謝毅超，陶 鑫，任 磊，夏克青

(1. 西安交通大學(xué) 航天航空學(xué)院， 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049；2. 南方科技大學(xué) 力學(xué)與航空航天工程系，復(fù)雜流動(dòng)及軟物質(zhì)研究中心，深圳 518055)

0 引 言

湍流多重態(tài)是近期湍流研究的熱點(diǎn)問題[1]。湍流多重態(tài)通常是指在相同控制參數(shù)下，湍流系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)不同的流動(dòng)結(jié)構(gòu)和統(tǒng)計(jì)特性，比如在von Kármán旋轉(zhuǎn)湍流[2-5]、Taylor-Couette流動(dòng)[6-9]、展向旋轉(zhuǎn)平板Couette流動(dòng)[10-11]、球形Couette流動(dòng)[12]和Taylor-Green湍流[13]中，人們均發(fā)現(xiàn)湍流系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)以不同的大尺度湍流結(jié)構(gòu)為典型特征的多態(tài)現(xiàn)象。上述系統(tǒng)中觀察到的多態(tài)現(xiàn)象可以分為以下兩類：一類多態(tài)現(xiàn)象源于系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)力對(duì)稱性的改變或者驅(qū)動(dòng)力在控制參數(shù)空間路徑的改變，例如Von Kármán旋轉(zhuǎn)湍流、Taylor-Couette流動(dòng)和Taylor-Green湍流；另一類多態(tài)現(xiàn)象源于不同的初始條件，例如展向旋轉(zhuǎn)平板Couette流動(dòng)。作為湍流的重要模型之一，浮力驅(qū)動(dòng)的熱湍流（熱對(duì)流）是否也存在類似的多態(tài)現(xiàn)象備受關(guān)注。

熱對(duì)流現(xiàn)象廣泛存在于自然界和工程應(yīng)用中，如海洋[14]和大氣[15]中的熱對(duì)流及核聚變反應(yīng)堆包層[16]中的熱對(duì)流等。Rayleigh-Bénard（RB） 熱湍流是從眾多自然現(xiàn)象中抽象出來(lái)研究浮力驅(qū)動(dòng)湍流的經(jīng)典模型[17-19]。在RB系統(tǒng)中，通過(guò)加熱封閉對(duì)流腔體的下邊界，同時(shí)冷卻其上邊界，使流體在浮力的作用下產(chǎn)生對(duì)流。當(dāng)上下邊界的溫差足夠大時(shí)，RB系統(tǒng)會(huì)進(jìn)入湍流狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的溫度梯度主要集中于上下邊界處很薄的溫度邊界層內(nèi)。溫度邊界層由于不穩(wěn)定性生成冷（熱）羽流，羽流通過(guò)自組織，形成大尺度湍流結(jié)構(gòu)[20]。

在Oberbeck-Boussinesq（OB）近似下，RB系統(tǒng)的控制方程為：

不可壓縮連續(xù)性方程

加入浮力項(xiàng)的Navier-Stokes（N-S）方程

熱輸運(yùn)方程

其中，ui(i= 1,2,3)為速度場(chǎng)，θ為溫度場(chǎng)，p為廣義壓強(qiáng)場(chǎng)；υ為運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)，α為熱膨脹系數(shù)，κ為熱擴(kuò)散系數(shù)，δij為Kronecker符號(hào)。在OB近似下，方程（1～3）無(wú)量綱化后可以得到RB系統(tǒng)的兩個(gè)無(wú)量綱控制參數(shù)，即Rayleigh數(shù)（Ra）和Prandtl數(shù)（Pr），定義如下：

式中，Δ為上下邊界溫差，H為對(duì)流腔體高度。Ra數(shù)是無(wú)量綱化的溫差，用來(lái)衡量驅(qū)動(dòng)浮力的大??；Pr數(shù)表征流體的物性參數(shù)。從實(shí)驗(yàn)的角度，還需要引入系統(tǒng)的寬高比Γ=D/H來(lái)表征給定幾何形狀下對(duì)流腔體的空間約束程度，這里D為對(duì)流腔體的水平特征尺度。

RB系統(tǒng)的響應(yīng)參數(shù)為Nusselt數(shù)（Nu）和Reynolds數(shù)（Re）。它們的定義分別如下：

其中，＜···＞A表示對(duì)任意一水平面的面平均，u3為豎直方向的速度，U為系統(tǒng)的特征速度。Nu數(shù)表示RB系統(tǒng)傳熱效率與流體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)熱傳導(dǎo)傳熱效率的比值，用于衡量系統(tǒng)的熱輸運(yùn)效率。Re數(shù)衡量系統(tǒng)的動(dòng)量輸運(yùn)效率。

已有研究發(fā)現(xiàn)在圓柱對(duì)流腔體內(nèi)的熱湍流會(huì)出現(xiàn)單環(huán)結(jié)構(gòu)和雙環(huán)結(jié)構(gòu)的大尺度湍流結(jié)構(gòu)[21-22]。近期謝毅超等發(fā)現(xiàn)隨著Ra數(shù)在6.0×107～1.3×109范圍內(nèi)的增加，圓環(huán)對(duì)流腔體中的RB熱湍流會(huì)從高傳熱效率的四極子湍流態(tài)演化到低傳熱效率的偶極子湍流態(tài)，這種流態(tài)轉(zhuǎn)變對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的自發(fā)對(duì)稱破缺[23]。在轉(zhuǎn)變區(qū)間，系統(tǒng)呈現(xiàn)出多重態(tài)現(xiàn)象，即系統(tǒng)會(huì)在四極子態(tài)和偶極子態(tài)兩個(gè)亞穩(wěn)態(tài)之間自主隨機(jī)的轉(zhuǎn)變。如果Ra繼續(xù)增加，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)什么樣的流態(tài)，其又遵循什么樣的輸運(yùn)規(guī)律是本文將要研究的問題。

