劉再平 張 琪

(陜西省漢中中學(xué),723000)

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.

(1)求p;

(2)若點P在圓M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點,求?PAB面積的最大值.

此道是2021年全國乙卷理科圓錐曲線壓軸題第21題,試題表述簡潔,問題設(shè)置循序漸進(jìn),有一定的梯度. 第(1)問比較基礎(chǔ),考查圓外一點到圓上距離的最小值,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)即可求出p的值;第(2)問顯然需要用參數(shù)表示出?PAB的面積,最后再求面積的最值,是此道壓軸題真正的壓軸點.

二、解法探究

求最值可以從函數(shù)、均值不等式和三角函數(shù)三個常見的視角出發(fā),梳理解題活動的思維導(dǎo)圖如圖2,從而獲得下列通性通法.

由點P在切線上,得x1x0-2y1-2y0=0,且x2x0-2y2-2y0=0,則點A,B的坐標(biāo)滿足方x0x-2y-2y0=0,即直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

解法2設(shè)點P(cosα,-4+sinα),切線方程為y=k(x-cosα)-4+sinα,與x2=4y聯(lián)立,可得

x2-4kx-4sinα+4kcosα+16=0.

令Δ=0,得k2-kcosα+sinα-4=0.故切線PA,PB的斜率k1,k2滿足k1+k2=cosα,k1k2=sinα-4,即點P(k1+k2,k1k2).

評注解法1通過設(shè)點的坐標(biāo)將三角形面積表示出來,使問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題;解法2利用參數(shù)方程將三角形的面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題,其中還是需要借助二次函數(shù)的性質(zhì)解題.因此,上述兩種方法都屬于解決此類問題的通法.

三、本質(zhì)探究

在上述壓軸題中,?PAB稱為阿基米德三角形.阿基米德(公元前287年——公元前212年),古希臘偉大的哲學(xué)家、物理學(xué)家,并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.為了紀(jì)念他，將拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.

性質(zhì)2直線AB的方程為(x1+x2)x-2py+x1x2=0.

性質(zhì)4直線AB過拋物線內(nèi)一定點C(xc,yc)時,點P的軌跡方程為xcx-py-pyc=0.特別地,當(dāng)點C為拋物線的焦點F時,點P的軌跡為拋物線的準(zhǔn)線,且PA⊥PB,PF⊥AB,且(S?PAB)min=p2.

性質(zhì)1至3仿上述解法1和解法2類似可證,這里從略.下面給出性質(zhì)4的簡證如下.

xcx-py-pyc=0.

四、試題簡解

運用阿基米德三角形的性質(zhì)3,此道壓軸題即可獲得如下簡解:

五、性質(zhì)運用

1.在高考題中的運用

(2)設(shè)?ABM的面積為S,求S的最小值.

2.在自招題中的運用

例2(2010年清華大學(xué)自招題)F為拋物線y2=2px的焦點,過點F的直線l與該拋物線交于A,B兩點,直線l1,l2分別是該拋物線在A,B兩點處的切線,l1,l2相交于點C,設(shè)|AF|=a,|BF|=b,求|CF|.

3.在競賽題中的運用

例3(2015年湖北省高中數(shù)學(xué)競賽題)過直線x-2y+13=0上一動點A(點A不在y軸上)作拋物線y2=8x的兩條切線,M,N為切點.求證:直線MN恒過一定點.

簡解不妨設(shè)直線MN恒過一定點P(x0,y0),由阿基米德三角形性質(zhì)4,可知點A的軌跡方程為y0y-4(x0+x)=0,即4x-y0y+4x0=0.此直線方程與x-2y+13=0等價,由待定系數(shù)法可得x0=13,y0=8.故直線MN恒過定點P(13,8).

(1)求證:直線AB過定點;

(2)求?PAB的面積S的最小值,以及取得最小值時點P的坐標(biāo).

簡解(1)不妨設(shè)直線AB恒過一定點M(x0,y0),由阿基米德三角形性質(zhì)4知點P的軌跡方程為x0x-(y0+y)=0,即x0x-y-y0=0.此直線方程與y=x-2等價,由待定系數(shù)法得x0=1,y0=2.故直線MN恒過定點M(1,2).

六、教學(xué)建議

1.夯實雙基,提高數(shù)學(xué)運算能力

圓錐曲線問題充當(dāng)壓軸題的角色已經(jīng)屢見不鮮,然而圓錐曲線壓軸題并不是高不可攀.因為圓錐曲線解答題一般設(shè)置二至三小問,一般來說每問之間聯(lián)系緊密,梯度明顯,循序漸進(jìn),第一問往往立足基本知識,所以學(xué)生理所應(yīng)當(dāng)在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中夯實圓錐曲線的雙基;第二、三問往往充當(dāng)著壓軸的地位,對學(xué)生的邏輯推理能力,特別是數(shù)學(xué)運算能力要求較高.如本文所闡述的2021年全國乙卷理科壓軸題壓軸第二問,通過認(rèn)真審題,大部分學(xué)生應(yīng)該都知道需要用參數(shù)表示出三角形的面積,然而三角形面積的表示并不容易,無疑對學(xué)生的運算素養(yǎng)要求較高. 所以教師要善于創(chuàng)設(shè)問題情境,將有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為運算問題,明確運算對象,確定運算思路,合理選用運算法則,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

2.適當(dāng)拓展,積極開展探究活動

查閱近十年的全國卷圓錐曲線解答題,不難發(fā)現(xiàn)很多題都有著豐富的數(shù)學(xué)背景.如本文所述的阿基米德三角形背景.所以教學(xué)中教師要善于超越具體知識與基本技能,深入到數(shù)學(xué)思維層面,適當(dāng)拓展,積極開展探究活動,促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).然而,拓展探究并非易事,章建躍博士提出的如下探究 “基本套路”,值得借鑒.

教師要善于抓住機會引導(dǎo)學(xué)生按上述邏輯開展探究活動,經(jīng)過長時間熏陶,學(xué)生就會在潛移默化中養(yǎng)成一種深入思考、樂于探究的好習(xí)慣,如此不僅能培養(yǎng)學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維,更對數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的發(fā)展大有裨益.