山東省鄒平雙語學(xué)校(256200) 姜坤崇

下面舉出數(shù)例說明方法的具體運(yùn)用.

例1(文獻(xiàn)[1]第72 頁例8)已知a,b,c ∈R+,且滿足求證:

原文給出的證明較繁,下面我們利用本文介紹的代換法給出一種簡證.

證明令(x,y,z ＞0), 則于是

說明(1)通過本文介紹的換元法,將一類條件不等式等價轉(zhuǎn)化為非約束條件不等式來證明,從而達(dá)到了將問題簡單化的目的,如例1 的實(shí)質(zhì)即證明無約束條件的簡單不等式(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz(x,y,z ＞0).

(2)可對例1 作如下推廣: 設(shè)xi ∈R+(i= 1,2,··· ,n,n≥2)且則有

例2設(shè)xi(i= 1,2,3,4)∈R+,且證明:x1x2x3x4≥81.

證明設(shè)其中ai ＞0(i=1,2,3,4), 則由三元均值不等式得同理,四式相乘得

故所證不等式成立.

說明可對例2 中的不等式作如下推廣: 設(shè)xi ∈R+(i=1,2,··· ,n,n≥2)且, 則有x1x2···xn≥(n-1)n.

例3(自編題)設(shè)α,β,γ為銳角, 且cos2α+cos2β+cos2γ=1,求證:

證明由條件式cos2α+cos2β+cos2γ=1 可設(shè)cos2α=0), 則所證不等式可化為

由二元均值不等式得

所以不等式①成立,從而原不等式得證.

說明用同樣的方法可以證明如下問題(《數(shù)學(xué)通報》數(shù)學(xué)問題1270): 設(shè)α、β、γ為銳角,cos2α+cos2β+cos2γ=1.試證:

例4(2005年伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克試題, 2007年美國國家集訓(xùn)隊測試題)設(shè)x,y,z ∈R+, 且證明:

證明令則x=于是

由二元均值不等式得

即②式成立,從而所證不等式得證.

例5(自編題)設(shè)x,y,z ＞0,且xy+yz+zx+2xyz=1,求證:

證法1xy+yz+zx+ 2xyz= 1?則x=于是

由于以上最后一個不等式顯然成立,故原不等式成立.

證法2代換方法同證法1, 由條件式xy+yz+zx+ 2xyz= 1 即證以下證明從略.

例6(2005年摩洛哥數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題)設(shè)x,y,z ∈R+,且xy+yz+zx+2xyz=1,證明:

證明

由二元均值不等式得

例7(《數(shù)學(xué)通報》數(shù)學(xué)問題1830)a,b,c ∈R+, 且a+b+c= 2, 求證:

問題提供人給出的證明很繁,利用本文給出的代換方法可以給出其如下簡證.

證明設(shè)(x,y,z ＞0),則所證不等式可化為

以上最后一個不等式即為著名的舒爾不等式,所以原不等式得證.

例8(自編題)設(shè)x,y,z ＞0,且xy+yz+zx+2xyz=1,求證:

先證

所以有③式成立,原不等式得證.

說明不等式③即2002年美國數(shù)學(xué)MOP 夏令營試題:設(shè)a,b,c是正數(shù),證明:

例9(自編題)設(shè)x,y,z ＞0,且xy+yz+zx+2xyz=1,求證: (x+y)(y+z)(z+x)≥1.

證明

所以由二元均值不等式得

例10(自編題)設(shè)x,y,z ＞0,且xy+yz+zx+2xyz=1,求證:

證明xy+yz+zx+2xyz= 1?

所以

又由三元均值不等式得

所以由⑥、⑦式即得⑤式成立,從而原不等式得證.