馬舟陽，關 舟，趙述敏，方愛平,,4，趙 迪,,4

(1.西安交通大學 物理學院，陜西 西安 710049；2.西安交通大學電氣學院，陜西 西安 710049；3.西安交通大學 物理學院 物質(zhì)非平衡合成與調(diào)控教育部重點實驗室，陜西 西安 710049；4.西安交通大學 物理學院陜西省量子信息與光電量子器件重點實驗室，陜西 西安 710049)

近幾個世紀以來，針對不同物質(zhì)的分離一直是一個很重要的研究和應用方向.近年來物質(zhì)分離在很多方面都有重要的應用，比如廢水處理、海水淡化[1].物質(zhì)分離中最常用的工具就是“選擇性透過膜”，它表現(xiàn)為能讓具有一些特性的物質(zhì)穿過而讓具有相反或其他特性的物質(zhì)停留在膜上.針對粒子體積進行分離的過濾膜是最常見、最簡單的一種分離技術.傳統(tǒng)的過濾膜是多孔的，允許比孔徑小的顆粒通過，但比孔徑大的顆粒會保留并停留在膜上.然而，允許大顆粒通過而保留小顆粒的薄膜很難人工制造，卻常見于自然界中.例如，細胞膜是一種由磷脂雙分子層為基本骨架構成的膜，它可以通過胞吞和胞吐等形式讓大分子透過.這種膜必須是動態(tài)的、自愈合的才能夠長期穩(wěn)定的存在.這種特性在液體中十分常見，然而這種動態(tài)自愈合的過濾膜很難人工制造.受到液體自愈功能和細胞膜內(nèi)吞作用的啟發(fā)，Birgitt Boschitsch Stogin、Luke Gockowski等人[2]證明了完全由液體組成的液膜可以被設計成保留小于臨界尺寸粒子而透過大尺寸粒子的過濾膜.

本文基于液膜的懸鏈曲面模型解析討論了液膜臨界透過條件，在實驗上通過調(diào)整由純液體(肥皂液)組成的液膜的濃度、成分等參量改變液膜的表面張力系數(shù)，實現(xiàn)了一種保留小于臨界透過半徑的粒子而透過大于臨界透過半徑粒子的選擇性透過膜，驗證了液膜臨界透過條件，并實現(xiàn)了對同種粒子速度的篩選功能.這種液膜可以實現(xiàn)傳統(tǒng)過濾膜無法實現(xiàn)的粒子分離機制，這對未來新型液膜過濾技術的研制和開發(fā)具有啟發(fā)意義.

1 理論分析

為分析方便，我們假設：粒子為球形；當沒有粒子穿透液膜/停留在液膜上時，液膜為無厚度的圓平面；當粒子停留在液膜上，液膜被拉伸為兩個高度不同的同心圓構成的曲面.在無外力影響下，液膜有收縮至最小面積的趨勢.由三維空間的極小曲面定理可知，2個高度不同的同心圓構成的極小曲面為懸鏈曲面.即，液膜只能以平面或懸鏈曲面的結(jié)構存在才能保持穩(wěn)定.因此，對粒子穿透液膜過程的討論可簡化為對小球停留使液膜形成懸鏈曲面過程的分析.

1.1 懸鏈曲面方程推導

我們引入Young-Laplace方程[3]推導液膜的懸鏈曲面模型.通過液面附加壓力、表面張力系數(shù)及曲率半徑之間的關系計算液面方程，得到Y(jié)oung-Laplace方程：

(1)

其中R1、R2為界面主曲率，γ為液膜表面張力系數(shù).由式(1)可得，小球停留在液膜上時液膜形狀的具體形式為[3]

(2)

對式(2)進行兩次積分即可求得懸鏈方程：

(3)

至此，我們得到了液膜穩(wěn)定時的懸鏈曲面模型.其中C1和C2為液膜具體的形狀參量.

