運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的分析，提出“平面內(nèi)任意一個(gè)向量如何表示？”“能否用有限個(gè)特定向量表示？”等問題，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的思考方式和理性思維，滲透著講邏輯、以簡(jiǎn)馭繁的思維品質(zhì)。在力的分解基礎(chǔ)上獲得啟發(fā)，在探究平面向量基本定理的過程中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。通過對(duì)平面向量基本定理的理解，能夠明確利用平面向量運(yùn)算解決問題，可以把問題中的向量轉(zhuǎn)化為基底再進(jìn)行運(yùn)算，進(jìn)一步明確向量運(yùn)算的策略，從而發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。

3.教學(xué)重點(diǎn)?；谝陨戏治?，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：平面向量基本定理、定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程。

二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.教學(xué)目標(biāo)。

（1）理解平面向量基本定理及其意義。

（2）會(huì)運(yùn)用平面向量基本定理解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題。

2.目標(biāo)解析。達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

（1）經(jīng)歷平面向量基本定理的探索過程：從力的分解這一物理背景獲得啟發(fā)，能夠?qū)⑵矫鎯?nèi)給定的任一非零向量按照指定的兩個(gè)不同方向進(jìn)行分解;在回顧前面學(xué)習(xí)向量運(yùn)算過程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步借助信息技術(shù)動(dòng)手操作，形成猜想并最終領(lǐng)會(huì)“平面內(nèi)任一向量都可以被兩個(gè)非零向量線性表示”的結(jié)論。

（2）會(huì)證明平面向量基本定理。

（3）能用自己的語(yǔ)言說(shuō)出定理的重要性及其意義。

（4）會(huì)通過選擇基底表示平面內(nèi)的一些向量，解決一些平面幾何問題，指導(dǎo)向量法在解決平面幾何問題中的作用和基本步驟。

三、教學(xué)問題診斷分析

1.教學(xué)問題診斷分析。根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)完平面向量基本定理后，常常出現(xiàn)只記得定理的結(jié)論，而沒有真正認(rèn)識(shí)到定理的“基本內(nèi)涵”所在，從而導(dǎo)致學(xué)生在應(yīng)用向量法解決幾何問題時(shí)感到困難。究其原因，主要是學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量基本定理的過程中，沒有經(jīng)歷完整的定理探究過程，獲得的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不夠充分，因而對(duì)平面向量基本定理的認(rèn)識(shí)不到位，所以造成上述影響。

教學(xué)中從力的分解這一物理背景引出平面內(nèi)任意一個(gè)向量的分解，前面學(xué)生已經(jīng)利用平面向量的運(yùn)算解決了部分平面圖形中的向量問題，實(shí)際上這些問題也是以平面向量基本定理為背景的。通過幫助學(xué)生回顧前面的這些問題，結(jié)合“位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示”的經(jīng)驗(yàn)，提出“平面內(nèi)任意一個(gè)向量如何表示？”這一問題，并引導(dǎo)學(xué)生借助網(wǎng)格圖、信息技術(shù)等多種工具真正參與親手畫、親自操作的學(xué)習(xí)過程，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)平面向量基本定理的結(jié)論，同時(shí)使其感受到掌握平面向量基本定理的重要性。對(duì)于平面向量基本定理的證明，由于既要證明平面向量的存在性，又要證明其唯一性，難度較大，可以讓學(xué)生在教師的幫助下完成。

2.教學(xué)難點(diǎn)。通過以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過程及對(duì)定理的證明。

四、教學(xué)支持條件分析

在平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過程中，利用信息技術(shù)工具可以展示任一向量分解的例子（有條件的班級(jí)可以讓學(xué)生通過動(dòng)手操作深入體會(huì)），體會(huì)任一向量被基底線性表示時(shí)的存在性和唯一性，幫助學(xué)生理解定理。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)。根據(jù)數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)的一般過程，結(jié)合平面向量基本定理的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)如下多樣化的學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)方式促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)本節(jié)課的知識(shí)體系（如表1）。

2.教學(xué)過程設(shè)計(jì)。

（1）教學(xué)環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，明確問題。

引導(dǎo)語(yǔ)1：前面我們學(xué)習(xí)了向量的運(yùn)算和運(yùn)算律，知道向量是溝通代數(shù)和幾何的橋梁，到了下節(jié)課，同學(xué)們會(huì)了解到向量的運(yùn)算竟然可以化歸為數(shù)的運(yùn)算。在此之前，需要我們首先學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容：平面向量基本定理。我們知道，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示，類似地，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量還有哪些特征？請(qǐng)同學(xué)們先看下面的情景：

