賈布裕，茅思奕，陳揚(yáng)文，顏全勝，余曉琳

(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東，廣州 510640)

自從英國千禧橋及法國Solferino 橋等一系列人行橋大幅橫向振動(dòng)事件發(fā)生后，雖然人們已經(jīng)開始廣泛關(guān)注并研究人行橋的振動(dòng)安全問題[1-14]，但事實(shí)上目前關(guān)于人行橋橫向大幅振動(dòng)的機(jī)理仍未得到明確的解釋。關(guān)于人行橋橫向大幅振動(dòng)的機(jī)理，目前主要有2 大類較為受歡迎的模型：一種是同步鎖定模型(synchronization locked model，SLM)；一種是倒擺模型(inverted pendulum model，IPM)。SLM 中具有代表性的有Fujino 的線性直接共振模型[11-12]和Strogatz 的相位同步耦合模型[15-17]。線性直接共振模型一般假設(shè)行人激勵(lì)與橋梁響應(yīng)無關(guān)，將橋梁大幅度橫向振動(dòng)視為由行人橫向步頻與橋梁某階頻率一致引起共振而造成，其中單人橫向荷載可采用簡諧函數(shù)表示。Strogatz 提出的相位同步耦合模型，其背景理論為生物學(xué)中的振子同步耦合理論，核心模型是日本學(xué)者Kuramoto提出的Kuramoto 模型[18-20]。起初，Kuramoto 模型研究對象是生物學(xué)中的“擺動(dòng)將和同步相隨”問題，如夜晚中螢火蟲群體同步閃爍現(xiàn)象。Strogatz巧妙地將這一理論應(yīng)用到了人行橋橫向振動(dòng)中[15]，建立了橋梁振動(dòng)和人群個(gè)體相位變化耦合的方程組，并利用該模型的穩(wěn)定條件解釋了橋梁發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象。SLM 的核心假設(shè)是行人行走行為(尤其是步頻)會(huì)受橋梁振動(dòng)影響發(fā)生變化。當(dāng)橋梁振動(dòng)影響到行人行走舒適性的時(shí)候，行人的步頻將發(fā)生變化，趨向于和橋梁振動(dòng)同步，導(dǎo)致橋梁振動(dòng)進(jìn)一步增強(qiáng)；而橋梁振動(dòng)增強(qiáng)時(shí)，又會(huì)進(jìn)一步刺激更多的人群參與到與橋梁振動(dòng)同步中，繼而使橋梁振動(dòng)更加明顯，形成一個(gè)惡性循環(huán)。IPM 由Macdonald 等[5,21]提出。基于Mackinnon 等[22]和Hof 等[23]的人體平衡學(xué)，Macdonald 近似地把行人等效為一個(gè)由2 個(gè)交替的剛性桿支撐的質(zhì)量體，并將行人橫向力視為受人體平衡策略控制的重心慣性力，他認(rèn)為行人是依靠調(diào)節(jié)步伐位置而不是步頻來維持本身的舒適和平衡，而這個(gè)平衡控制策略來源于Hof 等[23]提出的人體平衡策略，即人體質(zhì)心不會(huì)超過足壓中心，并保有一定的安全裕度。值得注意的是，IPM 與SLM 的不同之處在于，其認(rèn)為行人是依靠調(diào)節(jié)步伐位置而不是步頻來維持本身的舒適和平衡，換言之，IPM 認(rèn)為人-橋相互作用引起的自激力同樣足夠引起橋梁振動(dòng)失穩(wěn)，而行人同步鎖定并不是橋梁振動(dòng)失穩(wěn)的前提條件。

