魏宗康,郭鎮(zhèn)凈

（北京航天控制儀器研究所,北京 100039)

0 引言

命中精度作為彈道導(dǎo)彈的一項(xiàng)重要戰(zhàn)技指標(biāo),受到的影響因素很多,比如制導(dǎo)方法誤差、制導(dǎo)工具誤差、引力異常、再入誤差等。其中,慣性制導(dǎo)工具誤差約占整個命中精度誤差的60%～80%[1]。因此,建立易于分離的、精確的制導(dǎo)工具誤差模型并給出高精度參數(shù)估計(jì)方法,是提高導(dǎo)彈精度的關(guān)鍵[2]。

傳統(tǒng)的制導(dǎo)工具誤差是基于速度域上的線性回歸模型進(jìn)行估計(jì)的,由于環(huán)境函數(shù)矩陣各列之間的復(fù)線性問題,導(dǎo)致利用最小二乘法并不能得到準(zhǔn)確的估計(jì)。為解決該問題,現(xiàn)有文獻(xiàn)提出了兩類方法:1)使用Bayes估計(jì),這種方法最大的缺點(diǎn)就是對驗(yàn)前信息依賴性太強(qiáng),估計(jì)結(jié)果可能會不準(zhǔn)確;2)使用主成分估計(jì)、嶺估計(jì)、偏最小二乘估計(jì)等不同的估計(jì)方法,這些方法的核心思想是在模型不降階的前提下估計(jì)出系數(shù)的近似解,帶來的問題就是估計(jì)有偏差[1,3-5]。但是,這些方法都沒有從根本上解決慣性制導(dǎo)工具誤差系數(shù)的精確分離問題。

本文針對該問題提出了一種基于因果關(guān)系的慣性制導(dǎo)工具誤差分離方法,研究內(nèi)容不再是估計(jì)每個系數(shù),而是估計(jì)不同相關(guān)系數(shù)之間組合后的值,采用該方法得到的分離結(jié)果更準(zhǔn)確。

1 制導(dǎo)工具誤差模型及分離難點(diǎn)

制導(dǎo)系統(tǒng)工具誤差模型為

式（1)中,Y為遙外測觀測輸出量,C（t)·X 為Y的主值函數(shù),Y與C（t)·X之差η（t)稱為殘差。

制導(dǎo)工具誤差分離是采用某種手段以便從制導(dǎo)工具誤差模型中求解出制導(dǎo)工具誤差系數(shù)向量的值,最簡單直觀的手段是基于最小二乘來估計(jì)工具誤差向量,即

但由于慣性系統(tǒng)誤差的環(huán)境函數(shù)間強(qiáng)線性相關(guān),即結(jié)構(gòu)矩陣C的各列之間存在嚴(yán)重的復(fù)共線性,致使信息矩陣Φ=CTC有一些很接近于0的特征值,即Φ=CTC病態(tài),導(dǎo)致用最小二乘估計(jì)誤差大,分離結(jié)果不可信,達(dá)不到誤差分離的目標(biāo)。

下面給出實(shí)例來具體說明傳統(tǒng)方法的不足及本文方法的計(jì)算過程和優(yōu)點(diǎn)。設(shè)慣性制導(dǎo)線性系統(tǒng)的歸一化系數(shù)真值X的各元素為1,由于制導(dǎo)數(shù)據(jù)量過于龐大,截取其中一小段構(gòu)成的環(huán)境函數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣C和遙外測觀測輸出量Y為

可以驗(yàn)證,Φ=CTC的秩為4,Φ為奇異矩陣。此時,采用式（2)將不能解出X的值。

2 基于因果關(guān)系相關(guān)系數(shù)的辨識方法

為了解決環(huán)境函數(shù)矩陣不為列滿秩時的求解問題,提出了主成分估計(jì)（Principal Component A-nalysis,PCA)、Bayes估計(jì)、嶺估計(jì)、環(huán)境函數(shù)矩陣抖動估計(jì)、選主元剔次元估計(jì)、偏最小二乘估計(jì)[1,3,5-7],試圖使誤差分離結(jié)果更準(zhǔn)確。

2.1 主成分估計(jì)

當(dāng)C不為列滿秩時,則不能用式（2)的最小二乘法求解。所謂主成分估計(jì),就是把信息矩陣Φ=CTC中較小的特征值近似簡化為0以改善矩陣病態(tài),然后求解X的過程。