需要指出的是四極子流態(tài)和偶極子流態(tài)與單環(huán)結(jié)構(gòu)（雙環(huán)結(jié)構(gòu)）湍流態(tài)[21-22]有著明顯的區(qū)別。單雙環(huán)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變存在于實(shí)驗(yàn)所包括的所有Ra數(shù)工況下，并且這兩個(gè)狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間均和大尺度湍流結(jié)構(gòu)的特征時(shí)間相當(dāng)；而偶極子流態(tài)和四極子流態(tài)的轉(zhuǎn)變只發(fā)生在有限的Ra數(shù)范圍內(nèi)，且系統(tǒng)處在各態(tài)的時(shí)間遠(yuǎn)大于大尺度湍流結(jié)構(gòu)的特征時(shí)間；其次，單雙環(huán)結(jié)構(gòu)流態(tài)轉(zhuǎn)變并未導(dǎo)致系統(tǒng)的Nu數(shù)等響應(yīng)參數(shù)出現(xiàn)明顯的雙峰結(jié)構(gòu)。

1 實(shí)驗(yàn)裝置和測(cè)量方法

實(shí)驗(yàn)采用了圓環(huán)對(duì)流腔體。為了表征圓環(huán)體的空間約束效應(yīng)，除了寬高比Γ以外，還需要引入內(nèi)外徑比γ=Di/Do，這里Di是圓環(huán)體內(nèi)圓柱的外徑，Do是圓環(huán)體外圓柱的內(nèi)徑。實(shí)驗(yàn)中采用了兩套幾何參數(shù)接近、但特征高度不同的對(duì)流腔體，它們的高度分別為H= 150 mm（大對(duì)流腔體）和H= 104 mm（小對(duì)流腔體）。大對(duì)流腔體和小對(duì)流腔體的寬高比和內(nèi)外徑比分別為Γ= 2、γ= 0.9和Γ= 1.88、γ= 0.9。

實(shí)驗(yàn)裝置卡通圖見圖1，每個(gè)對(duì)流腔體由三部分組成，分別是無(wú)氧紫銅（TU1）制作的冷卻上板、加熱下板和有機(jī)玻璃制作的邊壁。上下板和流體接觸的表面鍍了鎳薄層保護(hù)紫銅。上板內(nèi)部刻有圓環(huán)形的流道，深20 mm，寬度5 mm，來(lái)自恒溫水?。↗ulabo DD1000）的冷卻水流經(jīng)流道，冷卻上板。下板內(nèi)埋有兩層鎳鉻電阻絲（Omega，NI80-012-200），由99.99%電壓穩(wěn)定性的直流電源（Armetex，XG300-5）提供恒定的加熱。為了實(shí)現(xiàn)高精度的熱輸運(yùn)測(cè)量，實(shí)驗(yàn)使用了邊壁保溫罩和底部保溫罩等輔助保溫裝置。整個(gè)對(duì)流腔體放置于保溫裝置內(nèi)，并將保溫裝置和對(duì)流腔體之間的空隙填滿保溫棉。

實(shí)驗(yàn)采用熱敏電阻（Omega Inc，44031）實(shí)現(xiàn)高精度的溫度測(cè)量：分別在上下板中沿角向均勻布置8個(gè)溫度探頭，測(cè)量其溫度。結(jié)合同步測(cè)量的加熱板輸入電壓U和電流I，可以計(jì)算系統(tǒng)的Nu數(shù)，Nu=UIH/[χΔπ(D2o?D2i)/4] ，其中χ為流體的導(dǎo)熱系數(shù)。為了同步測(cè)量大尺度湍流結(jié)構(gòu)與熱輸運(yùn)效率，在對(duì)流腔體外邊壁，距離下板高度為z = H/2的位置沿角向均勻布置16個(gè)溫度探頭，并在z= 3H/4 的位置沿角向均勻布置8個(gè)溫度探頭。實(shí)驗(yàn)開始前，對(duì)用到的47個(gè)溫度探頭進(jìn)行標(biāo)定，其相對(duì)溫度測(cè)量的精度好于0.01 K。通過(guò)數(shù)據(jù)采集器（Keithley 2701）實(shí)現(xiàn)熱敏電阻阻值、輸入電壓和電流的測(cè)量，采樣頻率為0.21 Hz。實(shí)驗(yàn)測(cè)量發(fā)現(xiàn)z=H/2 處和z= 3H/4 處的溫度信號(hào)呈現(xiàn)的信息是一致的，因此在下文中主要分析z=H/2處的溫度測(cè)量。

實(shí)驗(yàn)使用去離子水作為工作物質(zhì)。大對(duì)流腔體上下板的溫差范圍為2.4 K ≤Δ≤ 34.3 K , 對(duì)應(yīng)的Ra數(shù)范圍為 2.0×108≤Ra≤ 2.9×109。流體的平均溫度設(shè)定為30℃，對(duì)應(yīng)的Prandtl數(shù)為Pr= 5.4。通過(guò)PID調(diào)制，使得上板的溫度為恒定值，其近似地滿足恒溫邊界條件；下板為恒熱流邊界條件；邊壁為絕熱邊界條件。對(duì)于每一個(gè)Ra工況，先通過(guò)PID溫控程序調(diào)制下板輸入功率和上板溫度，使系統(tǒng)收斂到預(yù)設(shè)的Ra值，隨后固定加熱板的輸入功率并且等待系統(tǒng)穩(wěn)定2.5 h以后，開始采集數(shù)據(jù)。根據(jù)Ra數(shù)的不同，實(shí)驗(yàn)測(cè)量的時(shí)間不同，當(dāng)處于最大的Ra數(shù)時(shí)，測(cè)量時(shí)間最短，為12 h；在后文提到的轉(zhuǎn)變區(qū)間內(nèi)的工況，測(cè)量時(shí)間最長(zhǎng)，為72 h。

