熊 蓉，張 敏，王 健，奚學(xué)程，趙萬生

（上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240）

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪葉片氣膜冷卻孔電火花小孔加工過程中，裝夾位姿偏差和鑄造形面誤差會(huì)影響氣膜孔的加工精度，降低冷卻效率。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在氣膜冷卻孔的誤差修正方面做了大量的研究。趙奇[1]通過光學(xué)三維掃描儀獲取毛坯葉片點(diǎn)云數(shù)據(jù)與設(shè)計(jì)模型進(jìn)行奇異值分解-迭代最近點(diǎn)（SVD-ICP）精確配準(zhǔn)，配準(zhǔn)平均誤差在0.01 mm以內(nèi)，并在配準(zhǔn)完成后逐層分析葉片鑄造誤差及定位誤差。張定華[2]通過三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量葉片鑄件后重構(gòu)型面，與CAD標(biāo)準(zhǔn)模型配準(zhǔn)得到精鑄位移場(chǎng)。Martin[3]提出在鑄造葉片時(shí)嵌入加工定位基準(zhǔn)，采用結(jié)構(gòu)光和熱成像法提取基準(zhǔn)特征后修正鑄造誤差。上述文獻(xiàn)在減小渦輪葉片氣膜冷卻孔鑄造和裝夾定位誤差等方面進(jìn)行了研究，但未考慮采集葉片數(shù)據(jù)時(shí)測(cè)量設(shè)備安裝偏差等對(duì)測(cè)量精度的影響，并且測(cè)量數(shù)據(jù)的點(diǎn)云配準(zhǔn)方法通常采用點(diǎn)-點(diǎn)的基礎(chǔ)ICP算法[4]，對(duì)初始位置敏感，易陷入局部最優(yōu)解。

本文通過在自主搭建的渦輪葉片非接觸式激光測(cè)量平臺(tái)上進(jìn)行點(diǎn)激光傳感器的標(biāo)定，補(bǔ)償因缺乏安裝基準(zhǔn)而帶來的安裝誤差，在獲取渦輪葉片精確三維測(cè)量點(diǎn)云數(shù)據(jù)之后，與設(shè)計(jì)模型點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行高精度Go-ICP算法[10]配準(zhǔn)，有效搜索全局三維空間，以獲得從測(cè)量點(diǎn)云到模型點(diǎn)云的旋轉(zhuǎn)平移矩陣、補(bǔ)償裝夾位姿和形面偏差，這是實(shí)現(xiàn)氣膜冷卻孔自適應(yīng)加工的基礎(chǔ)。

1 點(diǎn)激光傳感器標(biāo)定算法

如圖1所示，激光傳感器的光束與X、Y、Z軸的夾角可用（nx，ny，nz）來表示，其中nx、ny、nz分別為激光射線單位方向矢量與X、Y、Z軸正方向的夾角余弦值。由于激光傳感器缺乏安裝基準(zhǔn)，實(shí)際測(cè)量中的點(diǎn)激光傳感器的光束與機(jī)床Z軸豎直方向不平行，存在姿態(tài)偏差；同時(shí)，由于機(jī)床的直線軸零位誤差，測(cè)量坐標(biāo)系原點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)存在位置偏移（δx，δy，δz），相關(guān)位置關(guān)系見圖1。安裝誤差會(huì)降低激光器測(cè)量精度，因此需進(jìn)行點(diǎn)激光傳感器標(biāo)定，以補(bǔ)償安裝誤差。

圖1 點(diǎn)激光傳感器實(shí)際測(cè)量誤差示意圖

常見的激光傳感器安裝位姿校準(zhǔn)方法有機(jī)械標(biāo)定、試驗(yàn)塊整體標(biāo)定和標(biāo)定塊標(biāo)定[5]。其中，機(jī)械標(biāo)定需人力操作，效率低；試驗(yàn)塊整體標(biāo)定耦合多個(gè)偏差，計(jì)算成本大；標(biāo)定塊標(biāo)定使用標(biāo)準(zhǔn)件，標(biāo)定精度高，便于操作。

