王可欣，周詩韻

(復旦大學 物理學系，上海 200433)

共振干涉法測量聲速是高校經(jīng)典物理實驗之一，其原理和實驗現(xiàn)象備受關注和討論[1-3].通常，其物理模型被描述為：接收換能器與發(fā)射換能器的表面互相平行，從發(fā)射換能器發(fā)出的平面波與接收換能器反射的波干涉疊加，形成駐波.因此，當接收換能器逐漸遠離發(fā)射換能器時，會經(jīng)過一系列波腹，表現(xiàn)為接收聲壓經(jīng)過一系列極大值，且間距恰好為聲波的半波長.結(jié)合聲源的頻率，即可計算得到聲速[4].這種方法可以用于測量空氣和水中的聲速，對于學生理解波的反射與疊加很有幫助.

然而，該物理模型作了一定程度的簡化，實際上只是一個一維模型，并沒有考慮一些實際因素.例如，實驗室中的發(fā)射換能器是有限大小的活塞，不能發(fā)射理想的平面波；測量水中的聲速時，容器大小有限，導致聲波在水缸壁、水面上也有反射.因此，簡化模型無法完全解釋實驗現(xiàn)象，如聲壓幅值的異常變化、次級大現(xiàn)象等.已有文章指出，使用換能器間多次反射疊加和球面波模型修正[5,6]，或者二次相位合成的方法[7]，可以解釋空氣中的近場效應[8]；考慮水-空氣界面反射，可以解釋水中異于空氣中的特殊現(xiàn)象，即聲壓極大值隨換能器間距的非單調(diào)變化[9].然而，到目前為止，還沒有定量解析此異?，F(xiàn)象與水面高低關系的報道.由于水中聲場會在水-空氣以及水-水缸壁界面發(fā)生反射，使用球面波模型非常復雜.常見的點對點積分(point-by-point integration)也很難處理該情況，當考慮四周界面反射時，難以確定接收換能器上的每一個點的聲壓到底由哪些反射貢獻.

為模擬水中的聲波反射疊加，引入多元高斯聲束模型[10,11]，將換能器發(fā)出的聲束拆分為一組高斯聲束的疊加，并借用光學鏡像法中虛光源的概念[12]，提出虛聲源模型，最終根據(jù)一定標準進行截斷，得到反射疊加后接收換能器上聲壓的解析表達式.數(shù)值計算結(jié)果表明，模擬得到的聲壓極大值與距離的關系與實驗現(xiàn)象相符，且整體變化模式與水位的關系與實驗結(jié)果一致.

1 實驗現(xiàn)象與結(jié)果

實驗裝置示意圖如圖1所示.不考慮換能器發(fā)出或接收聲波的電聲耦合過程，將換能器等效為半徑為a的剛性圓板，且不計其厚度.發(fā)射換能器位于左側(cè)水缸壁，其中心到水缸前后側(cè)壁的距離是b，到上水面的距離是hu，到水缸底的距離是hd，接收換能器正對發(fā)射換能器，相距為d.

圖1 實驗裝置示意圖

實驗開始時，換能器相距5 cm，再逐漸移動接收端，使兩者間距增加，測量并記錄出現(xiàn)的聲壓極大值及其位置.在相同條件下，僅改變水缸內(nèi)液面的高度，并始終保證液面高于換能器探頭，進行多組實驗.以單次實驗中首次出現(xiàn)的聲壓極大值p0進行歸一化，作聲壓的相對大小p/p0隨位置的關系圖，如圖2所示.可以發(fā)現(xiàn)，聲壓極大值并非隨換能器間距增加而單調(diào)遞減，而會在一定情況下發(fā)生反彈，且反彈的幅度及位置與水位h=hu+hd有關.

圖2 聲壓極大值隨距離變化的異?，F(xiàn)象.從左到右，水位h分別為8.9 cm、7.5 cm和6.7 cm

如果僅使用駐波模型，聲壓極大值應該不隨換能器間的距離而發(fā)生變化；如果考慮聲波傳播中的衰減損耗，則聲壓極大值應該隨換能器間距單調(diào)減小.因此，觀察到的聲壓極大值反常變大的現(xiàn)象不能用已有模型或者常識簡單推演解釋.注意到隨著液面降低，反彈幅度減小，反彈出現(xiàn)的位置延后.該現(xiàn)象說明液面高度的變化對聲壓極大值的影響較大，據(jù)此推測，液面的反射是重要影響因素之一.