實(shí)驗(yàn)中，使用粒子圖像測(cè)速儀（particle image velocimetry, PIV，Lavision）直接測(cè)量了小對(duì)流腔體內(nèi)的大尺度湍流結(jié)構(gòu)。為了實(shí)現(xiàn)PIV測(cè)量，將上板用透明的藍(lán)寶石代替，激光光片從水平方向射入對(duì)流腔體，將攝像機(jī)置于對(duì)流腔體正上方，從而獲得對(duì)流腔體不同高度的水平二維速度矢量場(chǎng)。實(shí)驗(yàn)中分別測(cè)量了四極子流態(tài)和偶極子流態(tài)的空間結(jié)構(gòu)；對(duì)于每一個(gè)流態(tài)，測(cè)量了5個(gè)不同高度；每個(gè)高度的測(cè)量時(shí)長(zhǎng)為20 min，其采樣頻率為15 Hz。

2 結(jié)果分析

2.1 大尺度湍流結(jié)構(gòu)直接測(cè)量

通過(guò)測(cè)量對(duì)流腔體z=H/2 處的溫度空間分布，文獻(xiàn)[23]在小對(duì)流腔體中發(fā)現(xiàn)熱湍流會(huì)出現(xiàn)偶極子流態(tài)和四極子流態(tài)。在本文中，利用PIV直接測(cè)量了小對(duì)流腔體中這兩種流態(tài)的空間結(jié)構(gòu)。

圖2（a）展示了偶極子流態(tài)時(shí)對(duì)流腔體五個(gè)高度的時(shí)均速度矢量場(chǎng)和部分流線。從流線方向可以看出封閉對(duì)流腔體內(nèi)存在兩個(gè)大尺度渦結(jié)構(gòu)，其路徑分別為（abcdefa）和（agcdhfa）。圖2（b）和圖2（c）分別展示了時(shí)間和徑向平均后的角向速度與徑向速度分布。與文獻(xiàn)[23]溫度測(cè)量中觀察到的偶極子流態(tài)類似，角向速度分布呈現(xiàn)偶極子結(jié)構(gòu)，同時(shí)徑向速度比角向速度小一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此圓環(huán)腔體內(nèi)的偶極子流態(tài)近似地看作沿著角向和軸向的準(zhǔn)二維流動(dòng)。

圖3（a）展示了四極子流態(tài)時(shí)對(duì)流腔體五個(gè)高度時(shí)均速度矢量場(chǎng)和部分流線。圖3（b）和圖3（c）分別展示了時(shí)間和徑向平均后的角向速度與徑向速度分布。結(jié)合圖3（a、b） 可以看出圓環(huán)對(duì)流腔體中存在4個(gè)大小不等且上下貫穿的大尺度渦結(jié)構(gòu)，這與文獻(xiàn)[23]中溫度測(cè)量得到的四極子流態(tài)一致。比較圖3（b）和圖3（c）可以看出四極子流態(tài)的徑向速度比角向速度小一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此圓環(huán)對(duì)流腔體中的四極子流態(tài)也可以看作沿角向和軸向的準(zhǔn)二維流動(dòng)。由于溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)反映的大尺度結(jié)構(gòu)是一致的，因此可以通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的溫度測(cè)量來(lái)研究大尺度湍流渦結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。

2.2 熱湍流多重態(tài)

這部分主要討論RB熱湍流中的多重態(tài)現(xiàn)象。由2.1節(jié)中的結(jié)論可知，在RB湍流中速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)呈現(xiàn)的信息一致，因此可以通過(guò)直接測(cè)量溫度場(chǎng)，得到對(duì)流腔體中的大尺度湍流結(jié)構(gòu)信息。小對(duì)流腔體的結(jié)果已經(jīng)在參考文獻(xiàn)[23]中予以報(bào)道，本文將主要關(guān)注大對(duì)流腔體中的多重態(tài)現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)中采用多溫度探頭技術(shù)[24-25]測(cè)量大尺度流動(dòng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性。在每一時(shí)刻，將對(duì)流腔體邊壁z=H/2處的溫度空間分布進(jìn)行離散傅里葉展開：

其中，為16個(gè)溫度探頭的平均溫度，Ak為第k階模態(tài)的幅值，θk為第k階模態(tài)的初相角，l為從0到15的整數(shù)。在本文研究的γ≈ 0.9的圓環(huán)體中，流動(dòng)為沿角向和軸向的準(zhǔn)二維流動(dòng)，因此通過(guò)測(cè)量角向溫度分布可以更加清晰地反映大尺度湍流結(jié)構(gòu)。

圖4（a～d）分別展示一階至四階傅里葉模態(tài)主導(dǎo)時(shí)z = H/2處的溫度分布和對(duì)應(yīng)階的三角函數(shù)擬合曲線。與文獻(xiàn)[23]中的結(jié)果一致，大尺度湍流結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)一階模態(tài)和二階模態(tài)主導(dǎo)的湍流態(tài) （圖4（a、b））；不同的是，在大對(duì)流腔體中還觀測(cè)到了三階傅里葉模態(tài)（圖4（c）） 和四階傅里葉模態(tài)（圖4（d）） 占主導(dǎo)的情況。傅里葉模態(tài)與流態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：一階模態(tài)對(duì)應(yīng)偶極子流態(tài)，二階模態(tài)對(duì)應(yīng)四極子流態(tài)，三階和四階模態(tài)對(duì)應(yīng)高階流態(tài)。