1.2 小球臨界透過條件分析

實驗中，我們從液膜上方不同高度處釋放小球使其下落，通過重力勢能轉(zhuǎn)化為動能對實現(xiàn)小球穿過液膜的速度控制.小球在打入液膜前的動能Ek來源于小球從高處自由下落的重力勢能：

(4)

其中ρb、Rb分別為小球密度和半徑，H為小球初始高度，Ef為小球下落過程中與空氣摩擦造成的能量損失.小球下落過程中空氣阻力正比于速度的平方，即

(5)

其中阻力系數(shù)k取0.3，在我們后續(xù)的實驗中，小球半徑取0.2 cm.在我們的實驗條件下，即小球短距離自由下落，小球速度只能達到約0.1 m/s.在這種情況下，小球下落所受的摩擦力約為

Ff=3.76×18-8N

實驗中小球的質(zhì)量為0.1 g.因此，空氣阻力遠小于粒子自身的重力，在后續(xù)討論中可忽略不計.

在小球打入液膜過程中，小球會受到液膜的“阻礙”作用，而液膜同樣會受到小球的“拉伸”作用.基于能量守恒，小球初打入液膜時的能量全部轉(zhuǎn)化為“試圖穿透液膜”這一過程中產(chǎn)生的摩擦損耗和最終液膜表面能的增加.

首先，我們計算液膜表面能的增量.由上節(jié)可知，小球在穿透膜這一過程中液膜始終保持懸鏈曲面.二維截面中，設小球質(zhì)心到液膜交點的連線與豎直方向夾角為α，如圖1所示.在小球穿透液膜過程中，隨著小球不斷拉伸液膜，液膜的表面張力逐漸增加，并始終沿液膜與小球交點處液膜的切線方向.隨著α的減小，小球受到的向上的表面張力逐漸增大，并在α=90°時達到最大值Fm，之后逐漸減小.若小球的重力小于Fm，則小球可以穩(wěn)定的停留在液膜上，且α<90°；若小球的重力大于Fm，則小球?qū)o法穩(wěn)定停留在膜上并最終下落；當小球的重力恰好等于Fm時，小球恰好可以停留在液膜上，即臨界狀態(tài)，此時小球與液膜相切于兩者的交點處(α=90°)，如圖1所示.結(jié)合式(3)可得臨界狀態(tài)下液膜曲面滿足的方程為[2]：

圖1 能量小球邊界條件示意圖

(6)

其中Rf為膜的半徑，Rb為小球半徑，ymax為小球中心到膜的垂直距離.

解上述方程組(6)可得懸鏈曲面的最大擴張條件以及最大垂直擴張距離分別為：

(7)

將方程(7)繞y軸旋轉(zhuǎn)后，得到液膜的表面積為

(8)

(9)

然后，當液膜和小球的交界線沿著小球下滑時，會有摩擦力造成的能量損失.根據(jù)楊式方程，摩擦力表現(xiàn)為液體移動時浸濕和干燥固體做功[4]：

dW=γωdl(cosθR-cosθA)

(10)

其中ω=2πRbsinα，θA為前接觸角,θB為后接觸角，α為小球與肥皂膜交線在截面上與小球豎直軸線形成的夾角，如圖2所示.沿小球下滑曲線進行積分，其中α從0變化到π，可得小球打入液膜后沿液膜下滑摩擦造成的能量損失為

圖2 楊式方程摩擦力接觸角示意圖

(11)

我們分別計算ln(ES/Ek)和ln(EP/Ek)隨小球下落高度的變化曲線.基于實際實驗參數(shù)，計算中小球半徑取0.2 cm，膜半徑取20 cm.表面張力系數(shù)γ從0.035 N/m變至0.065 N/m.數(shù)值計算結(jié)果如圖3所示.摩擦耗能低于初打入能量和表面能增量3-4個數(shù)量級.因此，摩擦耗能可以忽略不計.