1.1 機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

利用非接觸式激光測(cè)量平臺(tái)的五軸（X、Y、Z、B、C）高精度數(shù)控機(jī)床，建立了三個(gè)坐標(biāo)系（圖2）。

圖2 測(cè)量平臺(tái)坐標(biāo)系示意圖

（1）機(jī)床坐標(biāo)系Om-xmymzm：以五軸數(shù)控機(jī)床的X、Y、Z直線軸光柵尺的絕對(duì)零點(diǎn)位置為原點(diǎn)Om，xm、ym、zm方向與機(jī)床X、Y、Z軸方向相同。

（2）工件坐標(biāo)系Ow-xwywzw：以機(jī)床B、C旋轉(zhuǎn)軸交點(diǎn)為原點(diǎn)Ow，當(dāng)機(jī)床B、C軸坐標(biāo)均為0時(shí)，xw、yw、zw方向與xm、ym、zm方向相同。

（3）測(cè)量坐標(biāo)系O-xtytzt：以點(diǎn)激光傳感器激光發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)Ot，xt、yt、zt方向與xm、ym、zm方向相同。

基于測(cè)量平臺(tái)各坐標(biāo)系和機(jī)構(gòu)學(xué)理論建立機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，推導(dǎo)得到的矩陣變換關(guān)系如下：

空間點(diǎn)的坐標(biāo)從工件坐標(biāo)系Ow-xwywzw變換到機(jī)床坐標(biāo)系Om-xmymzm的變換矩陣Gmw（θ）：

空間點(diǎn)的坐標(biāo)從測(cè)量坐標(biāo)系Ot-xtytzt變換到工件坐標(biāo)系Ow-xwywzw的變換矩陣Gwt（θ）：

式中：θx、θy、θz、θb、θc為工件坐標(biāo)系中各軸的位移量；Δxw0、Δyw0、Δzw0為工件坐標(biāo)系原點(diǎn)Ow距離機(jī)床坐標(biāo)系原點(diǎn)Om的初始距離；Δxt0、Δyt0、Δzt0為測(cè)量坐標(biāo)系原點(diǎn)Ot距離機(jī)床坐標(biāo)系原點(diǎn)Om的初始距離。

由幾何關(guān)系可知，（Δxt0-Δxw0，Δyt0-Δyw0、Δzt0-Δzw0）為激光傳感器發(fā)射點(diǎn)Ot在工件坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

測(cè)量結(jié)果為L(zhǎng)的測(cè)量點(diǎn)P在測(cè)量坐標(biāo)系中的坐標(biāo) （xt，yt，zt）T轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系坐標(biāo)（xw，yw，zw）T，則有：

將式（3）矩陣相乘后展開可得：

整理可得：

式中：A為cosθccosθb，B為sinθc，C為cosθcsinθb；（δtx，δty，δtz）為測(cè)量光點(diǎn)Ot在工件坐標(biāo)系的坐標(biāo)。

1.2 標(biāo)定平面幾何約束

如圖3所示，測(cè)量平臺(tái)的夾具側(cè)平面為平面度2μm的精加工平面，將該平面作為標(biāo)定平面，以前節(jié)推導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)矩陣變換關(guān)系式（5）為基礎(chǔ)進(jìn)行標(biāo)定。旋轉(zhuǎn)數(shù)控機(jī)床B軸至該標(biāo)定平面與機(jī)床X軸垂直，則標(biāo)定平面上的測(cè)量點(diǎn)均滿足空間幾何方程：x=d，其中d為標(biāo)定平面長(zhǎng)度的一半。

圖3 標(biāo)定平面

調(diào)整點(diǎn)激光傳感器，在標(biāo)定平面上測(cè)量點(diǎn)P，記錄測(cè)量結(jié)果L1之后，運(yùn)動(dòng)一段距離Δz再次記錄測(cè)量結(jié)果L2?；诩す鈧鞲衅骺臻g測(cè)量軌跡及測(cè)量距離，結(jié)合測(cè)量點(diǎn)均位于標(biāo)定平面這一幾何約束條件，由式（5）可得：

