鄭文海 蔡海濤

摘要：數學思維與素養(yǎng)的培養(yǎng)對學好初中數學大有裨益，因此在初中數學教學中，教師要通過引導，著力培養(yǎng)學生的抽象思維、問題思維、邏輯思維、批判思維.基于思維導向，教師要引導學生學會在一定的情境中抽象問題，分析問題與解決問題，再進行有效反思，拓展新問題，促進學生數學素養(yǎng)的提升.

關鍵詞：思維導向；關注過程；發(fā)展素養(yǎng)

初中數學具有承前啟后的特征，它比小學階段更注重邏輯思維的培養(yǎng)，而在理性思維深度方面略遜于高中數學教學.初中數學教學是引導學生由形象思維為主逐漸轉為抽象思維為主的過渡時期，教師應著力培養(yǎng)學生的思維，關注知識發(fā)生、發(fā)展的過程，引領學生深度思考，從而為學生高中階段數學素養(yǎng)的儲備奠定基礎.下面筆者談談思維導向下提升學生素養(yǎng)的實踐與思考，以期與同行交流.

1 激發(fā)抽象思維提升素養(yǎng)

進入初中后，部分學生會覺得數學學習變得更難了，有的學生會遭遇數學學習的瓶頸，甚至逐漸喪失學習數學的興趣和信心.經與部分學生交流，發(fā)現主要是因為初中階段的很多數學知識比較抽象，而小學數學的大部分知識都與現實生活有一定關聯(lián)，學習內容的改變導致部分初中生在短期內無法適應.因此初中階段的數學教學，教師要設計一些從問題情境中抽象出來的數學問題，挖掘問題中的數學元素，提煉其中的數學本質屬性，積累解決抽象問題的方法經驗，提升學生的數學抽象素養(yǎng).

例1觀察規(guī)律11×2=1－12，12×3=12－13，13×4=13－14，……，運用你觀察到的規(guī)律解決以下問題：如圖1，分別過點Pnn，0n=1，2，……作x軸的垂線，交y=ax2a>0的圖象于點An，交直線y=－ax于點Bn．則1A1B1+1A2B2+……+1AnBn的值為（）.

A．nan－1B．2an－1

C．2ann+1D．nan+1

解析：因為過點Pnn，0n=1，2，……的垂線交y=ax2a>0的圖象于點An，交直線y=－ax于點Bn，所以令x=n，可得An縱坐標為an2，Bn縱坐標為-an，則AnPn=an2，BnPn=an.

所以AnBn=an2+an，從而可得

1AnBn=1a（n2+n）=1a1n-1n+1.

所以1A1B1+1A2B2+……+1AnBn

=1a1-12+12-13+13-14+……+

1n-1n+1

=1a1-1n+1=na（n+1）．

故選：D．

評析：本題考查了一次函數和二次函數與垂直于x軸的直線交點的坐標問題，解題的關鍵是能夠抽象出要解決的問題的一般特征AnBn=an2+an，再抽象出已知條件的一般規(guī)律，即1n（n+1）1n-1n+1，類比這個式子，對所求式子進行化簡，得1AnBn=1a51n-1n+1.解題過程中體現了抽象數學問題，由特殊到一般的歸納總結，再形成類比遷移，破解難點．

2 驅動問題思維提升素養(yǎng)

問題是思維的起點，是數學的“心臟”.創(chuàng)設一個個具體的問題，學生才會更加積極主動地思考、探索.教師要善于把知識傳授的課堂轉向問題解決的課堂，教學中力求用問題推動學生進行深度學習，即形成“提出問題→解決問題→再提出問題→解決問題”的模式.

案例“線段的垂直平分線”引入

“線段的垂直平分線”是學生在學習了“三角形的有關知識”的基礎上進行的，是后續(xù)證明“線段相等”和“直線垂直”的依據，具有承上啟下的重要作用.對于這節(jié)課的引入做如下設計：

師問1：為解決A，B，C三地用電難的問題，區(qū)政府決定新建一個水電站，向A，B，C三地供電，要求該水電站到A，B，C三地的距離一樣，試確定所建水電站的位置.

生：先將A，B，C三地抽象成A，B，C三個點，問題轉化為如何求作一點P使PA=PB=PC.

師問2：P點怎么找？根據我們學過的知識，就是要構造以P為頂點的三個等腰三角形.如何構造？問題能否簡化？

生：可以先試著找與A，B兩個點距離相等的點.

師問3：各位同學拿出課前準備好的A4紙，畫一條線段AB，請設計一個數學實驗，動手找到與A，B兩點距離相等的點的軌跡.

生：將紙折疊使得點A與點B重合，得到折痕l即為所求.

根據以上教學活動，自然引出“線段垂直平分線”的定義.以上教學設計，教師借助問題驅動思維，讓學生積極自主探究線段垂直平分線的作法，體驗知識的形成過程中蘊涵的數學思想方法.教學中，基于以學生為主體的原則，以問題式的數學活動推動學習進程，鼓勵學生在“做中學”，培養(yǎng)學生的合作精神與創(chuàng)新能力.