2 理論推導和模型建立

理想模型中，換能器發(fā)出的平面波僅在換能器之間反射[4]，則液面高度對聲壓測量值無影響.因此，必須假設聲場分布發(fā)散，才能引入液面處的反射.同時，理想的平面波應由無限大平板產(chǎn)生，而實際情況下，換能器探頭尺寸有限，客觀上也不滿足激發(fā)平面波的條件.因而，使用非平面波聲場來修正物理模型是十分合理和必要的.本實驗中圓形換能器的聲場，可以用多元高斯聲束的模型來近似處理，而該聲場在界面處的反射，可以用虛聲源的模型計算處理.

2.1 多元高斯聲束模型

假設換能器的探頭是絕對剛性的正圓鋁片，振動發(fā)聲，其振動速度V(r)垂直于探頭表面，且滿足下列函數(shù)關系：

(1)

其中r是探頭所在平面內(nèi)任一點到探頭中心的距離，a是探頭的半徑.設其對應的聲波的速度勢為ψ，則根據(jù)Helmholtz方程有

2ψ(r,t)+k2ψ(r,t)=0

(2)

(3)

再假設試解u(r,z)=g(z)ef(z)r2，代入式(3)可以得到

(4)

(5)

其中B是任意常數(shù).因此速度勢可以寫成N個系數(shù)為an、形式為高斯函數(shù)的解的疊加，即

(6)

這就是多元高斯聲束模型[10].

在該模型中，參與疊加的高斯聲束數(shù)目N越多，模擬聲場的結(jié)果就越準確.但對于圓形換能器在遠場部分的輻射聲場，僅使用15個高斯聲束疊加，即可較好地描述[13].這里遠場的定義為距離換能器表面大于菲涅耳距離z0=a2/λ的部分，其中a是探頭的半徑，λ是超聲波的波長.若進一步增大N，例如N=25，將使更靠近換能器的聲場描述更加準確，而對遠場影響不大.此外，即使增大到無窮項，該模型也無法描述距換能器表面小于換能器直徑2a范圍內(nèi)的聲場[13].在本實驗中，菲涅耳距離為2 cm，而本文關心的是5 cm之外的聲場，因此，使用15個高斯函數(shù)進行疊加即可.

(7)

(8)

其中系數(shù)An和Bn的確定可用拉格朗日乘子法，具體結(jié)果見表1[14].

表1 高斯聲束系數(shù)[14]

使用與實驗中一致的參數(shù)進行模擬：水的密度ρ=997.7 kg/m3，水中聲速c=1 489 m/s，換能器發(fā)射信號頻率υ=36.22 kHz，半徑a=1.9 cm，換能器中心距離水缸兩側(cè)壁距離b=3.0 cm，距離上水面距離hu=3.0～6.0 cm，距離下界面hd=3.0 cm.

首先利用這15個高斯型函數(shù)模擬剛性平面圓板表面的聲壓，結(jié)果如圖3所示，模擬效果較好.如果假設的圓板非絕對剛性，即速度分布在圓板邊緣不是階躍函數(shù)，則模擬所需的高斯函數(shù)數(shù)量甚至可以進一步減少.此后，在不考慮反射的情況下，模擬計算該高斯聲束的歸一化聲場，x=0的橫截面的聲壓幅值分布圖如圖4所示，注意圖4中縱坐標范圍是±4b，其中虛線表示y=±b的位置，即水缸側(cè)壁.從圖4中可見，換能器聲場的發(fā)散不可忽略.同時，由于圓形換能器具有中心對稱性，在當前實驗條件下，需要同時考慮水缸側(cè)壁和上下界面的反射聲場.