變換三組空間姿態(tài)（θx，θy，θz，θb，θc），測(cè)量3次可建立僅包含nx、ny、nz三個(gè)未知量的線性方程組，其中L11、L12為第一組姿態(tài)的測(cè)量結(jié)果，L21、L22為第二組姿態(tài)的測(cè)量結(jié)果，L31、L32為第三組姿態(tài)的測(cè)量結(jié)果，經(jīng)求解計(jì)算可得激光傳感器激光束的姿態(tài)偏角誤差：

求解得到nx、ny、nz，再將上述測(cè)得的三個(gè)測(cè)量點(diǎn)對(duì)應(yīng)的空間姿態(tài) （θx，θy，θz，θb，θc）和距離L代入式（4），建立僅包含δx、δy、δz三個(gè)未知量的線性方程組，再求解計(jì)算可得到傳感器激光發(fā)射點(diǎn)與測(cè)量坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置偏移，最終達(dá)到標(biāo)定目的。

1.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為檢驗(yàn)前述標(biāo)定算法的準(zhǔn)確性，利用圖4所示直徑25.406 mm、圓度0.0014 mm的磨砂標(biāo)準(zhǔn)球進(jìn)行驗(yàn)證，并按照1.1節(jié)和1.2節(jié)所述的標(biāo)定步驟完成標(biāo)定，得到位置偏移和姿態(tài)偏角。數(shù)控機(jī)床帶動(dòng)磨砂標(biāo)準(zhǔn)球到達(dá)點(diǎn)激光傳感器的測(cè)量范圍內(nèi)，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)球進(jìn)行掃描。對(duì)得到的球面點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行均勻采樣后，按照標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行坐標(biāo)換算，最終獲得的工件坐標(biāo)系點(diǎn)云數(shù)據(jù)見圖5。

圖4 測(cè)量磨砂標(biāo)準(zhǔn)球

圖5 球面點(diǎn)云數(shù)據(jù)

隨機(jī)抽樣一致性（RANSAC）算法[6]可從一組包含噪聲的數(shù)據(jù)集中通過迭代估計(jì)數(shù)學(xué)模型、算法輸入需擬合的數(shù)據(jù)和適應(yīng)于數(shù)據(jù)的模型，最終輸出與數(shù)據(jù)最匹配的模型參數(shù)和擬合誤差。該算法的魯棒性好，即使噪聲數(shù)據(jù)較明顯也能估計(jì)模型參數(shù)。

本文采用RANSAC算法從點(diǎn)云中剔除無效數(shù)據(jù)之后擬合球面，最終迭代結(jié)束得到的球面測(cè)量直徑為25.497 mm。測(cè)量值和真實(shí)值（25.406 mm）的偏差為0.091 mm，誤差為0.36%，滿足點(diǎn)激光傳感器標(biāo)定精度要求。

至此，本文已完成點(diǎn)激光傳感器安裝誤差補(bǔ)償，可保證非接觸式測(cè)量平臺(tái)激光測(cè)量渦輪葉片形面的精度。獲得精確實(shí)測(cè)點(diǎn)云后，本文還進(jìn)行了葉片實(shí)測(cè)點(diǎn)云與設(shè)計(jì)模型點(diǎn)云之間的配準(zhǔn)，解析出位姿偏差?；谖蛔似钚拚龤饽だ鋮s孔加工位置，是實(shí)現(xiàn)渦輪葉片氣膜冷卻孔自適應(yīng)加工的基礎(chǔ)。

2 點(diǎn)云配準(zhǔn)

2.1 模型點(diǎn)云和測(cè)量點(diǎn)云

由于渦輪葉片的上、下底面為精基準(zhǔn)平面，而中間自由曲面區(qū)域存在較大形面誤差，本文從渦輪葉片設(shè)計(jì)模型中均勻劃分網(wǎng)格提取形面點(diǎn)云，進(jìn)行均勻稀疏化處理后作為模型點(diǎn)云，對(duì)點(diǎn)激光傳感器的激光束姿態(tài)偏角和位置偏移按前述標(biāo)定方法進(jìn)行補(bǔ)償，再對(duì)實(shí)際渦輪葉片自由形面區(qū)域進(jìn)行測(cè)量，提取精確實(shí)測(cè)點(diǎn)云。圖6是模型點(diǎn)云和測(cè)量點(diǎn)云在工件坐標(biāo)系下的初始位置。