3 構建邏輯思維提升素養(yǎng)

邏輯思維能力，指的是個體正確、合理思考的能力[1].初中數學很多題目都考查了邏輯推理，考查學生能夠基于已知條件，結合數學定律公式，邏輯層層遞進，一步步推向最終的結論.所以，教師要適時引導學生逐漸養(yǎng)成嚴謹的數學邏輯思維習慣，這是學好初中數學的必備能力.

例2如圖2，∠MON=45°，已知正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，……，它們的頂點A，A1，A2，A3……在射線OM上，頂點B，B1，B2，B3，B4……在射線ON上，連接AB2交A1B1于點D，連接A1B3交A2B2于點D1，連接A2B4交A3B3于點D2，……，連接B1D1交AB2于點E，連接B2D2交A1B3于點E1，……，按照這個規(guī)律進行下去，設四邊形A1DED1的面積為S1，四邊形A2D1E1D2的面積為S2，四邊形A3D2E2D3的面積為S3，……，若AB=2，則Sn等于．（用含有正整數n的式子表示．）

解析：因為∠MON=45°，由正方形ABB1C與正方形A1B1B2C1，得△OAB和△OA1B1都是等腰直角三角形.所以OB=AB=BB1=2，A1B1=OB1=4.

同理A2B2=8.

于是正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2的邊長分別為2，4， 8，

由AC∥B1B2，DB1∥D1B2，得CDDB1=ACB1B2=24，即DB1=2CD，從而CD=13CB1=23，DB1=43.

同理C1D1=13C1B2=43，D1B2=83；C2D2=13C2B3=83，D2B3=163.

因為DB1∥D1B2，所以△DEB1∽△EB2D1.

設△EDB1和△EB2D1的邊DB1和B2D1上的高分別為h1和h′1，則h1h′1=DB1D1B2=4383=12.

因為h1+h′1=B1B2=4，所以h1=43，h′1=83.

設△DEB1，△E1D1B2，△E2D2B3的邊DB1，D1B2，D2B3上的高分別為h1，h2，h3，則有

h1=43，h2=83，h3=163.

所以S1=S△A1B1D1－S△DB1E=12×42－12×DB1·h1=12×42－12×43×43=649.

同理S2=S△A2B2D2－S△D1B2E1=12×82－12×D1B2·h2=12×82－12×83×83=4×649；

S3=S△A3B3D3－S△D2B3E2=12×162－12×D2B3×h3=128－12×163×163=42×649；

…………

Sn=649×4n－1=4n+29=22n+49．

故答案為：22n+49．

評析：本題以規(guī)律型問題為載體，有一定的難度.解決本題的難點是數形結合并善于發(fā)現規(guī)律，而具備一定的邏輯思維能力是解題的關鍵．需要根據已知條件結合圖形特征，證得△ADC∽△B2DB1，推出CD=23，DB1=43，同理得到C1D1=43，D1B2=83；由△EDB1∽△EB2D1，推出△EDB1邊DB1上的高為43，計算得S1=649，同理得S2=649×4，S3=649×42.找到規(guī)律，即可求解.

4 培養(yǎng)批判思維提升素養(yǎng)

數學是一門嚴謹的學科.在數學學習中，無論是運算，還是證明，都必需做到有理有據，任何一個步驟的不嚴謹，都可能會導致解題錯誤.

例3若關于x的方程x+ax－1=a無解，求a的值．

本題在實測中，很多學生出現如下錯解.

錯解：由x+ax－1=a，得x+a=ax－1，即

x+a－ax+a=0．

所以1－ax=－2a，則x=2aa－1.

當x=1時，原方程產生增根，無解，即2aa－1=1，解得a=－1.

所以a的值為－1．

正解：由x+ax－1=a，得1－ax=－2a．

當1－a=0時，原方程無解，此時a=1．

當1－a≠0時，x=2aa－1，解得a=－1．

綜上，a的值為1或－1．

評析：本題的錯因主要是學生的批判性思維淡薄，在等式兩邊同時除以其數（整式）的基本運算中，未能對除數是否為0進行分類討論．

例4在半徑為10 cm的圓內有兩條相互平行的弦，它們的長度分別為12 cm和16 cm，求這兩條弦之間的距離.

評析：本題大部分學生利用“垂徑定理”和“勾股定理”，求出答案為2 cm，忽視了還有另外一個解為14 cm.造成這個錯誤的原因，是學生缺乏批判思維，在分析題意時未能分析好圖形特征，畫圖時對兩條相互平行的弦與圓心的位置關系的情況考慮不周.解題教學中，教師要善于引導學生強化批判思維的意識，敢于質疑，養(yǎng)成嚴謹的邏輯推理和數學運算的習慣，深刻理解數學知識的內涵和問題的本質.

總之，初中數學思維的培養(yǎng)尤為重要.教學中，教師應在學生的“最近發(fā)展區(qū)”上，合理應用問題情境，以學生為主體，構建數學思維活動，激發(fā)學生主動思考、活躍思維，循序漸進地完善學生的思維品質，促進學生形成良好的數學素養(yǎng)，為學好高中數學打下基礎.

參考文獻：

[1]馬曉芹.談初中數學教學中學生邏輯思維能力的培養(yǎng)[J].中學數學，2022（16）：77-78.