圖3 ln(ES/Ek)和ln(EP/Ek)隨小球下落高度的變化曲線

綜上，在我們的實驗條件下空氣摩擦、液膜摩擦耗能均可忽略不計.表面能式(9)與動能式(4)之比，可給出小球與液膜相互作用過程的能量關系判定函數(shù)[4]：

(12)

若比值大于1，表明液膜極限表面能增量大于小球動能，小球能夠停留在肥皂膜上；若比值小于1，表明液膜極限表面能增量小于小球動能，粒子將會穿透液膜；比值等于1即為液膜的臨界透過條件.

2 實驗驗證

實驗中我們配制不同表面張力系數(shù)的溶液(肥皂水)，測定配制溶液的YJ-JC-4A表面張力綜合實驗儀如圖4所示.然后選取不同大小的塑料圈制備液膜.令不同規(guī)格、材質(zhì)的小球穿過液膜進行實驗.小球規(guī)格參數(shù)如表1所示.由于實驗使用的小球半徑、質(zhì)量較小，不易制作精密的發(fā)射裝置，因此實驗中將套有不同表面張力系數(shù)的肥皂膜的塑料環(huán)固定在支架上，于肥皂膜上方不同高度處釋放小球使其下落，通過重力勢能轉(zhuǎn)化為動能對實現(xiàn)小球穿過液膜的速度控制.

表1 小球材料與規(guī)格參數(shù)

圖4 測量裝置

2.1 懸鏈曲面驗證

由1.1理論分析可知，肥皂膜在小球穿透的過程中始終保持懸鏈曲面.由于難以在下落過程中拍攝并提取清晰準確的幀，我們令鐵球透過由直徑為5.170 cm的塑料環(huán)形成的肥皂膜并將其置于桌上,如圖5所示.此時鐵球重力被桌子提供的支持力部分抵消，因此我們可將此時肥皂膜狀態(tài)等效為粒子穩(wěn)定停留在液膜上時的狀態(tài).使用Tracker對畫面建立坐標系并進行定格描點.經(jīng)測量，選取的時間幀中膜與鐵球接觸的圓環(huán)直徑為2.273 cm.通過Tracker建立的坐標系記錄膜上的5個點，獲取坐標并帶入Matlab中進行懸鏈曲面的擬合.

圖5 實際Tracker幀分析采樣示意圖

為保證擬合的精度與合理性，我們分別在靠近塑料環(huán)、小球與肥皂膜交線的位置各進行了1個點的采樣，并在中間高度進行了3個點的采樣.圖6為經(jīng)Tracker幀分析導出的5個數(shù)據(jù)點在Matlab中的圖像，其中上端虛線對應塑料環(huán)所處高度，其與實線的交點橫坐標即為塑料環(huán)半徑；下端虛線對應肥皂膜與小球交線(一個圓環(huán))所處高度，其與實線的交點橫坐標為交線環(huán)半徑.菱形點為幀分析采樣的5個數(shù)據(jù)點，實線為Matlab擬合的懸鏈曲線.由圖可知，小球穿透過程中液膜形狀符合懸鏈曲面模型，驗證了1.1節(jié)的理論分析結(jié)果.

圖6 懸鏈曲面模型驗證圖

2.2 臨界透過條件驗證

我們使用蠟和聚甲基丙烯酸甲脂(PMMA)兩種材質(zhì)的不同規(guī)格小球，通過調(diào)節(jié)小球初始釋放高度驗證臨界透過條件，即式(12).圖7—圖9分別為液膜直徑為5.170 cm、17.510 cm和25.215 cm條件下的實驗結(jié)果圖.圖中橫坐標為實驗小球半徑，縱坐標為實驗小球的密度×初始釋放高度.實驗中，若小球最終穿透肥皂膜，則在圖中相應坐標用實心圓點標記；若小球不能穿透肥皂膜，最終穩(wěn)定停留在肥皂膜上，則在圖中相應坐標處用空心菱形標記.同時，圖中實線為滿足臨界透過條件，即ES/Ek=1，的對應曲線.在實線以下的部分，ES/Ek>1，即穿透過程中表面能大于動能，小球不能穿透肥皂膜并最終停留在肥皂膜上；實線以上的部分，ES/Ek<1，即穿透過程中動能大于表面能，小球最終能穿透肥皂膜.