物理中，同一個(gè)力F（大小相等、方向相同），有時(shí)要將它按照不同的方向分解為兩個(gè)力的和，如圖1、圖2所示。

在圖1中，當(dāng)物體在水平面上時(shí)，我們經(jīng)常把力F分解為水平方向和豎直方向的兩個(gè)分力;在圖2中，當(dāng)物體在斜面上時(shí)，我們經(jīng)常把力F分解為平行于斜面和垂直于斜面的兩個(gè)分力，從中我們能獲得怎樣的啟發(fā)？

[設(shè)計(jì)意圖]1.幫助學(xué)生明確前面研究了向量的哪些內(nèi)容，并通過“到了下節(jié)課，同學(xué)們會(huì)了解到向量的運(yùn)算竟然可以化歸為數(shù)的運(yùn)算”激發(fā)學(xué)生好奇心，同時(shí)通過“在此之前，需要我們首先學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容‘平面向量基本定理”滲透本節(jié)課內(nèi)容與前后知識(shí)的聯(lián)系;2.從知識(shí)的邏輯上提出“平面內(nèi)的任意一個(gè)向量還有哪些特征”這一問題，并給出相應(yīng)的物理背景，為下面研究向量的分解做好鋪墊。

（2）教學(xué)環(huán)節(jié)二：通過具體向量的作圖和線性表示，感悟基本定理的結(jié)論。

問題1：做一做：已知向量a、b、c如圖3，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格處以點(diǎn)O為公共起點(diǎn)，將向量c按a和b的方向分解，作出分解示意圖;向量c能夠?qū)懗蒫=xa+yb的形式嗎？如果能，寫出相應(yīng)的x和y。

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立作圖，教師通過巡視對(duì)作圖困難的學(xué)生給予指導(dǎo)：首先要把向量a、b、c平移到同一個(gè)起點(diǎn)Ο，再根據(jù)向量a、b、c的方向作出以向量c所在線段為對(duì)角線的平行四邊形ΟACB，然后將向量c寫成（設(shè)與a共線、與b共線），最后寫出與a，與b的數(shù)乘關(guān)系。

[設(shè)計(jì)意圖]這里首先給出具體的向量a、b、c，讓學(xué)生在網(wǎng)格圖中獨(dú)立完成c=xa+yb的表示，一方面通過設(shè)計(jì)“動(dòng)手作圖”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，豐富學(xué)生探究定理過程的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，一方面通過具體的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生感悟基本定理的內(nèi)容，明確c=xa+yb的表示方法。

（3）教學(xué)環(huán)節(jié)三：結(jié)合對(duì)前面向量運(yùn)算相關(guān)問題的梳理，形成對(duì)定理的猜想。

引導(dǎo)語(yǔ)：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下前面我們利用平面向量的運(yùn)算解決的一些問題。

①如圖4，在△ABC中，點(diǎn)M是邊DB的中點(diǎn)，，，證明：。

②如圖5，已知六邊形ABCDEF為正六邊形，且，，用a，b分別表示向量，，，，，和。

③如圖6，在△ABC中，，DE//BC，且

與邊AC相交于點(diǎn)E，△ABC的中線AM與DE相交于點(diǎn)N。設(shè)，，用a，b分別表示向量，，，，，，。

圖4 圖5 圖6

引導(dǎo)語(yǔ)：同學(xué)們想想，以上每個(gè)問題是不是都要求我們把幾何圖形中的某個(gè)向量用2個(gè)向量來(lái)表示？

[設(shè)計(jì)意圖]前面學(xué)生已經(jīng)利用平面向量的運(yùn)算解決了部分平面圖形中的向量問題，實(shí)際上這些問題也是以平面向量基本定理為背景的。通過幫助學(xué)生回顧前面的這些問題，結(jié)合前面的物理背景、動(dòng)手作圖，為學(xué)生提出問題、猜想定理的結(jié)論做好先行鋪墊。

問題2：我們知道，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示。數(shù)學(xué)中我們總是希望用最少的量來(lái)表示一類問題，這往往是我們解決問題時(shí)對(duì)一些量進(jìn)行轉(zhuǎn)化的方向，實(shí)際上就是我們常說(shuō)的化歸數(shù)學(xué)思想方法。通過前面對(duì)物理背景和數(shù)學(xué)題目的回顧，以及我們作圖過程的體驗(yàn)，你能提出什么類似的問題嗎？或者說(shuō)有什么猜想？

師生活動(dòng)：在教師引導(dǎo)下，通過對(duì)前面學(xué)習(xí)過程的分析，提出問題：“平面內(nèi)任意向量是否可以由同一平面內(nèi)的2個(gè)不共線的向量表示？”