圖4 對(duì)流腔體z = H/2處不同模態(tài)主導(dǎo)時(shí)對(duì)應(yīng)的溫度分布：（a）一階，（b） 二階，（c） 三階， （d） 四階Fig. 4 Fourier modes of the azimuthal temperature profile measured at half-height of the convection cell: (a) the first mode,(b) the second mode, (c) the third mode and (d) the fourth mode

為研究流態(tài)隨Ra數(shù)的變化規(guī)律，引入模態(tài)相對(duì)強(qiáng)度Sk[26]，其定義為：

這里k為1到4的整數(shù)。當(dāng)?shù)趉階模態(tài)的能量Ek=A2k占總能量的一半以上時(shí)，認(rèn)為其是主導(dǎo)流態(tài)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的Sk大于1/3；如果第k階流態(tài)的能量小于所有流態(tài)能量的平均值，對(duì)應(yīng)的Sk為0。由于長(zhǎng)時(shí)間測(cè)量過(guò)程中有一個(gè)溫度探頭出現(xiàn)故障，為了統(tǒng)一所有Ra數(shù)的數(shù)據(jù)處理方法，我們?cè)趜=H/2選擇了8個(gè)角向均勻分布的溫度探頭進(jìn)行流態(tài)分析。研究發(fā)現(xiàn)16個(gè)溫度探頭和8個(gè)溫度探頭獲得的前四階流態(tài)信息是一致的。

圖5（a） 展示了Ra= 4×108時(shí)模態(tài)相對(duì)強(qiáng)度Sk的時(shí)間序列。為了更加清晰的看到大尺度湍流結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，圖中的時(shí)間序列經(jīng)過(guò)了一個(gè)低通濾波，后文將使用相同的方法處理數(shù)據(jù)。從中可以清晰地看到一階模態(tài)到四階模態(tài)陣發(fā)主導(dǎo)的現(xiàn)象。圖5（b）展示了Ra= 1.13×109時(shí)的模態(tài)相對(duì)強(qiáng)度的時(shí)間序列，可以看出此時(shí)系統(tǒng)先從偶極子流態(tài)主導(dǎo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)變到了四極子流態(tài)主導(dǎo)的狀態(tài)，四極子流態(tài)持續(xù)了接近30個(gè)小時(shí)，偶極子流態(tài)又重新成為了主導(dǎo)流態(tài)。這個(gè)流態(tài)轉(zhuǎn)變過(guò)程與文獻(xiàn)[23]中報(bào)道的類似，說(shuō)明大對(duì)流腔體中也存在以不同大尺度湍流結(jié)構(gòu)為典型特征的多重態(tài)現(xiàn)象。進(jìn)一步分析給出大對(duì)流腔體流態(tài)的 轉(zhuǎn) 變 區(qū) 間 為1.0×109≤Ra≤ 1.4×109（見 圖11和圖12）。

圖5 轉(zhuǎn)變區(qū)間前 、轉(zhuǎn)變區(qū)間內(nèi) 、轉(zhuǎn)變區(qū)間后前四階傅里葉模態(tài)相對(duì)強(qiáng)度Sk的時(shí)間序列Fig. 5 Time series of Sk ( k = 1,2,3,4 ) : (a) before, (b) during and(c) after the transition

圖5（c） 展示的是Ra= 2.9×109的相對(duì)模態(tài)強(qiáng)度。由于此時(shí)大尺度結(jié)構(gòu)完全由偶極子流態(tài)主導(dǎo)，其它階流態(tài)的相對(duì)強(qiáng)度始終為0。綜合圖5（a～c），發(fā)現(xiàn)隨著Ra數(shù)的增加，大尺度湍流結(jié)構(gòu)從高階模態(tài)主導(dǎo)的流態(tài)轉(zhuǎn)變到了最低階的一階模態(tài)，這與文獻(xiàn)[23]中的發(fā)現(xiàn)是一致的；與文獻(xiàn)[23]不同的是在大對(duì)流腔體中Ra比較小的時(shí)候，大尺度湍流結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出一階到四階模態(tài)交替隨機(jī)出現(xiàn)的狀態(tài)（圖5（a））。而在文獻(xiàn)[23]中，轉(zhuǎn)變之前的大尺度湍流結(jié)構(gòu)只存在偶極子流態(tài)。

從圖5的分析中可以清楚地看出在大對(duì)流腔體中也存在多重態(tài)現(xiàn)象，那么不同流態(tài)出現(xiàn)的機(jī)率隨Ra是如何變化的呢？圖6反映的是不同流態(tài)主導(dǎo)時(shí)間占總時(shí)間的比重隨Ra數(shù)的變化。在轉(zhuǎn)變區(qū)間之前，偶極子流態(tài)主導(dǎo)時(shí)間比小于8%，而四極子流態(tài)主導(dǎo)時(shí)間比重相對(duì)快速上升，此外高階模態(tài)占據(jù)了大約50%的時(shí)間，且高階模態(tài)比重隨Ra增大而減少。進(jìn)入轉(zhuǎn)變區(qū)間時(shí)，高階模態(tài)相對(duì)一階和二階模態(tài)的占比已可以忽略。轉(zhuǎn)變區(qū)間內(nèi)，偶極子流態(tài)主導(dǎo)時(shí)間占比開始驟升，而四極子流態(tài)占比驟降。轉(zhuǎn)變區(qū)間過(guò)后，全時(shí)域由偶極子流態(tài)主導(dǎo)。因此，圖6反映了大尺度湍流結(jié)構(gòu)隨著Ra數(shù)的增加是如何從高階流態(tài)動(dòng)態(tài)地演化到了最低階的湍流態(tài)。

圖6 不同模態(tài)時(shí)間占比隨Ra數(shù)的變化Fig. 6 Time fractions of different flow modes versus Ra