對信息矩陣進(jìn)行特征值分解,存在正交變換矩陣P= [PAPB],滿足

式（3)中,Λ為特征值構(gòu)成的對角陣,ΛB為Λ中所有非零特征值構(gòu)成的對角陣,PA為零特征值對應(yīng)的P中的特征向量,PB為非零特征值對應(yīng)的P中的特征向量。

誤差系數(shù)的主成分估計(jì)值為

采用上述主成分法對實(shí)例求解,非零特征值對應(yīng)的特征向量及非零特征值矩陣分別為

誤差系數(shù)的計(jì)算值及誤差為

可以看出,不能求解出X的真值。

2.2 Bayes估計(jì)

Bayes估計(jì)（又稱為約束主成分估計(jì))的關(guān)鍵是考慮誤差系數(shù)的驗(yàn)前信息。假設(shè)所有誤差系數(shù)均服從正態(tài)分布,驗(yàn)前均值為X0,驗(yàn)前方差矩陣為,則Bayes估計(jì)的計(jì)算公式[7]為

因此,Bayes估計(jì)在理論上存在不足之處,對驗(yàn)前信息依賴性較強(qiáng),若驗(yàn)前信息不可靠時,估值結(jié)果也不可信[5,7]。

2.3 嶺估計(jì)

嶺估計(jì)的工作原理是構(gòu)造新的信息矩陣Φ′,使得其最小特征值距零點(diǎn)遠(yuǎn)一些,從而改進(jìn)計(jì)算性能。嶺估計(jì)的計(jì)算公式為

嶺參數(shù)k的大小決定了對條件數(shù)改造的程度大小。因此,如何選擇合適的k值成為嶺估計(jì)研究的重心。

對于實(shí)例,設(shè)k的值由2×10-8逐漸增大到7,信息矩陣Φ′的條件數(shù)大幅改善,由2.35×1012減小到6.73×103,如圖1所示。

圖1 不同k值對應(yīng)的信息矩陣Φ′的條件數(shù)Fig.1 Condition number of information matrix Φ′corresponding to different k

圖2 不同k值對應(yīng)的均方誤差值Fig.2 Mean square error corresponding to different k

可以看出,當(dāng)k的值在10-4～10-2區(qū)間內(nèi)時,均方差相對較小。設(shè)k=1×10-3,計(jì)算值及估計(jì)誤差為

與主成分估計(jì)值進(jìn)行比較,二者近似相等。

但在工程應(yīng)用中,并不知道真實(shí)值X的大小,k的取值具有一定的主觀隨意性,缺乏理論嚴(yán)謹(jǐn)性。但最根本的問題是,仍然沒有克服估計(jì)的偏差性。

2.4 環(huán)境函數(shù)矩陣抖動估計(jì)

環(huán)境函數(shù)矩陣抖動估計(jì)的基本思想是對矩陣C做微幅抖動處理

式（7)中,Rd為一個大小與矩陣C相同的隨機(jī)矩陣, 其每個元素 Rd（i,j)～U（-1,1); （Rd·C)為矩陣Rd與矩陣C的點(diǎn)乘;m為抖動的幅度控制參數(shù)。

對變化后的回歸模型Y=CdX進(jìn)行最小二乘估計(jì),結(jié)果為

對于實(shí)例,設(shè)m的值由1×10-7逐漸增大到0.1,信息矩陣Cd的條件數(shù)大幅改善,由2.53×1016減小到3.33×104,如圖3所示。

圖3 不同m值對應(yīng)的信息矩陣Φ′的條件數(shù)Fig.3 Condition number of information matrixΦ′corresponding to different m

由圖4可知,當(dāng)m的值在10-7～10-6區(qū)間內(nèi)時,抖動效果不明顯,主要原因是信息矩陣Cd不滿秩。當(dāng)m的值在10-6～10-1區(qū)間內(nèi)時,信息矩陣Cd滿秩,當(dāng)m=1×10-6時,計(jì)算值及誤差為

圖4 不同m值對應(yīng)的系數(shù)估計(jì)值Fig.4 Coefficient estimationcorresponding to different m

但估計(jì)效果不理想,均方差接近0.69（大于主成分估計(jì)和嶺估計(jì)的結(jié)果)。因此,可以得出結(jié)論,采用環(huán)境函數(shù)矩陣抖動估計(jì)計(jì)算的值準(zhǔn)確性不如主成分估計(jì)和嶺估計(jì)的結(jié)果,但三者都不能估計(jì)出真值。

2.5 選主元剔次元估計(jì)

