胡玲玲，何立國

(沈陽工業(yè)大學 理學院,遼寧 沈陽 110870)

0 引言

有限冪零群是群論的一類十分重要的群.極大子群在有限冪零群的研究中有著非常重要的作用.有限冪零群的極大子群的數(shù)量性質(zhì)能夠反映出該群的許多性質(zhì).如文獻[1]刻畫了極大子群的個數(shù)小于5的有限群的結(jié)構(gòu)；文獻[2]研究了恰有5個極大子群的有限冪零群、非冪零群的群結(jié)構(gòu)；文獻[5]刻畫了恰有9和10個極大子群的有限冪零群的群結(jié)構(gòu)；文獻[6]刻畫了恰有11個極大子群的有限冪零群的群結(jié)構(gòu).本文繼文獻[5-6]的工作，對恰有12個極大子群的有限冪零群的結(jié)構(gòu)進行刻畫.

1 相關(guān)引理

引理1[6]不存在恰有2個極大子群的p-群.即非循環(huán)p-群的極大子群個數(shù)至少為3.

引理2[6]群G恰有一個極大子群的充要條件是：G為素數(shù)冪階循環(huán)群.

引理3[5]設(shè)G是有限p-群,且

|G/φ(G)|=pd,

特別地,若G非循環(huán),則p=2時,G的極大子群的個數(shù)至少為3;當p>2時,G的極大子群的個數(shù)至少為4.

2 主要結(jié)果

定理設(shè)G是有限冪零群,則G恰有12個極大子群的充要條件是G是下列情形之一：

(1)G=P1×P2×P3×P4×P5×P6×P7×P8×P9×P10×P11×P12,其中Pi∈Sylpi(G)，且為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(2)G=P1×P2×P3×P4×P5×P6×P7×P8×P9×P10,其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的2-群,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,P10為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(3)G=P1×P2×P3×P4×P5×P6×P7×P8×P9,其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的3-群,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(4)G=P1×P2×P3×P4×P5×P6×P7,其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的5-群,P2,P3,P4,P5,P6,P7為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(5)G=P1×P2×P3×P4×P5×P6×P7,其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為5元生成的2-群,P2為2元生成的3-群,P3,P4,P5,P6,P7為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(6)G=P1×P2×P3×P4×P5×P6,其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為3元生成的2-群,P2,P3,P4,P5,P6為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(7)G=P1×P2×P3×P4×P5,其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的7-群,P2,P3,P4,P5為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(8)G=P1×P2×P3×P4×P5,其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的2-群,P2為2元生成的5-群,P3,P4,P5為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(9)G=P1×P2×P3×P4, 其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的3-群,P2為2元生成的5-群,P3,P4為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(10)G=P1×P2×P3, 其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的9-群,P2,P3為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(11)G=P1×P2×P3, 其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的2-群,P2為2元生成的7-群,P3為素數(shù)冪階循環(huán)群.

(12)G=P1×P2×P3, 其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為3元生成的2-群,P2為2元生成的3-群,P3為素數(shù)冪階循環(huán)群.

(13)G=P1×P2, 其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的3-群,P2為2元生成的7-群.

(14)G=P1, 其中P1∈Sylp1(G)，且為2元生成11-群.

證明先證充分性.

已知G是有限冪零群,證明當G是上述14種情況時,G有12個極大子群.

當G是情況(1)時,由于Pi(i=1,2，…,12)是素數(shù)冪階循環(huán)群，由引理2可知Pi(i=1,2，…,12)恰有一個極大子群,從而由引理4可知G有

個極大子群.

當G是情況(2)時，由于P1是2元生成的2-群,故由引理3可知P1極大子群的個數(shù)為

又由于Pi(i=2，…,12)為素數(shù)冪階循環(huán)群,故由引理2可知Pi(i=1,2，…,12)恰有一個極大子群,從而G有

個極大子群.當G是余下的12種情況時,類似情況(2)的證明可得G有12個極大子群.

下證必要性.

已知有限冪零群G恰有12個極大子群，證明G必為上述14種情況之一.

由于G是冪零群,所以G=P1×P2×…×Ps,其中Pi∈Sylpi(G),p1

(1)當s=12,由引理4可知

從而Pi(i=1,2,3,…,12)恰有一個極大子群.又由引理2可知Pi為不同素數(shù)冪階的循環(huán)群.

綜上可知，當s=12時,G=P1×P2×P3×P4×P5×P6×P7×P8×P9×P10×P11×P12,其中Pi∈Sylpi(G)，且為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(2)當s=11時,由引理4可知至少存在一個di≥2.不妨假定d1≥2,于是P1是非循環(huán)群.又由引理3和引理1可知P1至少存在3個極大子群,從而由引理4可知G至少存在13個極大子群,矛盾.