[設(shè)計(jì)意圖]明確平面向量基本定理所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，在“先行組織者”的幫助下，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，獲得定理的猜想。

（4）教學(xué)環(huán)節(jié)四：利用網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行探究（如圖7），驗(yàn)證猜想，證明定理。

問題3：在網(wǎng)絡(luò)畫板課件中，不斷改變向量a，也可以改變e1和e2的方向與模長(zhǎng)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問1：如果向量a是這一平面內(nèi)與e1、e2中的某一個(gè)向量共線的非零向量，你能用e1、e2表示a嗎？若a是零向量呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生操作課件，觀察、思考、嘗試和探究，教師進(jìn)行巡視和指導(dǎo)。最后請(qǐng)學(xué)生代表發(fā)言展示，得出只要e1和e2是平面內(nèi)2個(gè)不共線的向量，平面內(nèi)的任一向量a都可以表示成a=λ1e1+λ2e2的形式。

[設(shè)計(jì)意圖]利用信息技術(shù)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作、觀察、思考的探究過程中發(fā)現(xiàn)、體會(huì)平面內(nèi)任一向量都可以被兩個(gè)不共線的向量表示的結(jié)論。

追問2：這種表示形式是唯一的嗎？為什么？

師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生再次操作課件，進(jìn)一步觀察，體會(huì)表示形式的唯一性，并嘗試讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，對(duì)表達(dá)的邏輯性、正確性給予評(píng)價(jià)。最后給出平面向量基本定理的嚴(yán)格表達(dá)方式。

[設(shè)計(jì)意圖]通過操作、觀察、思考，進(jìn)一步明確向量定理的“唯一性”，從而得出定理結(jié)論的嚴(yán)格表達(dá)。

問題4：你能證明平面向量基本定理嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，教師根據(jù)學(xué)生的問題教學(xué)并加以引導(dǎo)。證明完成后，對(duì)定理內(nèi)容進(jìn)行如下強(qiáng)調(diào)：任意2個(gè)不共線的向量都可以作為1個(gè)平面所有向量的一個(gè)基底;零向量不能作為基底中的向量;零向量也能被基底唯一表示，并且若有不共線的向量a、b，且0=λ1a+λ2b，則必有λ1=λ2=0。

[設(shè)計(jì)意圖]完成定理的證明，在證明的過程中體會(huì)反證法的作用。明確平面向量基本定理的一些常見結(jié)論，進(jìn)一步理解定理的意義。

（5）教學(xué)環(huán)節(jié)五：平面向量基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

問題5：如圖8，，不共線，且（t∈R），用和表示。

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試獨(dú)立完成，教師通過巡視對(duì)解答困難的學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)。最后由教師給出規(guī)范解答，強(qiáng)調(diào)解題過程中如何體現(xiàn)“基底思想”。

追問：觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師生活動(dòng)：教師通過網(wǎng)絡(luò)畫板，演示t在變化時(shí)圖形的變化，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形直觀得到進(jìn)一步的結(jié)論：如果，則P、A、B三點(diǎn)共線的充要條件是x+y=1（對(duì)該結(jié)論的證明留作課后思考問題）。

[設(shè)計(jì)意圖]本題是教科書中的例題，通過講解例題進(jìn)一步鞏固平面向量基本定理。

問題6：如圖9，CD是△ABC的中線，CD=AB，

用向量方法證明△ABC是直角三角形。

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試獨(dú)立完成，教師通過巡視對(duì)解答困難的學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)：在分析題目時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生思考如何用向量表達(dá)AC⊥CB，如何選取基底表達(dá)和，實(shí)際上，由于題目條件中可以得出，所以可以選取作為基底，最后用教科書的方法進(jìn)行證明并總結(jié)運(yùn)用向量法解決平面幾何問題的基本步驟。

追問：你還有其他證明方法嗎？

師生活動(dòng)：教師可如此引導(dǎo)學(xué)生：實(shí)際上，本題選取作為基底的原因很簡(jiǎn)單，根據(jù)條件CD=AB，考慮將和用基底，表示

出來(lái)，得到，，由CD=AB，得，兩邊平方即可證明。

[設(shè)計(jì)意圖]本題是教科書中的例題，通過講解例題進(jìn)一步鞏固平面向量基本定理，明確用向量法解決平面幾何問題的基本步驟。

（6）教學(xué)環(huán)節(jié)六：課堂小結(jié)，形成結(jié)構(gòu)。

問題7：請(qǐng)同學(xué)們帶著下列問題回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并給出回答：