主成分估計(jì)、嶺估計(jì)、環(huán)境函數(shù)矩陣抖動估計(jì)等方法的一個特點(diǎn)是估計(jì)過程沒有改變結(jié)構(gòu)矩陣的維數(shù),辨識參數(shù)的維數(shù)也保持不變,但存在的問題是估計(jì)不準(zhǔn)確。另外一個思路是改變結(jié)構(gòu)矩陣的維數(shù),對模型進(jìn)行降維。選主元最小二乘法就是通過剔除接近零的最小特征值對應(yīng)的環(huán)境函數(shù)矩陣的列以改進(jìn)數(shù)據(jù)處理的效果,即選主元、剔次元。

由于選主元最小二乘法與顯著性的思路類似,下面采用該方法對實(shí)例進(jìn)行求解。表示因果關(guān)系的方程為

由于信息矩陣CTC為奇異矩陣,對原矩陣依次采用兩次環(huán)境函數(shù)矩陣抖動給出預(yù)估值,并進(jìn)行顯著性分析,逐次去掉不顯著的系數(shù)x5和x4。之所以去掉x5,是因?yàn)镃5x5對Y的貢獻(xiàn)度最小,如圖5所示。

圖5 輸出值及各項(xiàng)系數(shù)xi對應(yīng)的分量CixiFig.5 Output value and component Cixi corresponding to each coefficient xi

第三次估計(jì)值時,由于信息矩陣為滿秩,不能采用環(huán)境函數(shù)矩陣抖動法,故直接采用最小二乘法給出各項(xiàng)系數(shù)xi的值。為方便起見,設(shè)不顯著的系數(shù)為0,即x4=0、x5=0,求得的系數(shù)及誤差為

該估計(jì)值雖然可以滿足Y=CX,但估計(jì)的結(jié)果與真值差別較大。

2.6 偏最小二乘估計(jì)

偏最小二乘回歸方法的思路為:

1)設(shè)S0=C、Y0=Y,在S0中提取成分t1,令t1=S0·w1。 其中,w1=ST0Y0/‖Y0‖。 實(shí)施 S0與Y0在t1上的回歸

式（10)中,向量 p1、標(biāo)量 r1為回歸參數(shù),εs與εy為回歸殘差,有

記殘差矩陣S1=S0-t1,Y1=Y0-t1r1。如果此時回歸方程已經(jīng)達(dá)到滿意的結(jié)果,則算法停止;否則,令S0=S1,Y0=Y1,對殘差矩陣進(jìn)行新的成分提取與回歸。

2)在第h步（h=2,3,…,m),方程滿足精度要求,這時得到k個成分t1、t2、…、tk。其中,

可以看出,此處得到的結(jié)果與主成分估計(jì)、嶺估計(jì)的結(jié)果相同。因此,采用偏最小二乘回歸方法仍然沒有估計(jì)出真值。

綜上,這幾種方法是目前工具誤差系數(shù)分離的主要方法,各有特點(diǎn),然而都無法從根本上避免病態(tài)矩陣求逆問題,因而需要為工具誤差系數(shù)分離尋求新的解決途徑。而本文提出的方法通過引入相關(guān)系數(shù)的概念,將工具誤差系數(shù)通過因果關(guān)系重構(gòu)成新的誤差模型,降低了結(jié)構(gòu)矩陣的維數(shù),并且解決了環(huán)境函數(shù)矩陣復(fù)線性的問題,避免了病態(tài)矩陣求逆的過程,可以精確求解出各系數(shù)組合值。

3 基于因果關(guān)系相關(guān)系數(shù)的辨識方法

為克服在模型不降階的前提下對參數(shù)有偏估計(jì)的不足,本文提出了一種基于因果關(guān)系的慣性制導(dǎo)工具誤差系數(shù)分離方法,其核心思想是在模型中各因子相關(guān)的條件下,通過對模型適當(dāng)降階以求出各系數(shù)組合的精確解[8-10]。

首先,給出相關(guān)系數(shù)[8]的定義。設(shè)一組向量C1、C2、…、Cj線性相關(guān),則存在某些非零標(biāo)量ri（i=1,2, …,j-1)滿足