圖3 絕對剛性圓形平板表面聲壓分布模擬.其中pc是平板表面中心聲壓，用于歸一化

圖4 x=0橫截面處，不考慮反射時的多元高斯聲束聲場分布.虛線表示水缸側(cè)壁位置

2.2 虛聲源模型

類比于光學鏡像法中虛光源的處理方法[15]，可以認為聲壓經(jīng)水-空氣、水-水缸壁界面反射后，對接收換能器的作用相當于一個與原聲源關于界面對稱處的等大虛聲源直接發(fā)射的聲場到達接收換能器的效果.從水入射到介質(zhì)x的反射系數(shù)rx由聲阻抗Z計算得到

(9)

在模擬計算中，取水的聲阻抗為1.489 3×106kg/(m2·s)，鋁制換能器的聲阻抗為1.702 4×106kg/(m2·s)，水缸壁材質(zhì)為有機塑料，聲阻抗為3.176 6×106kg/(m2·s)，空氣的聲阻抗為411.60 kg/(m2·s)[16].計算可得，水-空氣界面反射系數(shù)rair=-0.999 4，水-水缸壁界面反射系數(shù)rtank=0.361 6，水-換能器界面反射系數(shù)rpiston=0.839 1.

如果考慮處于位置(x,y,d)處的微元接收到的聲壓，則僅經(jīng)過一次水-空氣界面反射的聲線的貢獻如圖5所示，可以表示為

圖5 x方向虛聲源模型示意

rair·p(x-2hu,y,d)

(10)

而僅經(jīng)過一次y=-b處的水-水缸壁界面反射，如圖6所示，相當于疊加上聲壓：

圖6 y方向虛聲源模型示意圖

rtank·p(x,y+2b,d)

(11)

以此類推.

由于聲波在水中衰減很小(α=2.621×10-4dB/m)[14]，理論上聲場可以在各種界面上進行無限次反射，這必將導致虛聲源模型的結(jié)果不能收斂[6]，因此必須在模擬計算中進行人為截斷.本文的截斷標準是：其他界面的反射聲壓不能大于換能器之間的直接反射聲壓pdirect，同時，為計算方便，忽略比pdirect小一個數(shù)量級以上的反射聲壓.因此，在模型中，最多只考慮3次界面反射，列出如下8種不同的反射途徑.

1)直接到達對側(cè)換能器的聲壓.

經(jīng)數(shù)值計算可知，在實驗條件范圍內(nèi)(5～30 cm)，至少需要20次反射，才能令接收聲壓不再隨反射次數(shù)的增加而變化，因此有

(12)

2)只經(jīng)過一次水-空氣界面反射：

pair-water(x,y,d)=rair·p(x-2hu,y,d)

(13)

3)只經(jīng)過一次水-水缸壁界面反射：

ptank-water(x,y,d)=rtank·p(x+2hd,y,d)

+rtank·p(x,y±2b,d)

(14)

4)只經(jīng)過一次水-空氣和一次水-水缸壁界面反射：

peither-one(x,y,d)=

rairrtankp(x+2hu+2hd,y,d)+

rairrtankp(x-2hu-2hd,y,d)+

rairrtankp(x-2hu,y±2b,d)

(15)

5)只經(jīng)過兩次水-水缸壁界面反射：

(16)

6)只經(jīng)過三次水-水缸壁界面反射：

(17)

7)只經(jīng)過兩次水-水缸壁和一次空氣-水界面的反射：

p(x±2(hd+hu),y±2b,d)]

(18)

8)只經(jīng)過一次水-水缸壁和兩次空氣-水界面的反射：

(19)

通過以上分析可以看出，各反射途徑貢獻聲壓的相對大小，與水位h、換能器間距d、換能器表面具體位置(x,y)均有關.其中2)—8)中的反射聲壓大小相對于直接反射聲壓pdirect，在水位h=8 cm，間距d=25 cm時取得最大值，因此在此條件下考慮截斷條件.

