山東 崔 文

隨著《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標準》)和《中國高考評價體系》兩個綱領性文件的發(fā)布，新高考命題逐漸強化能力立意與素養(yǎng)導向.《課程標準》提出六大核心素養(yǎng)，其中直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理、構建抽象結構的思維基礎.史寧中教授認為“很多數(shù)學問題是看出來的，而不是做出來的”，可見直觀想象核心素養(yǎng)對數(shù)學學習的重要性.直觀想象核心素養(yǎng)得到提升的表現(xiàn)：學生能夠借助幾何直觀理解問題，利用數(shù)形結合的思想解答問題.本文對課堂教學中如何提升學生的直觀想象核心素養(yǎng)進行思考，期待產生共鳴.

一、透過幾何直觀研究題目規(guī)律

借助空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律，這是直觀想象核心素養(yǎng)的基本要求.要通過幾何體的結構特征，來確定點、線、面的位置關系，以及能夠求出長度、夾角、距離、面積、體積等幾何量，或者探究軌跡問題等.

【例1】已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為

( )

分析：解題時通常要根據(jù)題目中的描述畫出幾何圖形，但是球與它的內接三棱錐幾何作圖相對復雜，并且圖形中過多的點與線不利于對幾何問題的分析.不妨先對三棱錐的結構特征進行分析，辨清數(shù)量關系，再深入研究組合體的結構特征.

解析：畫出三棱錐如圖，

點評：本題是對學生的平面幾何思維和立體幾何思維的綜合考查，是對解三角形和立體幾何兩大模塊的整合，綜合性較強.

分析：根據(jù)已知條件，問題的本質是找到平面BCC1B1上的球心D1所對應的圓面，然后分析出截得的圓面在矩形BCC1B1上的弧長，即為球面與側面BCC1B1的交線長.

點評：解答本題的關鍵是要分析出D1E⊥側面BCC1B1，從而鎖定截面圓的圓心，逆向利用“球心和小圓圓心的連線垂直于圓面”這個非常重要的性質解答，對幾何直觀能力要求較高.

在日常教學中培養(yǎng)幾何思維，最關鍵的是養(yǎng)成作圖、觀圖、識圖、用圖的習慣，注意立體向平面的轉化，動態(tài)向靜態(tài)的轉化，組合體向簡單幾何體的轉化，感性思維向理性思維的轉化.要掌握一些常見的數(shù)學思想方法，如例1中用到模型化的方法，構造正方體模型解題，化難為易；例2用到平面化的方法，把立體幾何問題轉化為平面幾何問題.特別注意，有時需要整合各章知識，如例1用到解三角形的知識，考查了勾股定理和余弦定理.知識交匯是高考命題的趨勢，考查學生綜合分析問題和解決問題的能力.

二、利用幾何直觀表達數(shù)學問題

利用圖形描述、分析數(shù)學問題，這是直觀想象核心素養(yǎng)較高層次的要求.我們可以借助幾何圖形來表達一些代數(shù)問題，賦予其幾何意義，然后通過對幾何問題的研究使得原來的問題得以解決.這種解題思維在復數(shù)、向量、函數(shù)等問題中都有廣泛的應用.

分析：利用復數(shù)的向量表示，即從幾何意義的角度考慮，問題會變得很簡單.

解析：如圖所示，

點評：復數(shù)的?？梢源_定構造的三角形的形狀，為解題提供思路.觀察圖形的形狀對解題幫助很大.

【例4】已知向量a,b的夾角60°，|a|=2， |b|=1，則|a+2b|=________.

點評：平行四邊形法則和三角形法則使得向量的問題轉化為解三角形的問題，實現(xiàn)問題的幾何化.

【例5】若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則

( )

A.eb

B.ea

C.0

D.0

分析：畫出函數(shù)的圖象，對點(a，b)的位置進行分情況討論，即可得到選項.

解析：函數(shù)的圖象如圖，分析可知，若點(a，b)在函數(shù)的圖象的上方，沒有切線；若點(a，b)在函數(shù)的圖象上，只有一條切線；若點(a，b)在x軸上或者x軸下方，只有一條切線；故點(a，b)在函數(shù)的圖象下方，并且在x軸上方時，有兩條切線，可知0

點評：本題采用位置分析的方法，基于對點(a，b)位置進行完全歸納，最后得到點(a，b)位置的不等關系.

很多數(shù)學問題本身具備二維性，比如前面舉例的復數(shù)具有幾何意義，向量可用有向線段表示，函數(shù)可用圖象表示等.這就為問題的解決提供思維發(fā)散的空間，基于圖形分析問題使得解答更加簡潔.再如解不等式|x-1|+|x-3|>6，或解不等式|x+1|-|x-3|>3，可以運用數(shù)形結合解出解集，實現(xiàn)代數(shù)問題向幾何問題的轉化.

三、把代數(shù)問題建構為幾何模型

建立形與數(shù)的聯(lián)系，構建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路，這是直觀想象核心素養(yǎng)的高階思維要求.難點在于合理轉化，代數(shù)問題與幾何問題思維相互關聯(lián)，互為補充，以代數(shù)問題為藍本創(chuàng)建幾何圖形，以幾何圖形為依托進行代數(shù)分析，使得題目得到解答.

點評：本題對圖象變換和函數(shù)圖象的作圖有較高要求，需要平時加強訓練.

【例7】關于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個結論：

①f(x)是偶函數(shù);

③f(x)在[-π,π]內有4個零點;

④f(x)的最大值為2.

其中所有正確結論的序號是

( )

A.①②④

B.②④

C.①④

D.①③

分析：函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|是由基本初等函數(shù)y=sinx復合而成的函數(shù)，其圖象不能簡單畫出，但是我們根據(jù)函數(shù)y=sinx的對稱性，可以把函數(shù)y=sin|x|，y=|sinx|圖象疊加，得到函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|的圖象.

點評：要注意到正弦的波峰、波谷疊加時，圖象處于平衡位置.

以上兩題為函數(shù)問題，其思維的產生需要扎實的能力，豐富的數(shù)學解題經驗，數(shù)形結合思想和化歸與轉化思想的融合.構建數(shù)學問題的直觀模型，能夠使得很多復雜的問題思維量降低，解題過程優(yōu)化，進而快速得出答案.

四、直觀想象核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學建議

1.利用信息技術輔助教學，提升數(shù)形結合的能力.對平面幾何、立體幾何、函數(shù)、向量、圓錐曲線等的教學要多用幾何畫板或者GeoGebra輔助，建構圖形或者圖象，研究位置關系，或者探究定點、定值、定長、定角等問題，拓展學生思維.也可以采用折紙、實物演示等方法，讓學生進行觀察、分析、總結，養(yǎng)成良好的思維習慣.

2.積累數(shù)學活動經驗，助力深度思維的發(fā)生.很多問題有固定的解題模式，如構造模型法、圖象變換法、利用幾何意義等，典型的問題要對其認真探究，深入本質，歸納題型，在大腦里形成完整的數(shù)學解題模型.