廣東省中山市桂山中學(528463) 劉丹峰

一、多維分析,橫看成嶺側(cè)成峰

題目(2021-2022 學年佛山市普通高中高三教學質(zhì)量檢測)已知雙曲線C的漸近線方程為且過點

(1)求C的方程;

(2)設(shè)點Q(1,0),直線x=t(t ∈R)不經(jīng)過P點且與C相交于A,B兩點,若直線BQ與C交于另一點D,求證: 直線AD過定點.

解析(1)雙曲線方程為以下考慮(2)的三種解法.

解法1(答案解析)設(shè)直線lBQ:x=my+1,B(x1,y1),D(x2,y2),A(x1,-y1),聯(lián)立直線lBQ與C的方程,得(m2-3)y2+2my-2=0,則

直線AD的方程為由對稱性易知直線AD所過定點在x軸上, 則令y= 0 得代入根與系數(shù)關(guān)系可求得直線AD過定點(3,0).

方法2(從直線AD切入探求斜率與截距關(guān)系)設(shè)直線lAD:y=kx+b,A(x1,y1),D(x2,y2),B(x1,-y1),聯(lián)立lAD與C的方程, 得(1-3k2)x2-6kbx -3b2-3 = 0,則由B,D,Q三點共線可得kBQ=kDQ, 即化簡可得y1+y2-x1y2-x2y1=0,代入根與系數(shù)關(guān)系可得b=-3k,即直線AD過定點(3,0).

解法3(運用雙曲線的參數(shù)方程設(shè)點減少未知數(shù))設(shè)兩點式方程可化為(x2- x1)y -(y2- y1)x - x2y1+x1y2= 0, 代入A,D兩點坐標可得0.由和差化積公式可得:

又因為A,B在直線x=t上, 所以α+β= 2π, 則代入①式后可得對比直線AD的方程系數(shù)后可得其中x=3,y=0,即直線AD經(jīng)過定點(3,0).

圓錐曲線內(nèi)接三角形三邊關(guān)系是高考考查的熱點問題.從近五全國I卷來看,在2017年、2018年以及2020年這三年的考題均可構(gòu)建成由圓錐曲線導出的三條直線的斜率或過定點關(guān)系.題中的主干條件與結(jié)論或是斜率之和為定值時第三直線過定點, 或是斜率之積為定值時第三直線過定點.該題亦可提煉成雙曲線內(nèi)接三角形的三邊關(guān)系,與高考題不同點在于,題中三角形為兩邊過定點,一邊斜率為定值,由此提出以下幾點思考.

(1)題中直線x=t是否可泛化成一般的平行直線系?

(2)題中直線x=t與定點Q之間是否存在關(guān)系?

(3)直線AD所過定點與定點Q之間是否存在關(guān)系?

(4)在橢圓和拋物線中是否也存在相應的關(guān)系?

二、引申觸類,問渠哪得清如許

基于以上思考,將問題一般化后提出如下探究:

探究如圖1 所示, 設(shè)雙曲線方程為點P(λ,μ)不在雙曲線上, 過點P的直線交雙曲線于A,B兩點,過點B作斜率為k的直線交雙曲線于另一點C,則k為何值時, 直線AC經(jīng)過定點?定點坐標是多少?

圖1

因為直線AB經(jīng)過點P(λ,μ), 所以= 0, 又因為直線BC斜率為k, 所以代入直線AB方程化簡得

由兩點確定一條直線可知該直線與直線AC重合,對比直線AC系數(shù)可得:

結(jié)論1設(shè)雙曲線方程為點P(λ,μ)不在雙曲線上,過點P的直線交雙曲線于A,B兩點,過點B作斜率k為的直線交雙曲線于另一點C,當時,則直線AC經(jīng)過定點特別地,當μ=0 時,此時斜率k不存在,直線AC經(jīng)過定點

同理得到;

結(jié)論2設(shè)橢圓方程為點P(λ,μ)不在橢圓上,過點P的直線交橢圓于A,B兩點,過點B作斜率為k的直線交橢圓于另一點C,當時, 則直線AC經(jīng)過定點特別地, 當μ= 0 時, 此時斜率k不存在, 直線AC經(jīng)過定點

結(jié)論3設(shè)拋物線方程為y2=2px,點P(λ,μ)不在拋物線上,過點P的直線交拋物線于A,B兩點,過點B作斜率為k的直線交拋物線于另一點C,當時,則直線AC經(jīng)過定點特別地,當μ=0 時,此時斜率k不存在,直線AC經(jīng)過定點(-λ,0).