綜上當s=10時,G=P1×P2×P3×P4×P5×P6×P7×P8×P9×P10,其中Pi∈Sylpi(G),且P1為2元生成的2-群,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,P10為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(4)當s=9時,若只有d1≥2,即P1有4個極大子群，由引理3可得等式

從而p1=3,d1=2，故P1為2元生成的3-群.若d1≥2,d2≥2，由引理1和引理3可知P1，P2各至少有3個極大子群，即G至少有13個極大子群,矛盾.

綜上當s=9時,G=P1×P2×P3×P4×P5×P6×P7×P8×P9,其中Pi∈Sylpi(G),且P1為2元生成的3-群,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(5)當s=8時,若只有d1≥2,即P1有5個極大子群，由引理3可知，

而此時沒有符合條件的值使之成立.若d1≥2,d2≥2,即P1,P2共有6個極大子群，故由引理3可知

由等式可得p1=p2=2，與p1≠p2矛盾.

(6)當s=7時,若只有d1≥2,由

可得p1=5,d1=2,故P1為2元生成的5-群.若d1≥2,d2≥2,由

可得p1=2,d1=5,p2=3,d2=2,從而P1為5元生成的2-群,P2為2元生成的3-群.

綜上，當s=7時G有兩種情況,分別為：

G=P1×P2×P3×P4×P5×P6×P7,其中Pi∈Sylpi(G),且P1為2元生成的5-群,P2,P3,P4,P5,P6,P7為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

G=P1×P2×P3×P4×P5×P6×P7,其中Pi∈Sylpi(G),且P1為5元生成的2-群,P2為2元生成的3-群,P3,P4,P5,P6,P7為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(7)當s=6時,若只有d1≥2,由等式

可推得p1=2,d1=3,故P1為3元生成的2-群.若d1≥2,d2≥2,由

和p1

綜上，當s=6時,G=P1×P2×P3×P4×P5×P6,其中Pi∈Sylpi(G),且P1為3元生成的2-群,P2,P3,P4,P5,P6為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(8)當s=5時,若只有d1≥2,則由等式

可知p1=7,d1=2,故P1為2元生成7-群.若d1≥2,d2≥2,由

可得p1=2,d1=2,p2=5,d2=2,故P1為2元生成的2-群,P2為2元生成的5-群.

綜上，當s=5時,G有兩種情況,分別為：

G=P1×P2×P3×P4×P5,其中Pi∈Sylpi(G),且P1為2元生成的7-群,P2,P3,P4,P5為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

G=P1×P2×P3×P4×P5,其中Pi∈Sylpi(G),且P1為2元生成的2-群,P2為2元生成的5-群,P3,P4,P5為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(9)當s=4時,若只有d1≥2,即P1有9個極大子群，故

但經(jīng)過計算可知沒有滿足條件的值使之成立.若d1≥2,d2≥2,由等式

可得p1=2,d1=3,p2=2,d2=3,或p1=3,d1=2,p2=5,d2=2.又由于p1

且p1

綜上當s=4時,G=P1×P2×P3×P4,其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的3-群,P2為2元生成的5-群,P3,P4為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

(10)當s=3時,若只有d1≥2,由

可知p1=9,d1=2,故P1是2元生成9-群.若d1≥2,d2≥2,由等式

可知p1=2,d1=2,p2=7,d2=2,故P1是2元生成2-群,P2為2元生成的7-群，或p1=2,d1=3,p2=3,d2=2,故P1是3元生成2-群,P2為2元生成的3-群.若d1≥2,d2≥2,d3≥2,由

且p1

綜上，當s=3時，G有三種情況，分別為：

G=P1×P2×P3,其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的9-群,P2,P3為不同素數(shù)冪階循環(huán)群.

G=P1×P2×P3,其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的2-群,P2為2元生成的7-群,P3為素數(shù)冪階循環(huán)群.

G=P1×P2×P3,其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為3元生成的2-群,P2為2元生成的3-群,P3為素數(shù)冪階循環(huán)群.

(11)當s=2時,若只有d1≥2,由引理3可得

沒有滿足條件的值使之成立.若d1≥2,d2≥2,由

可知p1=3,d1=2,p2=7,d2=2,故P1是2元生成3-群,P2為2元生成的7-群.

綜上當s=2時,G=P1×P2,其中Pi∈Sylpi(G)，且P1為2元生成的3-群,P2為2元生成的7-群.

綜上當s=1時,G=P1,其中P1∈Sylp1(G)，且為2元生成11-群.

3 結(jié)語

利用冪零群理論中的循環(huán)子群、Sylow子群的性質(zhì)給出了恰有12個極大子群的有限冪零群的結(jié)構(gòu),將極大子群個數(shù)對有限群結(jié)構(gòu)的影響擴展到了12個極大子群對有限冪零群結(jié)構(gòu)的影響,為進一步探討恰有12個極大子群的有限冪零群所具有的其他性質(zhì)提供了便利.