除了理論基礎(chǔ)不同，SLM 和IPM 還存在一個(gè)很大的不同：SLM 大部分是基于現(xiàn)場試驗(yàn)的宏觀模型，而IPM 則屬于基于室內(nèi)試驗(yàn)的微觀模型。事實(shí)上，一直存在著關(guān)于宏觀模型和微觀模型孰優(yōu)孰劣的爭論：微觀模型本質(zhì)上是一種基于數(shù)據(jù)反推的模型，無法正確描述橫向大幅振動(dòng)機(jī)理，采用微觀模型者往往認(rèn)為宏觀模型過于粗糙，宏觀模型得到的結(jié)果數(shù)據(jù)并不一定能反映實(shí)際情況；而采用宏觀模型者則認(rèn)為微觀模型的試驗(yàn)環(huán)境和現(xiàn)場不一致(如人群效應(yīng)、橋梁環(huán)境對行人行為的影響)。從既有的研究來看[9,21,24-28]，IPM 更具普適性。但I(xiàn)PM 存在著一個(gè)被質(zhì)疑的問題：采用IPM 得到的對應(yīng)于正常步頻的速度同相自激力分量系數(shù)cp(或稱為行人施加等效阻尼系數(shù))遠(yuǎn)小于實(shí)測值(這導(dǎo)致其計(jì)算得出的振動(dòng)失穩(wěn)臨界人數(shù)遠(yuǎn)大于實(shí)測人數(shù))，如圖1 所示。產(chǎn)生這個(gè)問題的根源在于，IPM 產(chǎn)生于室內(nèi)試驗(yàn)環(huán)境，只能考慮單人在特定振動(dòng)平臺(tái)上(一般采用改裝跑步機(jī))的行走特性，不能考慮人群在實(shí)際橋梁中的行走特性，尤其忽視了真實(shí)存在的人群同步效應(yīng) (而這正是SLM 模型中的理論假設(shè))。因此，有必要考慮兼容SLM 和IPM 的可能性。事實(shí)上，McRobie 的研究工作[29]已表明：如果在IPM 中考慮同步效應(yīng)將會(huì)使其結(jié)果更合理些。遺憾的是，McRobie 雖然認(rèn)識(shí)到了這點(diǎn)，但他并沒有給出如何在IPM 中考慮同步效應(yīng)的方法[29-30]。

圖1 IPM 的cp 和實(shí)橋測試所得cp[1,31]Fig. 1 Curve of cp [1,31] predicted by IPM compared with those obtained from full-scale measurements

啟發(fā)于McRobie 的工作，本研究提出了一種新型人行橋人致橫向振動(dòng)模型：IP-K(inverted pendulum―Kuramoto)模型。在所提模型中，采用McRobie 方法得到的考慮長期效應(yīng)的IPM 解析解(正常情況下IPM 無解析解)，同時(shí)引入相位同步耦合模型—Kuramoto 模型(以便考慮同步效應(yīng)以及橋梁振動(dòng)對行人同步效應(yīng)的影響)，經(jīng)過細(xì)致推導(dǎo)，獲得改進(jìn)的IPM 模型(即IP-K 模型)。

1 IPM 長期效應(yīng)解析解

1.1 IPM 模型

1.2 IPM 的長期解

圖2 行人倒擺模型Fig. 2 Inverted pendulum model

2 相位同步耦合模型

2.1 Kuramoto 模型

Kuramoto 模型最初起源于集體同步現(xiàn)象研究：一個(gè)規(guī)模較大的振子系統(tǒng)自發(fā)地鎖定在一個(gè)共同的頻率上，盡管每個(gè)振子的固有頻率存在著差異[35]。生物學(xué)上的例子包括：心臟起搏器細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)；同步閃爍的螢火蟲群；蟋蟀齊聲鳴叫等。在物理學(xué)和工程學(xué)中也有許多例子，如激光陣列和微波振蕩等。集體同步在自然界中無處不在，一般被認(rèn)為它與大腦中阿爾法節(jié)奏的產(chǎn)生有關(guān)。對集體同步問題研究具有開創(chuàng)性貢獻(xiàn)的是日本學(xué)者Kuramoto[18]，他用攝動(dòng)平均法證明了任何弱耦合的動(dòng)力長期演變系統(tǒng)都可由以下的一般性相位方程給出：

圖3 序參量示意圖Fig. 3 Schematic of order parameter

2.2 基于Kuramoto 模型的橋上行人相位演化

相位同步耦合模型的基本思想是：系統(tǒng)中的各個(gè)振子頻率最初是隨機(jī)分布的，但如果外部刺激足夠強(qiáng)大或者初始頻率接近于中心控制頻率時(shí)，各個(gè)振子頻率將會(huì)與中心控制頻率同步，并被鎖定。行人作為一個(gè)生物體，受到橋梁振動(dòng)或者其他周圍行人運(yùn)動(dòng)影響刺激時(shí)，同樣會(huì)發(fā)生人-橋同步鎖定或者人-人同步鎖定。本研究將只注重于人-橋同步鎖定，暫不考慮人-人同步鎖定。在人-橋同步鎖定中，橋梁振動(dòng)響應(yīng)(幅值、速度、加速度)是對行人產(chǎn)生影響的刺激源，因此，在式(11)基礎(chǔ)上，基于Kuramoto 模型的橋上行人相位演化可寫為：

