楊 森，馮進(jìn)鈐，黨 慧，魯甜甜

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引 言

傳統(tǒng)吸聲材料中的多孔材料和纖維材料對(duì)中、高頻率范圍的聲波具有良好的吸收效果，但對(duì)低頻聲波寬帶吸收較差。為此，學(xué)者們提出了在吸收器中放置柔性板或增加柔性結(jié)構(gòu)[1-2]，或者使用多層微穿孔板或薄膜[3-5]等方案，然其復(fù)雜結(jié)構(gòu)限制了它在深亞波范圍的低頻吸收效果。

近年來(lái)，具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、質(zhì)量輕、主動(dòng)吸聲等超常物理特性的聲學(xué)超材料引起了噪聲控制領(lǐng)域?qū)W者的密切關(guān)注。基于局域共振[6]基本理論，具有等效負(fù)質(zhì)量密度[7]、負(fù)模量[8]、負(fù)折射特性[9]的聲學(xué)超材料相繼被開(kāi)發(fā)，誘發(fā)產(chǎn)生高效低頻聲吸收或者聲隔離等現(xiàn)象。同時(shí)，學(xué)者們還利用該理論研發(fā)了板型、薄膜型等各種各樣聲學(xué)超材料[10-11]，對(duì)這類材料進(jìn)行恰當(dāng)設(shè)計(jì)便可在深亞波范圍實(shí)現(xiàn)良好的吸收效果。然而受最小結(jié)構(gòu)的限制[12]，這類線性聲學(xué)超材料的吸收帶寬實(shí)質(zhì)上是個(gè)窄帶[13]。非線性共振、躍遷、分岔、混沌等非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，有望為非線性聲學(xué)超材料中聲波傳播提供新機(jī)理，實(shí)現(xiàn)低頻、寬帶、高效的吸收。KHAJEHTOURIAN等[14]應(yīng)用轉(zhuǎn)移矩陣法，推導(dǎo)出有限應(yīng)變和無(wú)窮小應(yīng)變運(yùn)動(dòng)情況下，具有幾何非線性[13]彈性超材料光桿的色散帶隙。FANG等研究了非線性聲學(xué)超材料(簡(jiǎn)稱：NAM)彈性波傳播特性，給出了混沌帶調(diào)控彈性波的新機(jī)理[15]，并從理論與實(shí)驗(yàn)兩方面，描述了一維和二維非線性聲學(xué)超材料混沌帶抑制機(jī)理[16]，打破了非線性聲學(xué)超材料聲波傳播的帶寬限制，為非線性聲學(xué)超材料的設(shè)計(jì)和實(shí)際應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。LI等在線性聲學(xué)超材料中引入磁場(chǎng)，設(shè)計(jì)出具有物理非線性效應(yīng)的單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料吸收器，為解決低頻噪聲控制指明了方向[17]。然而單穩(wěn)態(tài)吸收器在低頻范圍的吸收帶寬較窄，并未達(dá)到預(yù)期的吸收效果。

通常情況下，諧波平衡法和攝動(dòng)法分別用來(lái)解決強(qiáng)、弱非線性問(wèn)題[18]。為了更好地滿足單穩(wěn)態(tài)吸收器實(shí)際應(yīng)用的需求，針對(duì)其低頻吸收帶寬較窄，以及如何擴(kuò)大深亞波范圍內(nèi)的低頻吸收的問(wèn)題，本文采用L-P方法，研究平面波激勵(lì)作用下單穩(wěn)態(tài)吸收器的主諧波響應(yīng)特性，解釋了躍遷現(xiàn)象的產(chǎn)生，找到了弱非線性是導(dǎo)致系統(tǒng)吸收帶寬較窄的原因，通過(guò)增強(qiáng)系統(tǒng)的非線性擴(kuò)大低頻吸收寬帶，為單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料吸收器模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論支撐。

1 單穩(wěn)態(tài)吸收器模型

在平面薄板中心粘貼1個(gè)磁質(zhì)量塊制作成板型聲學(xué)超材料(簡(jiǎn)稱：AMM板)。在磁質(zhì)量塊同軸、對(duì)稱位置，上、下兩側(cè)各放置1個(gè)磁場(chǎng)，且磁場(chǎng)對(duì)質(zhì)量塊產(chǎn)生引力作用，固定AMM板和2個(gè)外部磁場(chǎng)，組成如圖1所示單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料吸收器模型。

圖 1 單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料吸收器模型Fig.1 Monostable acoustic metamaterial absorber model

聲音在空氣中以聲波的形式向前傳播。當(dāng)平面波從正上方垂直入射吸收器時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生受迫振動(dòng)，AMM板將入射平面波反射、損失、透射，形成反射波、透射波，如圖2所示。

圖 2 AMM板兩側(cè)波分布Fig.2 Wave distribution on both sides of AMM plate

透射波進(jìn)入到吸收器的封閉后腔，腔內(nèi)空氣的局域振動(dòng)將透射波消耗殆盡，實(shí)現(xiàn)吸收。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，消耗最大、吸收效果最好。在時(shí)間域上，單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料吸收器的動(dòng)力學(xué)方程為[17]

(K+ρcβ2S/D+k1)x(t)+k3x3(t)=

2βSpin(t)

(1)

(2)

式中：

顯然，方程(2)是典型的受諧波激勵(lì)的Duffing型振動(dòng)方程[18]。

2 吸收器主諧波響應(yīng)