圖7 膜直徑5.170 cm條件下的臨界透過條件驗證圖

圖8 膜直徑17.510 cm條件下的臨界透過條件驗證圖

圖9 膜直徑25.215 cm條件下的臨界透過條件驗證圖

圖7—圖9表明，實驗結(jié)果較好的驗證了理論上解析推導得到的小球臨界透過條件，式(12)，的有效性.當小球半徑較大(大于2 mm)時理論與實驗結(jié)果吻合良好；而小球半徑小于2 mm時，理論值與實驗結(jié)果存在一定誤差.這是由于當小球半徑較小時，半徑較小的小球在釋放及下落過程中更容易受到阻力、氣流擾動帶來的影響；半徑較大的小球在釋放和下落過程中則表現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性.同時，我們可以看到，當從相同高度釋放不同半徑的小球時，大于臨界透過半徑的小球會穿過肥皂膜，而小于臨界透過半徑的小球會被留在肥皂膜上，實現(xiàn)了選擇性透過功能.

2.3 小球速度篩選

對應臨界透過條件，即ES/Ek=1，存在臨界高度Hc，即小球從該高度下落時恰好停留在液膜上.式(12)表明，在小球參數(shù)確定的情況下，臨界高度Hc與液膜表面張力系數(shù)γ成正比.將套有不同表面張力系數(shù)的肥皂膜的塑料環(huán)固定在支架上，于肥皂膜上方不同高度處釋放小球使其下落，并記錄小球的臨界高度Hc.上一節(jié)中的實驗結(jié)果表明，小球半徑小于2 mm時實驗結(jié)果與理論結(jié)果有一定偏差.因此，我們采用半徑2.301 mm的石蠟小球進行實驗.實驗測得的小球臨界高度與表明張力系數(shù)的關系如圖10所示.其中，菱形標注為不同表面張力系數(shù)下的小球臨界高度，直線為理論計算結(jié)果.

圖10 表面張力系數(shù)與臨界高度關系圖

理論計算和實驗結(jié)果表明，臨界高度Hc與表面張力系數(shù)γ成線性關系.由實驗設置可知，臨界高度對應著小球的臨界穿透速度.因此，當小球參數(shù)確定時，可以通過調(diào)節(jié)肥皂膜的表面張力系數(shù)，讓速度大于臨界穿透速度的小球透過肥皂膜，而保留速度小于臨界穿透速度的小球，從而實現(xiàn)對小球速度的篩選.

3 總結(jié)

本文討論了一種用肥皂膜制作的液膜過濾器，其特性是重粒子可以透過而輕粒子可以停留.本文從極小曲面定理入手，通過求解楊-拉普拉斯方程得到肥皂膜穩(wěn)定時的懸鏈曲面模型；通過對粒子打入過程的動能、液膜表面能及摩擦耗能的分析與比較，得到了粒子打入過程的臨界透過判定函數(shù)；實驗上，首先通過粒子打入過程分析驗證了懸鏈曲面模型的合理性，通過調(diào)節(jié)釋放高度和小球半徑對小球的臨界透過條件進行驗證.實驗結(jié)果表明，在小球半徑大于1.5 mm時與理論吻合較好.另外，基于小球臨界穿透速度(高度)與液膜表面張力系數(shù)的線性關系，實現(xiàn)了對小球速度的篩選.為進一步深入細致研究液膜過濾器性質(zhì)及應用提供了理論基礎和實驗參考.

4 致謝

致謝：感謝西安交通大學物理學院實驗教學中心王雪冬老師對本實驗的支持.