2.3 流態(tài)與熱輸運(yùn)效率的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖7（a）為流態(tài)轉(zhuǎn)變區(qū)間內(nèi)S1、S2的時(shí)間序列，圖7（b）為對(duì)應(yīng)Nu數(shù)的時(shí)間序列，可以看出偶極子流態(tài)主導(dǎo)時(shí)，RB系統(tǒng)的時(shí)均Nu數(shù)為Nu= 64 ± 0.12；而四極子流態(tài)主導(dǎo)時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)均Nu數(shù)為Nu= 66 ± 0.21。由此可見，流態(tài)與輸運(yùn)效率存在明確的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且四極子流態(tài)的熱輸運(yùn)效率高于偶極子流態(tài)。

圖7 轉(zhuǎn)變區(qū)間Sk與對(duì)應(yīng)的Nu數(shù)的時(shí)間序列Fig. 7 Time series of S1, S2 and the corresponding Nu during the transition

圖8給出了Ra= 1.06×109長(zhǎng)時(shí)間采樣的S1、S2和Nu數(shù)的時(shí)間序列?？梢钥闯雠紭O子流態(tài)和四極子流態(tài)隨機(jī)交替成為系統(tǒng)的主導(dǎo)大尺度湍流結(jié)構(gòu)，與此對(duì)應(yīng)的是系統(tǒng)的Nu數(shù)也在兩個(gè)狀態(tài)之間變化。這與圖7給出的例子是一致的。此外，在整個(gè)流態(tài)轉(zhuǎn)變區(qū)間內(nèi)（1.0×109≤Ra≤ 1.4×109）都觀察到了類似于圖8中所展示的現(xiàn)象，說(shuō)明熱湍流多態(tài)現(xiàn)象以及流態(tài)和輸運(yùn)效率一一對(duì)應(yīng)是轉(zhuǎn)變區(qū)間的普遍現(xiàn)象。

圖8 Ra = 1.06×109時(shí)S1、S2與 對(duì)應(yīng)的Nu數(shù)的長(zhǎng)時(shí)間序列Fig. 8 Long time series of S1, S2, and the corresponding Nu at Ra = 1.06×109

為了從統(tǒng)計(jì)上分析流態(tài)與輸運(yùn)效率的關(guān)系，分析Sk和Nu數(shù)的互相關(guān)函數(shù)。兩個(gè)變量x和y的歸一化互相關(guān)函數(shù)定義為：

其中＜···＞表示時(shí)間平均?；ハ嚓P(guān)函數(shù)表征的是兩個(gè)時(shí)間序列在Δt間隔下的相關(guān)程度，其峰值代表兩個(gè)時(shí)間序列相關(guān)程度達(dá)到極值的情況。峰值對(duì)應(yīng)的時(shí)間延遲Δt如果是正值，表示x、y兩組序列中的相關(guān)信號(hào)，在y序列中發(fā)生要先于在x序列；反之同理。

圖9（a）和圖9（b）分別展示了Ra= 1.13×109時(shí)，偶極子流態(tài)相對(duì)強(qiáng)度S1和Nu數(shù)以及四極子流態(tài)相對(duì)強(qiáng)度S2和Nu數(shù)的互相關(guān)函數(shù)?？梢钥闯鯯1和Nu呈負(fù)相關(guān)，而S2和Nu呈正相關(guān)，說(shuō)明偶極子流態(tài)越強(qiáng)，系統(tǒng)的熱輸運(yùn)效率越低；四極子流態(tài)越強(qiáng)，系統(tǒng)的熱輸運(yùn)效率越高；同時(shí)兩個(gè)互相關(guān)函數(shù)的峰值均對(duì)應(yīng)于負(fù)的時(shí)間延遲，說(shuō)明大尺度湍流結(jié)構(gòu)的變化引起了系統(tǒng)熱輸運(yùn)效率的變化。

圖9 S1與Nu、S2與Nu的互相關(guān)函數(shù)Fig. 9 The cross-correlation function between(a) S1 and Nu and (b) S2 and Nu

從圖6中可以看出Ra= 4.0×108時(shí)，大尺度湍流結(jié)構(gòu)主要由四極子流態(tài)和高階模態(tài)占主導(dǎo)的流態(tài)主導(dǎo)。將它們的相對(duì)強(qiáng)度S2、Sh分別和Nu做互相關(guān)分析，這里Sh=S3+S4是高階模態(tài)占主導(dǎo)的流態(tài)的相對(duì)強(qiáng)度。圖10（a）和圖10（b）分別展示了S2和Nu數(shù)以及Sh和Nu數(shù)的互相關(guān)函數(shù)?？梢钥闯?，四極子流態(tài)與熱輸運(yùn)效率呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，同時(shí)高階模態(tài)占主導(dǎo)的流態(tài)與熱輸運(yùn)效率呈現(xiàn)正相關(guān)，再次說(shuō)明高階模態(tài)越強(qiáng)，熱湍流系統(tǒng)的熱輸運(yùn)效率越高。與圖9不同的是，圖10中互相關(guān)函數(shù)峰值的時(shí)間偏移并不明顯，且其相關(guān)系數(shù)較小，這主要是由于Ra較小時(shí)，各階模態(tài)主導(dǎo)時(shí)間尺度較短，且Nu數(shù)有較強(qiáng)的漲落。

圖10 S2與Nu、Sh與Nu 的互相關(guān)函數(shù)Fig. 10 The cross-correlation function between(a) S2 and Nu and (b) Sh and Nu

結(jié)合圖9和圖10可以得出：高階模態(tài)主導(dǎo)湍流態(tài)的輸運(yùn)效率高于低階模態(tài)主導(dǎo)湍流態(tài)，即高對(duì)稱性流態(tài)熱輸運(yùn)效率高于低對(duì)稱性流態(tài)，這為通過(guò)主動(dòng)調(diào)控湍流態(tài)從而調(diào)控系統(tǒng)的熱輸運(yùn)效率提供了基礎(chǔ)。目前，我們正在開展這方面的工作。