圖6 模型點(diǎn)云和測(cè)量點(diǎn)云初始位置

2.2 基礎(chǔ)ICP算法

點(diǎn)云配準(zhǔn)指的是輸入目標(biāo)點(diǎn)云Q和源點(diǎn)云P，配準(zhǔn)算法輸出一個(gè)包含平移旋轉(zhuǎn)的矩陣，該矩陣使得源點(diǎn)云變換后兩點(diǎn)云之間的重合程度在設(shè)定目標(biāo)函數(shù)下達(dá)到最高。目前應(yīng)用最廣泛的點(diǎn)云配準(zhǔn)算法是迭代最近點(diǎn)（ICP）算法。Besl[4]提出需要初始位姿的點(diǎn)云精配準(zhǔn)ICP算法，通過尋找一個(gè)最優(yōu)空間變換將一幅點(diǎn)云映射到另一幅點(diǎn)云，從而達(dá)到信息融合的目的。ICP問題可描述為式（8）：

該算法流程是：利用初始變換R0和T0或上一次迭代得到的Rk-1和Tk-1對(duì)源點(diǎn)云進(jìn)行變換，找出每一個(gè)點(diǎn)在目標(biāo)點(diǎn)云中的最近點(diǎn)，可用KD-tree算法[9]加速查找過程；查找到最近點(diǎn)后計(jì)算點(diǎn)云質(zhì)心，通過奇異值SVD分解得到最優(yōu)變換，使得損失最小；反復(fù)迭代進(jìn)行“查找對(duì)應(yīng)點(diǎn)”和“求解最優(yōu)變換”直到滿足達(dá)到最大迭代次數(shù)、損失小于閾值等終止條件。

基礎(chǔ)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)ICP算法在初始位置差異較小的情況下收斂得較好，但未充分利用點(diǎn)云的結(jié)構(gòu)信息，易陷入局部最優(yōu)解，會(huì)對(duì)配準(zhǔn)精度產(chǎn)生較大影響。自ICP算法提出以來，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)。例如：PLICP算法[7]是點(diǎn)與直線匹配，該算法為二階收斂，收斂速度大于一階收斂的基礎(chǔ)ICP算法；NICP算法[8]是綜合考慮點(diǎn)的距離、點(diǎn)所在曲面的曲率和法向量方向匹配，對(duì)匹配點(diǎn)不同方向上的誤差進(jìn)行加權(quán)，可避免一些明顯錯(cuò)誤的匹配。以上算法都存在容易陷入局部最優(yōu)值的缺點(diǎn)，而Go-ICP算法可有效搜索整個(gè)解空間，保證尋找全局最優(yōu)解。

2.3 Go-ICP算法

Go-ICP算法[10]建立在基礎(chǔ)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)ICP算法的基礎(chǔ)上，與分支界定算法（BnB）[11]相結(jié)合，每當(dāng)搜索到一個(gè)更優(yōu)解時(shí)就重新定義目標(biāo)函數(shù)，再用ICP的結(jié)果更新上界，重新進(jìn)行分支界定搜索直到收斂，該算法可有效搜索整個(gè)三維空間，確保尋找全局最優(yōu)解。分支界定算法是一種在問題解空間樹上搜索問題解的常用算法，分支是指把可行解空間反復(fù)分割成子集，定界是指針對(duì)每一個(gè)子集內(nèi)的解計(jì)算一個(gè)目標(biāo)下界。在求解過程中可進(jìn)行剪枝，不予考慮分支后邊界已經(jīng)超過已知子集邊界的子集，可縮小搜索空間。

BnB算法和ICP算法在搜索過程中協(xié)同更新上界（圖7）。ICP算法逐個(gè)收斂到局部最小值，每個(gè)局部最小值都比之前的小，最終達(dá)到全局最小值。