Θ˙i=ωi+Z(A,x˙,x¨)sin(Ψ-Θi),i=1,2,···,N(12)

式中：ωi為行人初始步頻； Θi為行人運(yùn)動(dòng)當(dāng)前相位， Ψ為橋梁振動(dòng)相位。Strogatz 將橋梁振幅視為刺激源[15](Z(A,x˙,x¨)=EA)：

Θ˙i=ωi+EiAsin(Ψ-Θi),i=1,2,···,N(13)

其中，Ei為行人對橋梁振幅A的敏感系數(shù)。Eckhardt則將橋梁振動(dòng)加速度視為刺激源[16]：Z(A,x˙,x¨)～x¨。本研究只考慮將橋梁振幅A視為刺激源的情況，同時(shí)設(shè)每個(gè)行人對橋梁振幅的敏感系數(shù)相等，即Ei=E。為直觀展示相位演化過程，圖4 給出了行人分別在橋梁零振幅、較大振幅諧波振動(dòng)下的行人相位演化軌跡圖(行人步頻和橋梁振動(dòng)頻率的初始比值為1.05)。圖4(a)對應(yīng)的是橋梁振動(dòng)幅度為零的情況，此時(shí)行人運(yùn)動(dòng)不受橋梁振動(dòng)影響，兩者之間頻率比將保持不變，行人相位在每個(gè)周期會(huì)以固定角度(相對橋梁運(yùn)動(dòng))滑移。對于橋梁較大振幅情況(圖4(b))，行人相對橋梁的相位滑移程度在每個(gè)周期不同，當(dāng)行人頻率接近橋梁頻率時(shí)，中間會(huì)經(jīng)歷一個(gè)間歇不連續(xù)的過渡過程，之后，行人的步頻將會(huì)收斂于橋梁頻率，同時(shí)兩者之間有一個(gè)特定相位差，與初始相位差無關(guān)[30]。

圖4 行人相位演化軌跡圖Fig. 4 Trajectory of pedestrian phase evolution

3 IP-K 模型

3.1 人-橋振動(dòng)控制系統(tǒng)方程

首先，直接給出橋梁振動(dòng)的模態(tài)方程：

3.2 人群部分同步狀態(tài)

通過下式將式(16b)轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中：

3.3 考慮人群部分同步的 cp修正

4 算例分析

英國倫敦千禧橋的跨徑組成為北跨81 m+中跨144 m+南跨108 m。考慮到北跨有較為完整的關(guān)于臨界人數(shù)的記錄，因此將千禧橋北跨作為分析對象。千禧橋大幅橫向振動(dòng)事故發(fā)生后，Arup 公司組織人群進(jìn)行了現(xiàn)場人致振動(dòng)測試[1]，其獲得的關(guān)鍵信息有：北跨的基頻、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、阻尼比分別為：1.03 Hz、113×103kg、4730×103kg/s2、0.006～0.008。同時(shí)在現(xiàn)場還觀測到，大概150 人～170 人就能引起20 mm 左右的大幅橫向振動(dòng)。假設(shè)每個(gè)行人質(zhì)量為75 kg，現(xiàn)采用上述方法對千禧橋北邊跨橫向振動(dòng)進(jìn)行分析。分別采用3 種模型：① Macdonald 提出的原始IPM(這里標(biāo)記為IPM-1)；② McRobie 提出的IPM 長期解模型(這里標(biāo)記為IPM-2)；③ 本研究所提模型(即IP-K 模型)，計(jì)算了千禧橋北邊跨的cp值。由于Macdonald[5]只給出了IPM-1 的[κ0,κ1]=[0, 0](相對速度控制規(guī)則)和[κ0,κ1]=[0, 1](絕對速度控制規(guī)則)這兩種步行規(guī)則的結(jié)果，因此這里先給出這兩種步行規(guī)則的比較結(jié)果(圖5)。本研究所提模型采用的其他主要參數(shù)設(shè)定如下：橋上行人數(shù)量Np=170；行人對橋梁振幅A的敏感系數(shù)E=12，柯西-洛倫茲分布尺度參數(shù)r=0.02(以上參數(shù)在后文不變，除非特殊聲明—如參數(shù)分析)。

