廣東 陳應(yīng)全

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)中指出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，其中數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)作為六大核心素養(yǎng)之一，它主要表現(xiàn)：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果.數(shù)學(xué)運(yùn)算貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，是各個(gè)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須具備的一項(xiàng)基本技能和核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性直接影響到學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的高低.因此，如何有效地發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)是作為一線教師非常值得探討的重要課題.

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課堂的重要課型之一，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，達(dá)到鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)、培養(yǎng)思維能力、滲透數(shù)學(xué)思想方法的目的.在此過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)自然也成為解題教學(xué)的潛在收獲.可是，這當(dāng)中收獲有多大呢？事實(shí)上，不少老師在解題教學(xué)中仍然習(xí)慣采用“教師示范+學(xué)生模仿”的模式，注重解題模式的識(shí)別，淡化對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)和啟發(fā)等，使得解題教學(xué)未能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.可見(jiàn)，教師教學(xué)觀念落后，解題教學(xué)策略使用不當(dāng)，對(duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的收效甚微.下面筆者結(jié)合典型案例探討基于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的解題教學(xué)，以期拋磚引玉.

1 教學(xué)探討

1.1 確認(rèn)運(yùn)算對(duì)象,奠定運(yùn)算基礎(chǔ)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平二指出：能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運(yùn)算對(duì)象，提出運(yùn)算問(wèn)題.可見(jiàn)，確定運(yùn)算對(duì)象是探究運(yùn)算思路的前提.在解題教學(xué)中，教師要有針對(duì)性地選取在關(guān)聯(lián)情境中如何確定運(yùn)算對(duì)象的例題，并引導(dǎo)學(xué)生分析題意并確認(rèn)運(yùn)算對(duì)象，為學(xué)生提出數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

【例1】已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，證明：當(dāng)-10時(shí)，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a.

可見(jiàn)，在較復(fù)雜的關(guān)聯(lián)情境中確認(rèn)合適的運(yùn)算對(duì)象，使得表面看起來(lái)非常困難的問(wèn)題都會(huì)迎刃而解.因此，在解題教學(xué)中，教師可以通過(guò)結(jié)合運(yùn)算情境引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算對(duì)象所在的知識(shí)體系，多角度嘗試，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算對(duì)象的多元表征，讓學(xué)生領(lǐng)悟選取不同的運(yùn)算對(duì)象使得其解題過(guò)程的繁簡(jiǎn)程度是迥然不同的，旨在培養(yǎng)學(xué)生在關(guān)聯(lián)情境中確定合適運(yùn)算對(duì)象的意識(shí)，掌握確定運(yùn)算對(duì)象的基本策略，這對(duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的作用是巨大的.

1.2 明辨運(yùn)算思維，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平一指出：在運(yùn)算過(guò)程中，能夠體會(huì)運(yùn)算法則的意義和作用，能夠運(yùn)算驗(yàn)證簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)結(jié)論.因此，在解題教學(xué)中，教師不能只看運(yùn)算結(jié)果而忽略數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程，必須要讓學(xué)生明辨數(shù)學(xué)運(yùn)算思維的合理性，旨在把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).

這是2019年人教版A普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第229頁(yè)的一道習(xí)題.在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生有如下的做法:

所以cosC=-cos(A+B)

=-(cosAcosB-sinAsinB)

【例3】已知1≤a+b≤3，-1≤a-b≤2，則z=3a-b的取值范圍是________.

對(duì)于本題，很多學(xué)生有如下做法：

所以-2≤3a-b≤7.

以上解法看似無(wú)懈可擊，其實(shí)忽略了一個(gè)重要的隱含條件：a,b之間存在相互制約的關(guān)系，導(dǎo)致求得的范圍過(guò)大.事實(shí)上，由于a,b間存在制約關(guān)系，可以將a+b,a-b看成一個(gè)整體并找出3a-b與a+b，a-b的關(guān)系，從而求得3a-b的范圍為[-1,7].

從以上兩個(gè)例子可以看出，學(xué)生運(yùn)算思維方式存在偏差，往往會(huì)出現(xiàn)算不明、理不清的情況導(dǎo)致解答過(guò)程有誤.因此，在解題教學(xué)中，我們務(wù)必要將數(shù)學(xué)運(yùn)算的道理講清楚，讓學(xué)生明辨自己的思維方式是否有不恰當(dāng)之處，幫助學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

1.3 厘清運(yùn)算路徑，優(yōu)化運(yùn)算思路

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的水平二要求：能夠針對(duì)運(yùn)算問(wèn)題，合理選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，解決問(wèn)題.可見(jiàn)，運(yùn)算對(duì)象的確定與運(yùn)算方法的選擇是運(yùn)算素養(yǎng)中的重要環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的高低主要體現(xiàn)不在于運(yùn)算本身，而是在運(yùn)算對(duì)象的確定與運(yùn)算路徑的設(shè)計(jì).章建躍教授在《中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題》中提出：“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是進(jìn)行新課改有效教學(xué)的三個(gè)大基石”.因此，在解題教學(xué)中，教師要對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)中例題涉及的通性通法了如指掌，更要明確每種運(yùn)算路徑的思維關(guān)鍵點(diǎn)以及復(fù)雜運(yùn)算出現(xiàn)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，要以此為基礎(chǔ)幫助學(xué)生厘清運(yùn)算路徑，以期優(yōu)化運(yùn)算思路.