那么,對于向量 Cj與其余向量組 Ci（i=1,2,…,j-1),可以把向量組Ci看做一個n維空間的基,則其相關(guān)系數(shù)可以寫為

其次,將式（15)寫成基于相關(guān)系數(shù)的因果關(guān)系表達(dá)式

然后根據(jù)式（17),將制導(dǎo)系統(tǒng)工具誤差模型（式（1))寫成相關(guān)系數(shù)方程組

式（18)中,n=1,2,3,…,為參數(shù)的維數(shù)。

對實(shí)例采用式（18)可列寫出相關(guān)系數(shù)方程組,等效為以下矩陣方程

但是,采用傳統(tǒng)方法并不能準(zhǔn)確求解出6個系數(shù)的真值。

因此,采用本文提出的基于因果關(guān)系的方法對實(shí)例進(jìn)行求解,求解方法分為試湊法和通用法兩種。

3.1 試湊法

由于各系數(shù)的組合有多種,所以先通過嘗試的方法找到其中一種組合。

經(jīng)過檢驗(yàn),由C1、C2、C3、C4組成的矩陣為奇異矩陣,令

可列寫出相關(guān)系數(shù)方程組

求解得到的系數(shù)為:r4,1=4,r4,2=r4,3=0。由此,有C4=4C1。

經(jīng)過檢驗(yàn),由C1、C2、C3、C5組成的矩陣為奇異矩陣,令

可列寫出相關(guān)系數(shù)方程組

求解得到的系數(shù)為:r5,1=r5,3=1,r5,2=0。由此,有C5=C1+C3。

綜合以上結(jié)果,因果關(guān)系可以表示為圖6（a)所示。把C4和C5看作中間變量,有

在描述因果關(guān)系時,可采用合適的化簡方式來去掉中間變量,最后的表達(dá)形式如圖6（b)所示。

圖6 基于因果關(guān)系的簡化過程Fig.6 Simplification process based on causality

則式（19)可簡化為以下因果關(guān)系方程組

式（25)可直接求解,有

則誤差為

雖然通過以上求解過程最后可以得到各系數(shù)組合的精確值,但是過程比較繁瑣,不具備普適性和推廣性。下面給出一種基于因果關(guān)系的通用分析方法。

3.2 通用方法

首先,列出相關(guān)系數(shù)方程組的結(jié)構(gòu)矩陣

其次,求取結(jié)構(gòu)矩陣的秩

即該結(jié)構(gòu)矩陣不滿秩,其基矩陣的維數(shù)為4。

然后,通過構(gòu)造奇異矩陣來尋找基矩陣,若秩數(shù)和非零特征值個數(shù)相等則找到,否則繼續(xù)尋找?？梢则?yàn)證,結(jié)構(gòu)矩陣Cρ的第2、第3、第5、第6列可構(gòu)成基矩陣,即

該方法通過引入相關(guān)系數(shù)的概念,將工具誤差系數(shù)通過因果關(guān)系重構(gòu)成新的誤差模型,降低了結(jié)構(gòu)矩陣的維數(shù),并且解決了環(huán)境函數(shù)矩陣復(fù)線性的問題,避免了病態(tài)矩陣求逆的過程,可以精確求解出誤差系數(shù)的組合值。

4 結(jié)論

傳統(tǒng)的制導(dǎo)工具誤差分離時,環(huán)境函數(shù)矩陣各列之間存在復(fù)線性問題。為解決該問題,傳統(tǒng)方法有:1)基于先驗(yàn)信息的Bayes估計(jì)、嶺估計(jì),這種方法最大的缺點(diǎn)就是對驗(yàn)前信息依賴性太強(qiáng),估計(jì)結(jié)果可能會不準(zhǔn)確;2)無需先驗(yàn)信息的主成分估計(jì)、偏最小二乘估計(jì)等。這些方法的核心思想是在模型不降階的前提下估計(jì)出系數(shù)的近似解,帶來的問題就是估計(jì)有偏差。

本文提出了一種基于因果關(guān)系的慣性制導(dǎo)工具誤差系數(shù)分離方法,通過引入具有因果關(guān)系的相關(guān)系數(shù),把相互之間有關(guān)聯(lián)的制導(dǎo)工具誤差系數(shù)進(jìn)行整合,重構(gòu)出新的遙外測誤差模型。整合后的新系數(shù)對應(yīng)的環(huán)境函數(shù)矩陣為列滿秩,從而精確求解出誤差系數(shù)的組合值并確保了該值的唯一性,克服了主成分估計(jì)、嶺估計(jì)等傳統(tǒng)方法不能精確求解的缺點(diǎn)。把因果關(guān)系引入制導(dǎo)工具誤差系數(shù)分離過程中,克服了結(jié)構(gòu)矩陣維數(shù)過多的問題,有利于實(shí)時在線計(jì)算制導(dǎo)工具誤差系數(shù),具有簡單快捷、容易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。