圖5 不同模型的 cp結(jié)果比較Fig. 5 Comparison of cp results of different models

首先，忽略式(44)中的一次項(xiàng)和二次項(xiàng)，只考慮常數(shù)項(xiàng)(即g0)對cp的貢獻(xiàn)，這里不妨將其稱之為IP-K0 模型。這樣處理目的在于暫不考慮橋梁振幅對行人激勵(lì)的影響(即不考慮同步效應(yīng))，但這并不意味IP-K0 模型將等同于IPM-2 相等，盡管兩者都是采用長期解模型，但必須指出的是IP-K0 模型雖然忽略了同步效應(yīng)，但仍考慮了人群分布效應(yīng)(行人步頻的柯西-洛倫茲分布設(shè)定)，而IPM-2 是單人模型，無法考慮人群效應(yīng)(IPM-1 同樣如此)。圖5(a)給出了IP-K0 模型與IPM-1 以及IPM-2 的cp-fr0(fr0為行人步頻和橋梁橫向基頻之比的平均值)結(jié)果?？傮w上，三者曲線形狀及趨勢較為一致；且在fr0≈1(即行人橫向步頻接近橋梁振動(dòng)頻率時(shí)，或可稱之為步頻比分布中心，為簡便，后文一律采用分布中心來指代fr0≈1位置)處附近，三者大小相差較小。盡管如此，不同模型間的cp值還是存在一定差距(尤其是IP-K0 和IPM-2)。首先，在圖中可觀測到，不同模型結(jié)果大致在分布中心處交匯，而fr0一旦稍離分布中心這個(gè)點(diǎn)，IP-K0 和IPM-2 的cp值差異將拉開；其次相比IPM-2，IP-K0 模型得到的結(jié)果較小，這主要是因?yàn)镮P-K0 模型包含有人群分布效應(yīng)(行人步頻通過概率曲線分布，每人步頻的分布區(qū)間不盡相同)，換言之，IP-K0 模型得到的是一個(gè)整體平均的結(jié)果，這間接表明了考慮人群效應(yīng)的必要性。

圖5(b) 給出了本研究所提的完整IP-K 模型值(即式(44)，考慮人群分布效應(yīng)以及同步效應(yīng))與IPM-1 以及IPM-2 的比較結(jié)果。從圖中可知，當(dāng)[κ0,κ1]=[0,0]，IPM-2 在較低步頻的區(qū)域(并非行人正常步頻區(qū)域，行人正常步頻為fp≈0.9～1.1, 橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率為fs=1.03，fr0≈1 兩側(cè)附近區(qū)域才是行人正常步頻區(qū)域)具有較高的cp值，而在行人正常步頻區(qū)域卻偏低，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于實(shí)橋測試得到的值，IPM-1 同樣有這個(gè)現(xiàn)象，而這正是IPM 模型被詬病的所在，因?yàn)橛梅切腥苏２筋l區(qū)域的cp去分析橋梁振動(dòng)臨界條件是不合理的。McRobie在其文中指出[29]：“Bocian[24]為了維護(hù)IPM-1 的合理性，提出在密集人群中行人可能減慢步頻，可能低至0.6 Hz，以獲得較高的cp值。然而，這和新加坡樟宜機(jī)場的測試結(jié)果相矛盾[31,37]：樟宜機(jī)場測試得到的cp值較高，而現(xiàn)場照片表明人群密度低，在相關(guān)的頻率圖中也沒有證據(jù)顯示行人步頻有較大異常的減低。此外，認(rèn)為密集人群會(huì)降低步伐的觀點(diǎn)與IPM-1 支持者認(rèn)為的行人步頻總是很快因而無法與結(jié)構(gòu)低頻模式同步的觀點(diǎn)相矛盾。這說明不應(yīng)該忽視某些同步的可能性，而IPM模型完全忽視人群同步現(xiàn)象對橋梁大幅橫向振動(dòng)的潛在影響的設(shè)定并不一定合理”。從圖中可以看出，本研究所提的考慮同步效應(yīng)的IP-K 模型結(jié)果為一波峰形曲線，盡管在較低步頻的區(qū)域(fr0≈0.7 附近)IP-K 模型的cp值仍然低于IPM-2 結(jié)果，但在分布中心區(qū)域，IP-K 模型的cp值卻大幅提高，接近400，明顯高于IPM-2 結(jié)果。顯然，這個(gè)結(jié)果更合理，也更接近實(shí)測結(jié)果(圖1)，有力證明了考慮同步效應(yīng)的合理性。