圖7 ICP算法和BnB算法協(xié)同過程示意圖

Go-ICP算法使用的是嵌套分支界定算法的搜索結(jié)構(gòu)，外層的BnB算法搜索最佳旋轉(zhuǎn)變換，內(nèi)層的BnB算法搜索對(duì)應(yīng)的最佳平移變換，具體內(nèi)外層算法流程見圖8和圖9。當(dāng)外層的BnB算法發(fā)現(xiàn)有立方體的上界值低于目前目標(biāo)函數(shù)值時(shí)，就會(huì)調(diào)用ICP算法以跳出局部最小值，達(dá)到一個(gè)新的局部最小值，該局部最小值將用于更新上界。

圖8 Go-ICP外層算法

圖9 Go-ICP內(nèi)層算法

2.4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

將模型點(diǎn)云和測(cè)量點(diǎn)云數(shù)據(jù)歸一化至[-1，1]范圍，用Kd-tree算法加快最近點(diǎn)計(jì)算速度，在CPU為Intel i7-10700 2.9 GHz、內(nèi)存16 G的電腦上進(jìn)行Go-ICP算法點(diǎn)云配準(zhǔn)，設(shè)置配準(zhǔn)誤差收斂閾值為0.001 mm。配準(zhǔn)結(jié)果見圖10，模型點(diǎn)云與實(shí)測(cè)點(diǎn)云基本準(zhǔn)確配合，配準(zhǔn)后兩組點(diǎn)云之間的歐幾里得距離平方誤差的總和為0.0121 mm。

圖10 測(cè)量點(diǎn)云和模型點(diǎn)云配準(zhǔn)結(jié)果

為進(jìn)一步驗(yàn)證Go-ICP算法輸出的旋轉(zhuǎn)平移量的準(zhǔn)確性，本文進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，在UG中對(duì)模型點(diǎn)云手動(dòng)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移變換后得到仿真測(cè)量點(diǎn)云，在記錄真實(shí)旋轉(zhuǎn)角度和平移量后進(jìn)行Go-ICP點(diǎn)云配準(zhǔn)，再?gòu)呐錅?zhǔn)結(jié)果矩陣中提取旋轉(zhuǎn)角度和平移量，計(jì)算結(jié)果見表1。可見，Go-ICP方法得到的配準(zhǔn)精度較高，與真實(shí)旋轉(zhuǎn)平移量相比，旋轉(zhuǎn)角度α、β、γ的誤差率分別為1.576%、1.628%、0.814%，平移量x、y、z的誤差率分別為2.44%、1.99%、1.20%。因此，該算法已能滿足渦輪葉片點(diǎn)云進(jìn)行配準(zhǔn)分析的精度要求，證明Go-ICP算法的有效性和可行性。

表1 配準(zhǔn)仿真計(jì)算結(jié)果

3 結(jié)束語

針對(duì)測(cè)量平臺(tái)點(diǎn)激光傳感器發(fā)射點(diǎn)存在位置偏移和光束方向偏角的問題，提出了基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和標(biāo)定平面幾何約束的標(biāo)定算法，構(gòu)建線性方程組求解6個(gè)偏差量，以達(dá)到標(biāo)定目的。掃描磨砂標(biāo)準(zhǔn)球點(diǎn)云后擬合球面，擬合結(jié)果驗(yàn)證了前述標(biāo)定算法的準(zhǔn)確性。按照標(biāo)定方法進(jìn)行點(diǎn)云坐標(biāo)調(diào)整補(bǔ)償，得到葉片實(shí)測(cè)點(diǎn)云，使用結(jié)合了基礎(chǔ)ICP算法和分支界定BnB算法的Go-ICP算法，對(duì)實(shí)測(cè)點(diǎn)云和模型點(diǎn)云進(jìn)行配準(zhǔn)，獲得旋轉(zhuǎn)平移矩陣。仿真配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)表明該算法的可行性和有效性，為今后補(bǔ)償渦輪葉片裝夾位姿偏差進(jìn)而修正氣膜冷卻孔加工位置和角度并進(jìn)行自適應(yīng)加工提供了基礎(chǔ)和思路。