李鵬, 張杰, 徐宏偉, 王玄, 武何科

(西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所, 陜西 西安 710065)

無人機(jī)攜帶對(duì)地打擊武器主要有空地導(dǎo)彈、炸彈和火箭彈。相比于炸彈、火箭彈，空地導(dǎo)彈具有機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、射程遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn)[1]。在近幾次局部地區(qū)沖突和反恐戰(zhàn)爭中空地導(dǎo)彈發(fā)揮了重要作用，且成為高消耗的武器產(chǎn)品。2016年僅中東地區(qū)的無人機(jī)載空地導(dǎo)彈使用次數(shù)就達(dá)到12 896次，2017年達(dá)到17 861次，而且呈現(xiàn)出逐年穩(wěn)步增長的趨勢[2]。因此，各軍事強(qiáng)國迫切希望降低空地導(dǎo)彈的成本，提升作戰(zhàn)效能。

微機(jī)械陀螺儀(MEMS陀螺儀)具有成本低、體積小、功耗低等特點(diǎn)，成為空地導(dǎo)彈降低成本的首選[3-4]，但是國內(nèi)MEMS技術(shù)起步較晚，盡管在基礎(chǔ)理論、加工技術(shù)等方面取得明顯的進(jìn)步，但與國外同類產(chǎn)品相比，國產(chǎn)化產(chǎn)品的力學(xué)環(huán)境適應(yīng)性還存在較大差距[3]。在實(shí)際導(dǎo)彈型號(hào)研制中發(fā)現(xiàn)國產(chǎn)的MEMS測姿系統(tǒng)仍然難以適應(yīng)彈載沖擊、振動(dòng)環(huán)境。

框架式陀螺儀因高可靠、低成本、環(huán)境適應(yīng)性好等特點(diǎn)[5]，被廣泛應(yīng)用于無人機(jī)載低成本空地導(dǎo)彈，來測量彈體姿態(tài)角信息，而導(dǎo)彈姿態(tài)測量誤差是影響導(dǎo)彈導(dǎo)引頭捕獲和命中目標(biāo)的重要因素[6]。然而當(dāng)采用框架式陀螺儀測量彈體姿態(tài)時(shí)，由于姿態(tài)角的定義軸和陀螺儀測量軸不一致，會(huì)產(chǎn)生支架誤差，特別是當(dāng)無人機(jī)載導(dǎo)彈發(fā)射后在俯仰平面存在大機(jī)動(dòng)時(shí)(俯仰姿態(tài)角變化范圍為+6°～-80°)，姿態(tài)測量誤差急劇增大，導(dǎo)致導(dǎo)彈末端導(dǎo)引頭不能捕獲目標(biāo)。因此，研究框架式陀螺儀誤差產(chǎn)生的機(jī)理，并提出相應(yīng)的補(bǔ)償方法，是降低導(dǎo)彈姿態(tài)測量誤差，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)空地導(dǎo)彈低成本的重要技術(shù)途徑。

框架式陀螺儀一般由轉(zhuǎn)子、內(nèi)環(huán)和外環(huán)組成。其工作原理是依靠陀螺儀定軸性以及低摩擦力矩的軸承保證轉(zhuǎn)子、內(nèi)環(huán)和外環(huán)能夠靈活轉(zhuǎn)動(dòng)。因此其誤差源主要包括由摩擦力矩帶來的陀螺漂移和其固有的支架誤差，其中支架誤差是主要誤差源。

陀螺支架誤差是由于導(dǎo)彈的俯仰角、偏航角與傾斜角的定義軸與安裝在導(dǎo)彈上的陀螺儀相應(yīng)的輸出軸不重合而產(chǎn)生的一種幾何誤差。導(dǎo)彈的姿態(tài)角是以地面發(fā)射坐標(biāo)系為基準(zhǔn)定義的，而二自由度框架式陀螺儀輸出的信號(hào)是導(dǎo)彈相對(duì)陀螺外框、內(nèi)框的轉(zhuǎn)角，在導(dǎo)彈飛行過程中，陀螺儀的外框軸和內(nèi)框軸的方向隨著導(dǎo)彈姿態(tài)的變化而時(shí)刻變化著，從而導(dǎo)致姿態(tài)角定義軸與陀螺儀輸出軸不重合。支架誤差與陀螺儀在導(dǎo)彈上的安裝方式、導(dǎo)彈發(fā)射初始角度、導(dǎo)彈飛行姿態(tài)變化有關(guān)。

關(guān)勁等[7]建立了炮兵指揮車方位引出裝置框架誤差模型，提出了借助定位定向裝置輸出的補(bǔ)償方法。但該方法不適合無人機(jī)載空地導(dǎo)彈框架式陀螺儀支架誤差的補(bǔ)償。