當(dāng)[κ0,κ1]=[0, 1]時(shí)，在fr0＜1 區(qū)域(圖5(b)的左側(cè)區(qū)域)，IPM 模型(IPM-2 和IPM-1)的cp很小，且大部分出現(xiàn)負(fù)cp值(相當(dāng)于行人施加了正阻尼作用，進(jìn)一步抑制振動(dòng))，而到了fr0＞1 區(qū)域(圖5(b)的右側(cè)區(qū)域)，cp值有所上升，但都偏少，離實(shí)測值較遠(yuǎn)。而IP-K 模型cp結(jié)果仍然為一波峰形曲線，在分布中心附近出現(xiàn)較大的峰值cp值，雖然在左側(cè)區(qū)域也都較低，但沒有出現(xiàn)負(fù)cp值的情況。

5 參數(shù)分析

5.1 步行控制規(guī)則參數(shù)κ0、κ1的影響

從[κ0,κ1]=[0, 0]和[κ0,κ1]=[0,1]這兩種行人步行控制規(guī)則的對比結(jié)果中可知，這兩者結(jié)果存在一定相似性，但也存在著較大差異性。在左側(cè)區(qū)域，[κ0,κ1]=[0,0]的cp值明顯大于[κ0,κ1]=[0,1]的結(jié)果，而在右側(cè)區(qū)域，前者卻小于后者。Macdonald在提出IPM-1 模型時(shí)[5]，曾指出實(shí)際的行人步行控制規(guī)則應(yīng)該介于相對速度控制規(guī)則和絕對速度控制規(guī)則之間，即：[κ0,κ1]的實(shí)際合理值應(yīng)該在[0,0]和[0,1]之間。不過在IPM-1 模型中，沒有引入κ0、κ1的量化參數(shù)，只能給出相對速度控制規(guī)則(即[κ0,κ1]=[0,0])和絕對速度控制規(guī)則([κ0,κ1]=[0,1])這兩種極端情況下的結(jié)果。后來McRobie[29]引入了κ0、κ1這兩個(gè)量化參數(shù)，并分析了κ0∈[-1, 1]和κ1∈[-1, 1]多種組合工況的結(jié)果。在圖5(b)中，額外增加了一組IP-K 模型在[κ0,κ1]=[0,0.5]規(guī)則下的結(jié)果。從圖中可看出：首先，[κ0,κ1]=[0,0.5]的結(jié)果介于[κ0,κ1]=[0,0]和[κ0,κ1]=[0,1]之間；其次，[κ0,κ1]=[0,0.5]的cp峰值有所下降，但其峰值仍然高達(dá)320，與現(xiàn)場千禧橋的實(shí)測值基本一致(圖1)，且位于行人正常步頻區(qū)域； 還有， 相比[κ0,κ1]=[0,0]和[κ0,κ1]=[0,1]，[κ0,κ1]=[0,0.5]峰值處的頻率更接近fr0≈1。

為進(jìn)一步研究κ0、κ1取值對IP-K 模型cp的影響，選取了κ0、κ1分別取0、0.5、1 時(shí)的8 種組合(圖6(a))；同時(shí)選取[κ0=0∶0.2∶1,κ1=0.5] (圖6(b))、[κ0=0.5,κ1= 0∶0.2∶1] (圖6(c))10 種κ1和κ0分別固定時(shí)的組合工況。各種工況的cp結(jié)果示于圖6，可知：

1) 首先，組合[κ0,κ1]=[1,1]的結(jié)果看上去是最不合理的，這意味著在行人步行控制規(guī)則中完全包含橋梁振動(dòng)位移和橋梁振動(dòng)速度是不合理的。

2) 其次，在圖6(a)中觀測到，κ1不超過0.5時(shí)，cp值在低頻段(左側(cè))一般高于高頻段(右側(cè))，峰值一般位于低頻段，而當(dāng)κ1為1 的結(jié)果則相反。這意味著κ1取較大值時(shí)會(huì)改變曲線趨勢，產(chǎn)生不合理的結(jié)果，因此κ1值不應(yīng)取太大。

