王國軍 吳瑞環(huán)

(河北省石家莊市第二中學(xué)，050000)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的核心工具,在研究函數(shù)性質(zhì)的過程中,零點是最為核心和關(guān)鍵的問題.近幾年,零點問題是高考和模擬考試的熱點問題,一類涉及函數(shù)零點的不等式備受命題人青睞,成為理所當(dāng)然的把關(guān)壓軸題.學(xué)生對于這類問題并不陌生,也知道需要消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)不等式求解.但如何才能將不能顯性表示的零點表示出來,成為壓倒駱駝的最后一根稻草.本文挑選幾例模擬試題,給出增量代換法表示零點的可操作性過程,供大家高三復(fù)習(xí)備考.

一、增量法解決零點問題的過程

先用一道高考真題,給出增量代換法解決問題的具體過程.

例1(2010天津高考題)設(shè)函數(shù)f(x)=xe-x,x∈R.若f(x1)=f(x2),且x1≠x2,求證:x1+x2>2.

分析由已知條件得到一個方程,且含有超越結(jié)構(gòu),此時x1,x2無法具體表示出來;為表示出x1,x2,需要借助x1,x2之間的新的運算關(guān)系,構(gòu)造方程組求解.

解不妨設(shè)x1

第一步:引入?yún)?shù)t作為增量.

第二步:用增量表示零點x1,x2.

第三步:將多元不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于增量的一元函數(shù)不等式.

第四步:證明一元函數(shù)不等式,使問題獲解.

所以g(t)>2,即x1+x2>2.得證.

二、增量引入的常見方法

1.利用零點之比,引入增量參數(shù)

例2已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

分析第(1)問需對參數(shù)進行簡單的分類討論;第(2)問要能想到對目標(biāo)不等式取自然對數(shù)進行轉(zhuǎn)化,再利用增量代換法處理.

解(1)當(dāng)a≤0時,易見函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)增.

例3已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+2(a∈R)有兩個零點x1,x2.

(1)求實數(shù)的取值范圍;

解(1)(0，e).(過程略)

綜上,得證.

2.利用零點之差,引入增量參數(shù)

例4已知a>0,函數(shù)f(x)=xex-ax3+3ax+1.

(1)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù);

(2)若函數(shù)f(x)有三個極值點x1,x2,x3,且x1

x3+(e2-2e)x2+x1≥e2-e.

(2)易知f′(x)=(x+1)[ex-3a(x-1)].

由(1)可知x1=-1,要證x3+(e2-2e)x2+x1≥e2-e,只需證x3+(e2-2e)x2≥e2-e+1.

令h(t)=(e-1)2t+(et-1)(t-e),其中t>0,則h′(t)=(t-e+1)et+e2-2e,h″(t)=(t-e+2)et.所以當(dāng)0e-2時,h″(t)>0,h′(t)在(e-2,+∞)單調(diào)增.

因為h′(0)=e2-3e+1>0,h′(1)=0,故h′(e-2)<0,從而存在唯一t0∈(0,e-2),使得h′(t0)=0.所以當(dāng)00,h(t)單調(diào)增;當(dāng)t01時,h′(t)>0,h(t)單調(diào)增.

又h(0=0,h(1)=0,所以當(dāng)t>0時,h(t)≥0,原不等式成立.

數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化,自然解法也會千姿百態(tài),用一種方法包打天下是不切實際的.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)目的之一是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力,在教學(xué)上需要提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力,這單靠機械地刷題和題海戰(zhàn)術(shù)是很難真正實現(xiàn)的.高三復(fù)習(xí)教師要注重雙基本質(zhì)的挖掘,關(guān)注學(xué)生思維上的短板,充分暴漏自己解題的思維歷程,教給學(xué)生如何進行數(shù)學(xué)的思考和程式化的解題過程.這樣的課堂教學(xué)才真正有助于學(xué)生理解知識本質(zhì)、掌握基本方法,有利于學(xué)生形成有論據(jù)、有條理的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).