本文基于方向余弦陣方法[8]詳細(xì)推導(dǎo)了無人機(jī)載空地導(dǎo)彈燃?xì)馔勇輧x支架誤差模型，分析了影響支架誤差的因素，結(jié)合無人機(jī)載空地導(dǎo)彈姿態(tài)變化范圍的特點(diǎn)，基于泰勒級(jí)數(shù)，推導(dǎo)了導(dǎo)彈姿態(tài)角與陀螺儀內(nèi)外框輸出的數(shù)學(xué)表達(dá)式，給出了支架誤差補(bǔ)償關(guān)系式，并提出了工程上易于實(shí)現(xiàn)的誤差補(bǔ)償方法，最后通過系統(tǒng)轉(zhuǎn)臺(tái)陀螺儀實(shí)物試驗(yàn)驗(yàn)證了陀螺儀模型的正確性及補(bǔ)償方法的有效性。

1 陀螺儀支架誤差模型

1.1 坐標(biāo)系定義

本文采用的坐標(biāo)定義如下[9]：

1) 發(fā)射坐標(biāo)系O′xyz：與地球固聯(lián)，原點(diǎn)O′通常取導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)在地面上的投影點(diǎn)；O′x軸在水平面內(nèi)，指向目標(biāo)或目標(biāo)在地面上的投影為正；O′y軸位于含O′x軸的鉛垂面內(nèi)，向上為正；O′z軸按右手定則確定。

2) 彈體坐標(biāo)系[8]Ox1y1z1：原點(diǎn)O取在導(dǎo)彈的質(zhì)心上;Ox1軸與彈體縱軸重合,指向彈體頭部為正;Oy1軸位于彈體縱向?qū)ΨQ平面內(nèi),垂直于Ox1軸,向上為正;Oz1軸垂直于x1Oy1平面,與Ox1,Oy1軸組成右手坐標(biāo)系。

3) 陀螺啟動(dòng)坐標(biāo)系Ox0y0z0：原點(diǎn)O取在陀螺轉(zhuǎn)子的質(zhì)心上;Ox0軸與陀螺儀啟動(dòng)時(shí)刻外框軸重合,指向彈體頭部為正;Oy0軸與陀螺儀啟動(dòng)時(shí)刻內(nèi)框軸重合;Oz0軸與轉(zhuǎn)子軸重合,與Ox0,Oy0軸組成右手坐標(biāo)系。

4) 陀螺坐標(biāo)系Ox2y2z2：原點(diǎn)O取在陀螺轉(zhuǎn)子的質(zhì)心上;Ox2軸與外框軸重合;Oy2軸與內(nèi)框軸重合;Oz2軸與轉(zhuǎn)子軸重合,指向轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎?并與Ox2,Oy2軸組成右手坐標(biāo)系。

1.2 陀螺儀在導(dǎo)彈上的安裝方式

二自由度框架式陀螺儀只要在框軸上裝有電位計(jì)即可敏感2個(gè)角度。典型無人機(jī)載空地導(dǎo)彈上僅裝有2個(gè)陀螺儀,其中一個(gè)利用外框軸上的電位計(jì)測量俯仰角;另一個(gè)利用外框軸上的電位計(jì)測量偏航角,內(nèi)框軸上的電位計(jì)測量滾轉(zhuǎn)角。

傾斜偏航陀螺儀安裝方式如圖1a)所示,俯仰陀螺儀安裝方式如圖1b)所示。

圖1 陀螺儀安裝方式

1.3 陀螺儀測姿模型

彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1和發(fā)射坐標(biāo)系O′xyz之間的關(guān)系可用3個(gè)姿態(tài)角(θ,φ,γ)來描述,將發(fā)射坐標(biāo)系按照“YZX”的轉(zhuǎn)序,經(jīng)過3次初等變換即可得到彈體坐標(biāo)系,用姿態(tài)矩陣A來表示。

陀螺啟動(dòng)坐標(biāo)系Ox0y0z0和發(fā)射坐標(biāo)系O′xyz之間的關(guān)系可用3個(gè)初始姿態(tài)角(θ0,φ0,γ0)來描述,將發(fā)射坐標(biāo)系按照“YZX”的轉(zhuǎn)序,經(jīng)過3次初等變換矩陣即可得到陀螺啟動(dòng)坐標(biāo)系,用姿態(tài)矩陣B來表示。

陀螺坐標(biāo)系與陀螺啟動(dòng)坐標(biāo)系亦可用3個(gè)陀螺角(α,β,ε)來描述,將陀螺啟動(dòng)坐標(biāo)系按照轉(zhuǎn)子軸、內(nèi)框、外框的轉(zhuǎn)序,經(jīng)過3次初等變換矩陣得到彈體坐標(biāo)系,用姿態(tài)矩陣C來表示,其中,α,β為陀螺儀直接測量的角度,ε為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的角度,無法測量得到。

陀螺啟動(dòng)坐標(biāo)系和彈體坐標(biāo)系的關(guān)系由陀螺儀在彈體上的安裝方式?jīng)Q定,彈體坐標(biāo)系到陀螺啟動(dòng)坐標(biāo)系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣用E來表示。

姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣的關(guān)系如圖2所示,其中E′為E的逆矩陣,B′為B的逆矩陣。