3) 再有，考慮κ1固定為0 的情況，可以發(fā)現(xiàn)，在步頻中間大部分區(qū)域，κ1=0 的三條曲線大致平行，且cp隨著κ0的增大而減少。類似的，考慮κ1固定為1 的三種組合情況，在除了左、右兩端的步頻中間大部分區(qū)域，三種組合下的cp曲線大致平行，且cp隨著κ0的增大而減少，這說明在步頻中間區(qū)域，cp值和κ0呈一定的遞減線性關(guān)系(這一現(xiàn)象在圖6(b)的κ1=0.5 固定組合工況結(jié)果中顯得更為清楚)。

4) 在圖6(a)中和圖6(c)中可知，當(dāng)κ0固定，不同κ1值的曲線間則不存在這種平行關(guān)系，它們會(huì)交叉與同一個(gè)點(diǎn)，間接說明cp與κ1之間存在較強(qiáng)的非線性關(guān)系。

圖6 IP-K 模型在不同κ0、κ1參數(shù)組合下的 cp結(jié)果Fig. 6 cp results of IP-K model under different combinations of parameters κ0 andκ1

5) 從圖6(a)、圖6(b)、圖6(c)中，可知κ0、κ1取值對曲線峰值位置具有不同的影響。可以觀測到，當(dāng)κ1取值為0 時(shí)，峰值對應(yīng)的頻率比位于分布中心的左側(cè)，而當(dāng)κ1取值為1 時(shí)的峰值對應(yīng)的頻率比位于分布中心的右側(cè)，當(dāng)κ1取值為0.5 的峰值對應(yīng)的頻率比位置介于κ1=0 和κ1=1 這兩種結(jié)果的中間；而固定κ1，改變?chǔ)?對峰值位置分布并不產(chǎn)生影響(圖6(b)的結(jié)果尤為清楚)。綜上，可知κ0會(huì)對cp值產(chǎn)生影響，但這種影響是“線性”影響：隨著κ0變化，曲線會(huì)整體上升或下降，對改變曲線整體形狀的改變影響很??；而κ1除了會(huì)對cp值產(chǎn)生影響，對曲線峰值位置的改變也具有重要影響。

由上述分析可知，κ0和κ1取較大值會(huì)偏離實(shí)際，參考McRobie 的做法，采取一種折中的方式，同時(shí)綜合圖6 的結(jié)果，這里將[κ0,κ1]=[0,0.5]視為一組較為合理的值，并將其應(yīng)用于后續(xù)分析中。

5.2 行人人數(shù) Np的影響

5.3 柯西-洛倫茲分布中尺度參數(shù)r的影響

圖7 不同 Np下的〈〉-fr0Fig. 7 〈〉-fr0 under different Np values

5.4 行人對橋梁振幅的敏感系數(shù) E的影響

圖8 不同下的〈-fr0Fig. 8 〈〉-fr0 under different r’s

圖9 不同 fr0下的〈csp〉-E曲線Fig. 9 〈csp〉-E under different fr0’s

5.5 參數(shù)耦合分析

6 振動(dòng)穩(wěn)定分析

圖10 不同參數(shù)組合下的三維結(jié)果Fig. 10 3D results with different parameter combinations

圖11 Λa1 、 Np 、 fr0不同組合等勢線圖Fig. 11 Contours of Λa1 , Np andfr0

7 結(jié)論

傳統(tǒng)IPM 模型沒有考慮人-橋梁之間的同步效應(yīng)，得到的對應(yīng)于正常步頻的速度同相自激力分量系數(shù)cp小于實(shí)測值。針對這個(gè)問題，本研究提出了一種新型人行橋人致橫向振動(dòng)模型：IP-K 模型。在所提模型中，首先，橋上行人激勵(lì)模型以IPM 作為核心基礎(chǔ)，并考慮IPM 長期效應(yīng)以便得到解析解；其次，為了彌補(bǔ)IPM 缺少對同步效應(yīng)考慮的缺陷，引入Kuramoto 生物同步模型考慮行人-橋梁之間的同步效應(yīng)。同時(shí)，所提模型采用柯西-洛倫茲分布來模擬人群中的行人步頻分布，將IPM 適用對象從單個(gè)行人擴(kuò)展至人群，并基于此考慮了人群和橋梁之間同步效應(yīng)引起的影響。采用所提的方法分析了千禧橋北跨的人致橫向大幅振動(dòng)問題。所提模型得到cp結(jié)果和現(xiàn)場測試結(jié)果吻合，驗(yàn)證了本研究所提方法的有效性。在本研究中得到的主要結(jié)論有：