假設(shè)平面波激勵(lì)頻率Ω接近于吸收器的固有頻率ω0，即Ω≈ω0，此時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生主諧波響應(yīng)?？紤]到磁場(chǎng)和薄板產(chǎn)生的恢復(fù)力是非線性的，引入小參數(shù)ε(0<ε<<1)，并把系統(tǒng)的恢復(fù)力和平面波激勵(lì)看成是對(duì)系統(tǒng)的攝動(dòng)[19]，方程(2)可以寫成

(3)

(4)

Ω(ε)=ω0+εω1+ε2ω2+…

(5)

(6)

(7)

運(yùn)用歐拉法[20]，解得齊次線性微分方程(6)的通解為

(8)

式中：A為振幅；φ為位相。將通解式(8)代入式(7)中，消去久期項(xiàng)可得

(9)

方程(9)為系統(tǒng)(2)的頻率-振幅響應(yīng)方程，刻畫了系統(tǒng)的主諧波響應(yīng)頻率ω1與振幅A之間的關(guān)系。

在主諧波響應(yīng)情形下，求解系統(tǒng)質(zhì)量塊振動(dòng)的位移響應(yīng)。通過(guò)消去久期項(xiàng)，方程(7)可改寫為

(10)

(11)

由展開(kāi)式(4)，得系統(tǒng)(2)的主諧波響應(yīng)的一次近似解為

(12)

式中：第一項(xiàng)表示線性狀態(tài)時(shí)的色散解；第二項(xiàng)為方程的一個(gè)特解，第三項(xiàng)表示存在ε2高階無(wú)窮小量的誤差。

針對(duì)單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料吸收器低頻吸收帶寬較窄的問(wèn)題，在弱非線性和弱激勵(lì)的阻尼情形下，利用L-P方法求得單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料吸收器振動(dòng)的頻率-振幅方程(9)及位移響應(yīng)的一階近似解(12)。

3 數(shù)值仿真

固定部分系統(tǒng)參數(shù)為ω=1.2,μ=0.05,f=0.05?？紤]非線性強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)頻率-振幅響應(yīng)的影響，分別取γ=0.01和0.1，由方程(9)給出了系統(tǒng)的頻率-振幅響應(yīng)曲線，如圖3(a)所示。其中黑色實(shí)線和虛線分別表示擬線性與非線性情形。從圖3(a)可以看出，當(dāng)γ=0.01時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為弱非線性特性。在擬線性狀態(tài)下，系統(tǒng)振動(dòng)頻率-振幅響應(yīng)曲線關(guān)于ω1=0具有軸對(duì)稱性。對(duì)于上述漸硬彈簧特性系統(tǒng)，非線性特性導(dǎo)致系統(tǒng)的頻率-振幅響應(yīng)曲線向右彎曲。當(dāng)平面波激勵(lì)的振幅增大，頻率-振幅響應(yīng)曲線向右彎曲越大(即偏離軸線ω1=0就越大)，多值性、躍遷等現(xiàn)象越明顯。

(a) 頻率-振幅響應(yīng)曲線

(b) 位移響應(yīng)曲線圖 3 系統(tǒng)(2)的頻率-振幅響應(yīng)與位移響應(yīng)Fig.3 Frequency - amplitude response and displacement response of system (2)

為了進(jìn)一步討論非線性對(duì)單穩(wěn)態(tài)聲學(xué)超材料吸收器吸收效果的影響，圖4給出了在不同非線性強(qiáng)度下系統(tǒng)的頻率-振幅響變化曲線。此時(shí)，取Y=0.001時(shí)的響應(yīng)作為系統(tǒng)線性狀態(tài)時(shí)的響應(yīng)。圖中藍(lán)色曲線表示擬線性狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)的頻率-振幅響應(yīng)，三條虛線分別表示非線性強(qiáng)度為0.5、1.5、2.5時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率-振幅響應(yīng)。

圖 4 不同非線性強(qiáng)度下頻率-振幅響應(yīng)曲線Fig.4 Frequency-amplitude response curves for different nonlinear intensities

從圖4可以看出，隨著非線性強(qiáng)度的不斷增強(qiáng)，系統(tǒng)的頻率-振幅響應(yīng)曲線向右偏移的程度逐漸增大，多值性、躍遷現(xiàn)象等非線性特性更加明顯。同時(shí)，吸收器在低頻范圍的吸收帶寬相對(duì)增寬。因此，增強(qiáng)系統(tǒng)的非線性能夠擴(kuò)大吸收器低頻范圍的吸收帶寬，增強(qiáng)吸收效果。

4 結(jié) 論

1) L-P法的近似解曲線與龍格-庫(kù)塔法的數(shù)值解曲線吻合較好，驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性。

2) 增強(qiáng)非線性能夠擴(kuò)大了吸收器的低頻吸收帶寬。增強(qiáng)系統(tǒng)非線性，能夠擴(kuò)大吸收器低頻吸收帶寬展望。

3) 下一步研究工作將非光滑或不連續(xù)等強(qiáng)非線性結(jié)構(gòu)引入聲學(xué)超材料模型中，以增強(qiáng)吸收器的結(jié)構(gòu)非線性，以期擴(kuò)展模型在低頻吸音中的帶寬，提高聲學(xué)超材料的吸音效果。