章建躍博士曾說(shuō)過(guò)，簡(jiǎn)單試題更能體現(xiàn)教師的教學(xué)基本功，難度不高的試題更有利于開(kāi)展教學(xué)，更有利于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.因此筆者在平面數(shù)量積的習(xí)題課選用了一道難度適中的題目作為例題.下面是兩位學(xué)生的解答過(guò)程.

學(xué)生2：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

以上兩位同學(xué)做法都是正確的，通過(guò)集體討論一致認(rèn)為學(xué)生2的做法對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)要求較低，是一種更加優(yōu)越的運(yùn)算思路.筆者就此做了總結(jié)：求解平面向量數(shù)量積通法有兩種，分別是基底法和坐標(biāo)法.基底法(學(xué)生1)一般要求作為基底的兩個(gè)向量模與夾角都要明確，進(jìn)而把相關(guān)向量表示出來(lái)后，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算.坐標(biāo)法(學(xué)生2)，建系時(shí)一般遵循對(duì)稱原則與簡(jiǎn)單化原則，即讓更多點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上以便表示相關(guān)的向量坐標(biāo)，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；使用坐標(biāo)法時(shí)，合理建系后轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算即可，此法對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算要求較低；而使用基底法時(shí)，用基底表示相關(guān)向量往往需要充分利用平行四邊形法則、三角形法則以及數(shù)乘運(yùn)算等，對(duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算要求較高，所以一般優(yōu)先考慮坐標(biāo)法.

通過(guò)以上例題的講解，幫助學(xué)生厘清了求解向量數(shù)量積的運(yùn)算路徑，并補(bǔ)充了如下題目檢驗(yàn)教學(xué)效果.

( )

A.[-1,1] B.[0,2]

C.[-2,2] D.[-2,0]

答案：D

1.4 把控運(yùn)算細(xì)節(jié)，加快素養(yǎng)提升

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平三中指出：能夠在綜合情境中，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問(wèn)題，確定運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算法則，明確運(yùn)算方向；在交流中能夠用程序思想理解和解釋問(wèn)題.在解題教學(xué)中，教師不僅要明確每種水平的具體要求，還要站在水平三的高度上指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算細(xì)節(jié)，幫助學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算水平往更高的等級(jí)邁進(jìn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

師：△OPQ的面積變化是由誰(shuí)影響呢？

生1：直線l的斜率k.

師：△OPQ面積公式是什么?

生2：△OPQ面積公式是底與高乘積除以2.

師：你能分別用k表示出△OPQ的底與高嗎？

生3：可以的，用弦長(zhǎng)公式將底|PQ|用k表示，用點(diǎn)到直線距離公式將高用k表示.

至此，學(xué)生已將△OPQ面積用k表示出來(lái)，根據(jù)原則，可以認(rèn)為達(dá)到了水平二的要求.那么，如何將學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算水平再提升一個(gè)等級(jí)呢？

生4：最大困惑在于上式分子中的根號(hào).

師：可以讓它消失嗎？如何才可以消失？

1.5 交流運(yùn)算成果，促進(jìn)素養(yǎng)養(yǎng)成

史寧中教授認(rèn)為：學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，本質(zhì)上是學(xué)生“悟”出來(lái)的，是學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，以及和他人的討論、反思逐漸養(yǎng)成的一種習(xí)慣.而課堂作為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的主陣地.因此，在解題教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程并為學(xué)生搭建一個(gè)交流運(yùn)算成果的平臺(tái)，在每完成一道題后要有師生間、生生間的交流過(guò)程，讓同學(xué)們走過(guò)的數(shù)學(xué)運(yùn)算歷程做好分享并形成良好的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，如運(yùn)算對(duì)象如何確認(rèn)，運(yùn)算路徑如何獲取，運(yùn)算錯(cuò)誤如何規(guī)避以及每種運(yùn)算路徑的運(yùn)算成本等.在交流的過(guò)程中，讓他們逐步學(xué)會(huì)借助運(yùn)算探討問(wèn)題，用程序思想理解和解釋問(wèn)題.這樣的數(shù)學(xué)課堂對(duì)學(xué)生運(yùn)算核心素養(yǎng)的養(yǎng)成更深刻.

2 結(jié)束語(yǔ)