①回顧學(xué)習(xí)平面向量基本定理的大致過程，我們?cè)趯W(xué)習(xí)平面向量基本定理的過程中主要經(jīng)歷了哪些關(guān)鍵環(huán)節(jié)？

②敘述平面向量基本定理，你能進(jìn)一步說(shuō)出證明平面向量基本定理的思路嗎？

③結(jié)合前面對(duì)平面向量?jī)?nèi)容的學(xué)習(xí)，從平面向量基本定理的作用角度出發(fā)，你覺得平面向量基本定理的“基本”體現(xiàn)在哪些方面？

師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考、作答，再進(jìn)行全班交流，教師和學(xué)生互動(dòng)、點(diǎn)評(píng)后進(jìn)行如下總結(jié)。

①本節(jié)課我們從物理中力的分解這一實(shí)際背景出發(fā)，體會(huì)到任意一個(gè)力可以根據(jù)我們的需要沿不同方向進(jìn)行分解。通過梳理先前一些向量運(yùn)算的問題，從而獲得啟發(fā)，提出問題：平面內(nèi)任意向量是否可以進(jìn)行類似的分解？能得到哪些結(jié)論？通過對(duì)具體向量的分解。利用網(wǎng)絡(luò)畫板軟件體會(huì)對(duì)任意向量按照給定的兩個(gè)“基底”方向進(jìn)行分解等操作、觀察和分析過程，得出平面向量基本定理內(nèi)容的猜想，并完成定理的證明和分析。最后通過兩個(gè)例題，體會(huì)解決平面幾何問題時(shí)“基底”的思想。

②平面向量基本定理的證明，即證明“存在性”和“唯一性”，“存在性”的證明要考慮任意向量與基底的不同方向的情況，通過說(shuō)理進(jìn)行證明，“唯一性”則是基于“正難則反”的考慮，采用反證法進(jìn)行證明。

③平面向量基本定理揭示了平面內(nèi)任意向量與兩個(gè)不共線向量的聯(lián)系，是二維向量空間特征的表現(xiàn)，即平面內(nèi)任意向量可以由兩個(gè)不共線的向量生成。在同一平面內(nèi)雖然存在無(wú)窮多個(gè)向量，但任意一個(gè)向量都可以表示成兩個(gè)不共線向量組成的基底的線性組合，因此在解決具體問題的過程中，所有向量之間的運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)化為構(gòu)成基底的兩個(gè)向量之間的運(yùn)算，這為應(yīng)用平面向量解決問題指明了運(yùn)算的方向。另外，通過后面的學(xué)習(xí)，同學(xué)們還可以進(jìn)一步體會(huì)到平面向量基本定理是將平面向量的運(yùn)算化歸為數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ)。

[設(shè)計(jì)意圖]從結(jié)構(gòu)化、聯(lián)系性等角度歸納總結(jié)本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平面向量基本定理的內(nèi)容，體會(huì)定理的重要性，滲透數(shù)學(xué)命題的研究過程，凸顯知識(shí)的本質(zhì)。

（7）教學(xué)環(huán)節(jié)七：目標(biāo)檢測(cè)，檢驗(yàn)效果。

題1：下面三種說(shuō)法中，正確的是（ ）。

①一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底;

②一個(gè)平面內(nèi)任意一對(duì)不共線的向量均可作為表示該平面所有向量的基底;

③零向量不可作為基底中的向量。

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

題2：已知向量e1、e2不共線，下面的向量a、b能作為基底的是（ ）。

A.a=e1-e2，b=-e1+e2

B.a=0，b=e1

C.a=3e1-6e2，b=2e1+4e2

D.a=e1+2e2，b=2e1+e2

題3：如圖10，在△ABD中，AD=AB，點(diǎn)E是

CD的中點(diǎn)，設(shè)，，用a，b表示、。

[設(shè)計(jì)意圖]題1、題2檢測(cè)對(duì)基本定理基底的理解，題3檢測(cè)平面向量基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

課后作業(yè)：教科書必修二第27頁(yè)練習(xí)1、2、3題。

綜上所述，基于“六學(xué)課堂”教學(xué)范式設(shè)計(jì)合適的教學(xué)方式和學(xué)習(xí)活動(dòng)，有助于落實(shí)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育”這一數(shù)學(xué)課程核心理念。

（基金項(xiàng)目：本文系海南省教育科學(xué)研究規(guī)劃課題“區(qū)域教研實(shí)踐推進(jìn)高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量發(fā)展的行動(dòng)研究”的階段研究成果，課題編號(hào)：QJY20211035）