作出反射途徑1)—8)中聲壓的相對值(即p/pdirect)在接收換能器x=0橫截線上的大小隨y坐標的變化，如圖7所示.可以發(fā)現(xiàn)，除了反射7(即ptank2-air1)外，其他的反射聲壓都低于直接反射聲壓pdirect.因此，反射7)可能是虛聲源帶來的發(fā)散效應，在理論計算中不予考慮.綜上，接收換能器上總聲壓為

圖7 h=8 cm,d=25 cm時，接收換能器x=0橫截線上反射函數(shù)1)—8)的聲壓相對途徑反射函數(shù)1)(pdirect)的大小隨y坐標的變化，其中換能器半徑為a

p(x,y,d)=pdirect(x,y,d)+pair-water(x,y,d)+

ptank-water(x,y,d)+peither-one(x,y,d)+

ptank2(x,y,d)+ptank3(x,y,d)+

ptank1-air2(x,y,d)

(20)

3 結(jié)果與討論

由圖7還可以發(fā)現(xiàn)，在換能器表面聲壓變化幅度較小，因此可以用中心點聲壓p(0,0,d)的實部而非積分值代表與發(fā)射換能器相距d處的接收換能器感受到的總聲壓，即實驗測量聲壓值.代入數(shù)值后，計算聲壓p極大值隨距離的變化，每種水位下均用第一個極大值進行聲壓的歸一化，結(jié)果如圖8所示.可以發(fā)現(xiàn)，模擬結(jié)果中也出現(xiàn)了與實驗相似的異?，F(xiàn)象，即聲壓極大值隨換能器間距的增加而呈現(xiàn)非單調(diào)變化.當降低水面高度h時，該異常反彈的幅度減小，位置延后.這一變化模式和相同水位下的實驗現(xiàn)象(圖2)較為符合.由此，本文認為使用多元高斯聲束模型和虛聲源模型可以較好地描述水中聲速的測量實驗.

圖8 模擬計算對應實驗水位下，約化聲壓極大值p/p0與換能器間距d的關系

3.1 無限大水缸

根據(jù)前文分析，水中測聲速的異?，F(xiàn)象主要來源于水缸側(cè)壁和上下界面的反射，如果令水缸無限大，則本文研究的異?，F(xiàn)象應該消失.由于設備限制，在實際實驗中無法驗證這一推斷，但可以通過數(shù)值模擬來驗證.

擴大換能器中心到側(cè)壁的距離b和到上下界面的距離hu、hd到原來的10倍，使用相同的方法，作接收聲壓隨換能器間距d的變化曲線，如圖9所示，可以發(fā)現(xiàn)，此時聲壓的變化模式和空氣中的實驗現(xiàn)象大致相同，不再出現(xiàn)聲壓極大值先增后減的異常現(xiàn)象.這一驗證表明，水中聲速的聲壓異常變化，確實是由于水與其他介質(zhì)的界面反射導致的.

圖9 模擬水缸無限大時，接收聲壓隨間距d的變化

3.2 分析評價

本文模型較好地模擬出水中聲速測量時的異?，F(xiàn)象，但是與實驗相比仍有一定誤差，這可能是因為截斷條件比較粗糙.如果能直接找到疊加函數(shù)的收斂形式，比如可以收斂到一個特殊函數(shù)上，則結(jié)果會更加完備.

現(xiàn)階段的修正模型是在當前實驗條件下的一個較好的近似.數(shù)值模擬上，可以通過簡單計算，快速得到不同水位下的聲壓隨距離的變化情況(如圖9僅需20 s計算時間)，并且可以通過調(diào)節(jié)介質(zhì)參數(shù)、各界面反射系數(shù)等，模擬不同實驗條件下的聲速測量，甚至可以據(jù)此開發(fā)一個模擬聲速測量的軟件，幫助學生更深入地理解實驗中的聲學現(xiàn)象.

4 結(jié)論

本文使用多元高斯聲束模型和虛聲源模型，解釋了水中測量聲速時，接收聲壓極大值隨換能器間距非單調(diào)變化的異?，F(xiàn)象.寫出了換能器的接收聲壓解析表達式，代入實驗參數(shù)后，模擬計算結(jié)果與實驗現(xiàn)象較為符合，驗證了本方法的合理性.此外，數(shù)值模擬了水缸無限大的條件，驗證了異?，F(xiàn)象消失的推測，進一步證明了水中異常現(xiàn)象的主要來源是水缸側(cè)壁以及上下界面的反射.基于本文的模型，可以進一步開發(fā)水中聲速測量的模擬軟件，通過對水深、介質(zhì)等參數(shù)的便捷調(diào)節(jié)，向?qū)W生展示水中聲波的復雜現(xiàn)象，引導學生對理想化模型與實際實驗間的差異進行深入思考.