2.4 傳熱標(biāo)度率

圖11（a）展示的是Nu數(shù)隨Ra數(shù)的變化關(guān)系，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為對(duì)數(shù)坐標(biāo)；圖11（b）是使用補(bǔ)償畫法繪制的半對(duì)數(shù)圖，縱軸是Nu·Ra?0.274，橫軸是Ra的對(duì)數(shù)坐標(biāo)，其中黑色方塊和紅色三角分別對(duì)應(yīng)小對(duì)流腔體和大對(duì)流腔體中測(cè)得的Nu數(shù)。小對(duì)流腔體的數(shù)據(jù)已經(jīng)發(fā)表于文獻(xiàn)[23]。

圖11 (a)時(shí)均Nu與Ra的函數(shù)關(guān)系；(b) 補(bǔ)償畫法下的時(shí)均Nu~Ra關(guān)系圖Fig. 11 (a) Time-averaged Nu as a function of Ra; (b) timeaveraged Nu compensated by Ra?0.274 as a function of Ra

從圖11（a）可以看出大對(duì)流腔體的傳熱效率整體低于小對(duì)流腔體，造成這一區(qū)別的主要原因可能是對(duì)流腔的尺寸越小，漏熱對(duì)其熱輸運(yùn)效率的影響越大。對(duì)比圖11（b） 中的補(bǔ)償畫法圖可以看出，Nu數(shù)在兩個(gè)對(duì)流腔體中都發(fā)生了一個(gè)明顯的轉(zhuǎn)變，但是轉(zhuǎn)變的Ra數(shù)區(qū)間略有不同：在小對(duì)流腔體中，熱輸運(yùn)轉(zhuǎn)變的區(qū)間為6.4×108≤Ra≤1.1×109，而在大對(duì)流腔體中是1.0×109≤Ra≤1.4×109。結(jié)合2.2節(jié)中流動(dòng)模態(tài)分析發(fā)現(xiàn)，在大對(duì)流腔體中系統(tǒng)傳熱效率出現(xiàn)明顯轉(zhuǎn)變的區(qū)間內(nèi)，湍流大尺度流動(dòng)結(jié)構(gòu)在四極子流態(tài)和偶極子流態(tài)之間發(fā)生頻繁的轉(zhuǎn)變（見圖8），此時(shí)熱湍流出現(xiàn)多重態(tài)，這與小對(duì)流腔體中觀察到的現(xiàn)象是一致的。

由于小對(duì)流腔體能夠承受的最大溫差的限制，其最大的Ra數(shù)約為1.2×109，此時(shí)系統(tǒng)剛剛進(jìn)入由偶極子流態(tài)主導(dǎo)的區(qū)間。在大對(duì)流腔體中，通過(guò)增加腔體高度，在和小腔體相同的溫差下，可以實(shí)現(xiàn)更大的Ra數(shù)，從而可以在更加寬的Ra數(shù)范圍內(nèi)研究RB熱湍流系統(tǒng)的輸運(yùn)特性。從圖11（b）可以看出，在大腔體中，系統(tǒng)在進(jìn)入偶極子流態(tài)主導(dǎo)的參數(shù)區(qū)間以后（Ra＞ 1.4×109），其熱輸運(yùn)的標(biāo)度率為Nu～Ra0.274，這個(gè)標(biāo)度律指數(shù)與系統(tǒng)單純由四極子流態(tài)主導(dǎo)時(shí)是一致的（Nu～Ra0.274）。由于在大腔體中轉(zhuǎn)變區(qū)間前的流態(tài)既包括四極子流態(tài)又包括高階流態(tài)，且高階流態(tài)的時(shí)間比重隨著Ra數(shù)的增加而減小，因此轉(zhuǎn)變區(qū)間之前的標(biāo)度律為Nu～Ra0.25，小于系統(tǒng)由單一流態(tài)主導(dǎo)時(shí)的標(biāo)度律指數(shù)。

由于偶極子流態(tài)和四極子流態(tài)具有不同的熱輸運(yùn)效率，因此湍流大尺度流動(dòng)在這兩個(gè)流態(tài)之間轉(zhuǎn)變時(shí)，系統(tǒng)的Nu數(shù)會(huì)呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的脈動(dòng)。利用Nu數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量其脈動(dòng)情況。圖12中展示的是σNu隨著Ra數(shù)的變化關(guān)系，其中小對(duì)流腔體的數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[23]。與小對(duì)流腔體中的數(shù)據(jù)一致，大對(duì)流腔體中的σNu也在流態(tài)轉(zhuǎn)變區(qū)間呈現(xiàn)出一個(gè)尖峰。值得注意的是盡管兩個(gè)對(duì)流腔體中Nu數(shù)的絕對(duì)值有差別，但是它們的標(biāo)準(zhǔn)差卻十分接近。由圖11和圖12可見當(dāng)流動(dòng)被偶極子流態(tài)主導(dǎo)以后，其σNu小于0.1且隨著Ra的增加幾乎不變，說(shuō)明過(guò)了轉(zhuǎn)變區(qū)間以后的偶極子流態(tài)大尺度結(jié)構(gòu)非常穩(wěn)定。

圖12 半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下Nu的標(biāo)準(zhǔn)差σNu與Ra的關(guān)系圖Fig. 12 The standard deviation of Nu as a function of Ra on a semilog plot