證明由拋物線的非齊次性可直接設(shè)則由(x2-x1)y-(y2-y1)x-x2y1+x1y2=0 可得

即(y1+y2)y -2px-y1y2= 0.同理lBC: (y2+y3)y -2px-y2y3= 0,lAC: (y1+y3)y-2px-y1y3= 0,由直線AB經(jīng)過點P(λ,μ)得

三、尋根究底,為有源頭活水來

注意到上述結(jié)論中直線所過定點和定點P(λ,μ)之間的關(guān)系,不難發(fā)現(xiàn),在橢圓和雙曲線中直線所過定點恰好在曲線的中心O與點P的連線上,拋物線的中心可以看作是在無窮遠處,則定點與P點連線與x軸平行.而直線BC的斜率k也滿足k·kOP=e2-1,如此巧合結(jié)論的背后其命題背景是什么呢?

文[1]中推論5 如下: 如圖2, 四邊形ABCD為橢圓的內(nèi)接梯形,AD//BC,AC ∩BD=Q, 則點P的極線過點Q, 且與直線AD,BC平行.特別地, 如圖3, 若BC//AD//y軸時, 點P的極線平行于y軸, 且與x軸的交點R也是AC,BD的交點.

圖2

圖3

根據(jù)以上推論不難發(fā)現(xiàn),如圖4 所示,在上述結(jié)論中,直線BC恰好與點P所對應的極線l平行,那么設(shè)極線l與直線AC交于點Q,由對稱性易知,Q為直線AC所過定點,由此可得如下結(jié)論.

圖4

結(jié)論4橢圓方程為點P(λ,μ)不在橢圓上,過點P的直線交橢圓于A,B兩點,過點B作斜率為k的直線交橢圓于另一點C,若時,則直線AC經(jīng)過定點,且該定點為直線OP與P點所對應極線的交點.

結(jié)論5雙曲線方程為點P(λ,μ)不在雙曲線上,過點P的直線交雙曲線于A,B兩點,過點B作斜率為k的直線交雙曲線于另一點C,若時,則直線AC經(jīng)過定點,且該定點為直線OP與P點所對應極線的交點.

結(jié)論6拋物線方程為y2=2px,點P(λ,μ)不在拋物線上,過點P的直線交拋物線于A,B兩點,過點B作斜率為k的直線交拋物線于另一點C,當時,則直線AC經(jīng)過定點,且該定點為為直線y=μ與P點所對應極線的交點.

依上述結(jié)論,文初所給例題可解答如下: 直線lOQ:y=0,點Q所對應的極線方程為x=3,則直線直線AD過定點(3,0).

四、舉網(wǎng)以綱,萬紫千紅總是春

根據(jù)以上結(jié)論以及命題背景,參照歷年的高考題,可以命制如下模擬題.

在平面直角坐標系xoy中, 已知點點M的軌跡為C.

(1)求C的方程.(答案:

(2)(命題角度1: 求取直線所過定點)經(jīng)過點P(-4,2)的直線交曲線C于A,B兩點, 過點B作斜率為1 的直線交曲線C于另一點D, 證明: 直線AD經(jīng)過定點.(答案:

(2)(命題角度2: 將定點轉(zhuǎn)化成定值)經(jīng)過點P(1,1)的直線交曲線C于A,B兩點, 過點B作斜率為的直線交曲線C于另一點D, 過點P作直線AD的垂線, 垂足為M,證明: 存在定點N,使得|MN|為定值.(答案:),

(2)(命題角度3: 探求直線斜率關(guān)系)經(jīng)過點P(-3,0)的直線交曲線C于A,B兩點,Q(-2,0),直線AQ交曲線C于點D(異于點A),證明∠BPQ=∠DPQ.