1)原始IPM 模型只有在非行人正常步頻區(qū)域才能取得較高的cp，相比之下，經(jīng)修正后得到的IP-K 模型可以在正常步頻區(qū)域獲得和現(xiàn)場實(shí)測結(jié)果一致的較高cp值，有力說明了考慮人群和橋梁之間同步效應(yīng)的必要性。

2)行人步行控制規(guī)則的設(shè)定對以IPM 為基礎(chǔ)的模型影響很大，在IP-K 模型的參數(shù)分析中可知：[κ0,κ1]的實(shí)際合理值應(yīng)該在[0,0]和[0,1]之間，同時(shí)κ1值不應(yīng)取太大；cp值和κ0整體上呈遞減線性關(guān)系κ0變化，曲線會(huì)整體上升或下降，對改變cp曲線整體形狀的改變影響很小)，而cp與κ1之間存在較強(qiáng)的非線性關(guān)系(κ1除了會(huì)對cp值產(chǎn)生影響，對曲線峰值位置的改變也具有重要影響)；[κ0,κ1]=[0,0.5]是IP-K 模型較為理想的選擇。

3)通過對行人人數(shù)Np、柯西-洛倫茲分布中尺度參數(shù)r、以及行人對橋梁振幅的敏感系數(shù)E的參數(shù)分析，可知：IP-K 模型的〈csp〉值在分布中心兩側(cè)附近隨著Np的增加而增加，但在其他的低頻和高頻區(qū)域，Np對cp總值影響甚微；r的改變會(huì)影響〈csp〉的分布和大小，尤其會(huì)影響分布中心區(qū)域的〈csp〉峰值大小，顯示了人群同步效應(yīng)對橋梁振動(dòng)不可忽視的重要影響；E和〈csp〉的關(guān)系存在突變現(xiàn)象，兩者關(guān)系總體上可以分為兩個(gè)階段：首先是前期的緩慢增長階段，而后是快速增長階段，最后是相對平滑增長階段；Np、r和E存在不同程度的耦合效應(yīng)，其中r和E的耦合效應(yīng)較為明顯。

4)fr0的分布位置對穩(wěn)定判斷Λa1有著重要影響，fr0分布的最不利位置在fr0≈1.01 處，fr0對Λa1的影響也和人數(shù)Np相關(guān)， Λa1對fr0的敏感度隨著Np的增大而明顯增大。

雖然目前已有不少學(xué)者開展了關(guān)于結(jié)構(gòu)人致振動(dòng)(包括橋梁、房屋人致振動(dòng))問題的研究，并在近期取得了不少成果[9,10,13,28,38-45]，但由于該問題的復(fù)雜性，人們對其中深藏的機(jī)理仍缺乏足夠的認(rèn)識(shí)，本文所提模型將有助于揭示其中部分機(jī)理，并為后續(xù)研究提供一個(gè)思路。在所提模型中，大部分參數(shù)具有通用性，如人的橋梁振幅敏感系數(shù)和行人腳步行進(jìn)規(guī)則參數(shù)κ0和κ1(這些屬于人體生物本能特性)以及柯西-洛倫茲分布的尺度參數(shù)r(雖然和不同區(qū)域種族有關(guān)，但從整體層面上看，還是可以假設(shè)其變異性不大)，而只有個(gè)別參數(shù)和實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)相關(guān)，如行人步頻和橋梁頻率的頻率比fr0。然而，由于目前研究工作側(cè)重點(diǎn)在于理論模型的提出，尚未展開現(xiàn)場實(shí)橋試驗(yàn)，人的橋梁振幅敏感系數(shù)、柯西-洛倫茲分布的尺度參數(shù)目前是按一般情況設(shè)定，其精確值還需將來實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的進(jìn)一步驗(yàn)證核實(shí)。除了這個(gè)局限，本文所提模型并未考慮IPM 模型中產(chǎn)生的加速度同相分量(即忽略了系數(shù) ρ)以及人-人同步鎖定效應(yīng)。針對這些局限性問題(尤其是基于實(shí)橋試驗(yàn)結(jié)果的驗(yàn)證工作)，將來將展開重點(diǎn)研究，進(jìn)一步改進(jìn)和提高所提模型的性能。