2.5 偶極子流態(tài)大尺度湍流結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性

從圖6可以看出，隨著Ra數(shù)的增加，RB系統(tǒng)會(huì)進(jìn)入流態(tài)轉(zhuǎn)變區(qū)間，此時(shí)偶極子流態(tài)和四極子流態(tài)交替成為主導(dǎo)流態(tài)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出多重態(tài)。隨著Ra數(shù)的進(jìn)一步增加，偶極子流態(tài)成為唯一主導(dǎo)的流態(tài)，因此這一節(jié)主要研究偶極子流態(tài)在轉(zhuǎn)變區(qū)間和轉(zhuǎn)變之后的動(dòng)力學(xué)特性。

圖13（a） 展示的是轉(zhuǎn)變區(qū)間內(nèi)（Ra= 1.13×109）偶極子流態(tài)強(qiáng)度和相位隨著時(shí)間演化的一個(gè)例子。圖中不同的顏色代表不同的時(shí)刻；徑向坐標(biāo)軸代表偶極子流態(tài)的強(qiáng)度A1；角向坐標(biāo)軸代表偶極子流態(tài)的相位θ1，其定義為大尺度流動(dòng)結(jié)構(gòu)上行處的角向位置。圖13（b）是轉(zhuǎn)變區(qū)間不同Ra數(shù)下偶極子流態(tài)強(qiáng)度和相位隨時(shí)間變化曲線，圖中的箭頭代表時(shí)間演化的方向。從圖13（a）可以看出，偶極子流態(tài)主導(dǎo)時(shí)具有一個(gè)偏好的相位角。當(dāng)偶極子流態(tài)逐漸增強(qiáng)時(shí)，如果其相位不處于偏好位置，它將通過(guò)角向游走運(yùn)動(dòng)到偏好位置。圖13（b）是不同Ra數(shù)下的偶極子流態(tài)相位游走圖，與圖13（a）中的情況類似，當(dāng)偶極子流態(tài)逐漸增強(qiáng)時(shí)，其相位會(huì)靠近并最終停留在偏好位置附近，這是偶極子流態(tài)在轉(zhuǎn)變區(qū)間時(shí)的普遍現(xiàn)象。

圖13 轉(zhuǎn)變區(qū)間偶極子流態(tài)強(qiáng)化過(guò)程：(a) 相位游走與時(shí)間的關(guān)系；(b) 不同Ra下的相位游走Fig. 13 The azimuthal meandering of the dipole mode (a) at Ra = 1.13 ×109 and (b) at various Ra

當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)變區(qū)間后（Ra＞1.4×109），大尺度湍流結(jié)構(gòu)完全由偶極子流態(tài)占據(jù)。圖14（a） 是由偶極子流態(tài)完全主導(dǎo)時(shí)其強(qiáng)度和相位分布圖；圖14（b） 是偶極子流態(tài)強(qiáng)度A1的概率密度函數(shù)，黑色實(shí)線為標(biāo)準(zhǔn)高斯分布，插入圖是A1的標(biāo)準(zhǔn)差 σA1隨Ra數(shù)的變化關(guān)系；圖14（c） 是偶極子流態(tài)初相角θ1的概率密度函數(shù)，黑色實(shí)線為標(biāo)準(zhǔn)高斯分布，插入圖為θ1的標(biāo)準(zhǔn)差 σθ1隨Ra數(shù)的變化關(guān)系。

從圖14（a） 可以看出偶極子流態(tài)強(qiáng)度隨著Ra數(shù)增加而增加，且其相位的漲落范圍逐漸減小：Ra=1.6×109時(shí)θ1的漲落范圍為27°，而Ra= 2.9×109時(shí)θ1的漲落范圍為7°。此外，不同時(shí)刻的θ1都匯聚于系統(tǒng)偏好的相位角處，表明偶極子流態(tài)具有明確的相位偏好，并且該方向與轉(zhuǎn)變區(qū)間偶極子流態(tài)的偏好方向吻合。留意到在圓柱對(duì)流腔體中，大尺度湍流結(jié)構(gòu)也存在相位偏好現(xiàn)象[21,25,27]，同時(shí)相位存在周期性振蕩[28]。而在大圓環(huán)對(duì)流腔體中由偶極子流態(tài)主導(dǎo)時(shí)，并沒有觀測(cè)到明顯的周期振蕩特性，說(shuō)明強(qiáng)空間約束不但會(huì)改變大尺度湍流結(jié)構(gòu)的空間結(jié)構(gòu)，也會(huì)影響其動(dòng)力學(xué)特性。

圖14 (a) 轉(zhuǎn)變區(qū)間后偶極子流態(tài)強(qiáng)度和相位分布； (b，c) 偶極子流態(tài)幅值A(chǔ)1與相位θ1的概率分布函數(shù)，嵌入圖為對(duì)應(yīng)量的標(biāo)準(zhǔn)差隨Ra數(shù)的變化Fig. 14 (a) The phase θ1 and amplitude A1 of the dipole mode after transition; (b) the PDFs of A1 and its standard deviation σA1 as a function of Ra; (c) the PDFs of θ1 and its standard deviation σθ1 as a function of Ra

從圖14（b） 和圖14（c） 可以看出，不同Ra數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)化以后的偶極子流態(tài)強(qiáng)度和相位大致重疊在一起，且可以用高斯函數(shù)來(lái)近似描述，說(shuō)明偶極子流態(tài)在占主導(dǎo)以后其動(dòng)力學(xué)特性不再依賴Ra。此外，偶極子流態(tài)強(qiáng)度A1的標(biāo)準(zhǔn)差 σA1隨Ra的增加而緩慢減小，其相位θ1的標(biāo)準(zhǔn)差 σθ1隨著Ra的增加而減小，表明偶極流態(tài)的角向運(yùn)動(dòng)隨著Ra的增加會(huì)被抑制，同時(shí)其強(qiáng)度的相對(duì)漲落 σA1/A1也在減小，說(shuō)明偶極子流態(tài)隨著Ra的增加變得更加穩(wěn)定。

2.6 空間約束與熱輸運(yùn)

已有研究發(fā)現(xiàn)，通過(guò)在RB系統(tǒng)中引入空間約束可以實(shí)現(xiàn)熱輸運(yùn)的強(qiáng)化，例如文獻(xiàn)[29]中發(fā)現(xiàn)將矩形對(duì)流腔體沿著一個(gè)水平方向壓縮，RB系統(tǒng)的熱輸運(yùn)效率最高可以提升17%。在本文研究的圓環(huán)對(duì)流腔體中，內(nèi)外徑比γ就是用來(lái)衡量系統(tǒng)空間約束強(qiáng)度的一個(gè)重要參數(shù)。圖15展示了寬高比Γ= 2，內(nèi)外徑比γ分別為0.5和0.9的兩個(gè)圓環(huán)對(duì)流腔體的Nu數(shù)。圖中Γ= 2、γ= 0.5的數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[30]，其大尺度湍流結(jié)構(gòu)一直處于四極子流態(tài)。

圖15 半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下時(shí)均Nu與Ra的補(bǔ)償畫法圖Fig. 15 Time-averaged Nu compensated by Ra?0.274 as a function of Ra on semilog scale

由圖15可以看出空間約束究竟是增強(qiáng)還是抑制湍流熱輸運(yùn)與Ra數(shù)（即湍流態(tài)）相關(guān)。當(dāng)Ra＜1×109的時(shí)候，強(qiáng)空間約束條件下（γ= 0.9），系統(tǒng)出現(xiàn)更高階的流態(tài)。由2.3節(jié)的討論可知更高階的流態(tài)對(duì)應(yīng)更強(qiáng)的輸運(yùn)效率，因此強(qiáng)空間約束可以增強(qiáng)系統(tǒng)的熱輸運(yùn)效率。當(dāng)Ra＞1×109的時(shí)候，強(qiáng)空間約束下（γ=0.9） 熱湍流的流動(dòng)結(jié)構(gòu)已經(jīng)被偶極子流態(tài)占主導(dǎo)；而此時(shí)γ= 0.5的對(duì)流腔體中流動(dòng)結(jié)構(gòu)仍然是四極子流態(tài)，因此 在這種情況下γ= 0.5的對(duì)流腔體熱輸運(yùn)效率更高。

3 結(jié) 論

本文以水為工作流體，通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了Rayleigh-Bénard（RB）熱湍流中的多重態(tài)現(xiàn)象和熱輸運(yùn)效率。通過(guò)系統(tǒng)地測(cè)量?jī)蓚€(gè)寬高比和內(nèi)外徑比接近，但是特征高度不同的圓環(huán)對(duì)流腔體中的大尺度湍流結(jié)構(gòu)和熱輸運(yùn)效率，得出以下結(jié)論：

1）利用PIV直接測(cè)量了偶極子流態(tài)和四極子流態(tài)的空間結(jié)構(gòu)，明確了圓環(huán)對(duì)流腔體RB熱湍流中大尺度結(jié)構(gòu)的速度分布和溫度分布高度一致。因此可以通過(guò)直接測(cè)量溫度空間分布得到大尺度流動(dòng)的空間結(jié)構(gòu)。此外，在內(nèi)外徑比γ= 0.9時(shí)，圓環(huán)對(duì)流腔體中的大尺度流動(dòng)結(jié)構(gòu)可以近似地看作沿角向和軸向的準(zhǔn)二維流動(dòng)。

2）在文獻(xiàn)[23]的基礎(chǔ)上，再次確認(rèn)了熱湍流存在多重態(tài)現(xiàn)象，即在相同的控制參數(shù)Ra數(shù)下，RB系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)不同的大尺度湍流結(jié)構(gòu)和熱輸運(yùn)效率。

3）通過(guò)同步測(cè)量大尺度湍流結(jié)構(gòu)和熱輸運(yùn)效率，發(fā)現(xiàn)了大尺度湍流結(jié)構(gòu)與熱輸運(yùn)效率存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且由高階模態(tài)主導(dǎo)的湍流態(tài)的熱輸運(yùn)效率高于由低階模態(tài)主導(dǎo)的湍流態(tài)。為通過(guò)調(diào)控大尺度湍流結(jié)構(gòu)從而調(diào)控?zé)嵬牧鬏斶\(yùn)效率提供理論基礎(chǔ)。

4）隨著Ra數(shù)的增加，偶極子流態(tài)強(qiáng)度的相對(duì)漲落和相位漲落降低，說(shuō)明偶極子流態(tài)變得更加穩(wěn)定。與圓柱對(duì)流腔體中大尺度湍流結(jié)構(gòu)（大尺度環(huán)流）類似，偶極子流態(tài)也存在偏好的相位角，但是圓柱對(duì)流腔體中大尺度結(jié)構(gòu)相位的周期性振蕩在圓環(huán)對(duì)流腔體中并不存在，說(shuō)明空間約束不僅會(huì)改變大尺度湍流結(jié)構(gòu)的空間結(jié)構(gòu)，也會(huì)影響其動(dòng)力學(xué)特性。

5）通過(guò)對(duì)比不同空間約束程度的圓環(huán)對(duì)流腔體的熱輸運(yùn)效率，發(fā)現(xiàn)空間約束增強(qiáng)或抑制湍流熱輸運(yùn)效率取決于其對(duì)對(duì)流腔體中的流動(dòng)狀態(tài)的調(diào)控：當(dāng)空間約束導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)更高階流動(dòng)模態(tài)主導(dǎo)的流態(tài)時(shí)，空間約束會(huì)增強(qiáng)熱輸運(yùn)；反之，當(dāng)空間約束導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)更低階流動(dòng)模態(tài)主導(dǎo)的流態(tài)時(shí)，空間約束則會(huì)抑制湍流熱輸運(yùn)。