圖2 姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣關(guān)系圖

由圖3易得

C=EAB′E′

(1)

由此可得出陀螺內(nèi)外框架輸出角與彈體姿態(tài)角及初始彈體姿態(tài)角的關(guān)系。

以圖1a)所示的傾斜偏航陀螺儀安裝方式為例,其中各矩陣分別是

對(duì)于傾斜偏航陀螺儀

對(duì)于俯仰陀螺儀

由公式(1)可構(gòu)造出陀螺儀輸出與導(dǎo)彈姿態(tài)角和初始姿態(tài)角的傳遞函數(shù),即陀螺儀輸出為彈體姿態(tài)角和初始姿態(tài)角的函數(shù)。陀螺儀輸出角度記為θm,φm,γm,則

(2)

1.4 陀螺儀漂移

由于工程實(shí)用陀螺儀轉(zhuǎn)子、框架支承之間存在摩擦,陀螺儀輸出有漂移。漂移可根據(jù)陀螺儀簡化方程求出:

(3)

外力矩主要有摩擦力矩、電位計(jì)摩擦力矩以及轉(zhuǎn)子靜不平衡力矩等。

2 陀螺儀誤差仿真與試驗(yàn)對(duì)比

2.1 仿真與試驗(yàn)條件

設(shè)計(jì)導(dǎo)彈初始姿態(tài)角為零、彈體做正弦運(yùn)動(dòng)；初始姿態(tài)角不為零、彈體做正弦運(yùn)動(dòng)；初始姿態(tài)角為無人機(jī)載導(dǎo)彈典型值、彈體做無人機(jī)載導(dǎo)彈典型運(yùn)動(dòng)3種條件進(jìn)行數(shù)字仿真和半實(shí)物仿真[9]驗(yàn)證對(duì)比。半實(shí)物仿真結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。構(gòu)建的半實(shí)物仿真試驗(yàn)平臺(tái)如圖4所示。半實(shí)物仿真時(shí),首先由仿真計(jì)算機(jī)給出導(dǎo)彈飛行狀態(tài)姿態(tài)變化規(guī)律并作為轉(zhuǎn)臺(tái)運(yùn)動(dòng)的輸入指令,其次,陀螺儀在氣瓶的驅(qū)動(dòng)下轉(zhuǎn)子高速運(yùn)轉(zhuǎn),在電源的驅(qū)動(dòng)下電位計(jì)輸出測量角度,再次,對(duì)陀螺儀的輸出進(jìn)行補(bǔ)償后即測量的姿態(tài)信息,最后,與仿真計(jì)算機(jī)輸出的姿態(tài)指令差異即為陀螺儀測量的誤差。

圖3 半實(shí)物仿真結(jié)構(gòu)圖

圖4 半實(shí)物仿真試驗(yàn)平臺(tái)

2.2 初始姿態(tài)為零、彈體正弦運(yùn)動(dòng)

取導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)3個(gè)初始姿態(tài)角為θ0=φ0=γ0=0,傾斜、偏航姿態(tài)角按0.3 Hz/10°正弦運(yùn)動(dòng),俯仰按0.1 Hz/70°正弦運(yùn)動(dòng),由于仿真工裝的限制,半實(shí)物仿真時(shí)僅安裝傾斜偏航陀螺儀,計(jì)算的陀螺儀輸出角與實(shí)際傾斜偏航陀螺儀輸出角如圖5～6所示。

圖6 傾斜通道輸出

由圖5和圖6可以看出,當(dāng)初始姿態(tài)角為0時(shí),俯仰平面內(nèi)的大機(jī)動(dòng)導(dǎo)致傾斜陀螺儀輸出支架誤差明顯增大,最大誤差達(dá)到9°,偏航陀螺儀的支架誤差達(dá)到6°。理論計(jì)算值與陀螺實(shí)際輸出值一致,最大誤差1°,如1.4節(jié)所述,這是由于陀螺儀輸出有漂移誤差。

2.3 初始姿態(tài)不全為零、彈體正弦運(yùn)動(dòng)

若初始姿態(tài)角不全為0,傾斜、偏航姿態(tài)角按2 Hz/3°正弦運(yùn)動(dòng),俯仰按0.1 Hz/70°正弦運(yùn)動(dòng),半實(shí)物仿真時(shí)依然僅安裝傾斜偏航陀螺儀,計(jì)算的陀螺儀輸出角與實(shí)際陀螺儀輸出角如圖7～8所示。

圖7 偏航通道輸出

圖8 傾斜通道輸出

由圖7和圖8可以看出傾斜陀螺儀的支架誤差達(dá)到10°,偏航陀螺儀的支架誤差達(dá)到11°。當(dāng)初始姿態(tài)角不為零時(shí),陀螺儀輸出支架誤差會(huì)增大,理論計(jì)算與陀螺實(shí)際輸出一致表明支架誤差模型推導(dǎo)正確。

2.4 典型無人機(jī)載導(dǎo)彈發(fā)射飛行條件

若以典型的無人機(jī)載導(dǎo)彈飛行姿態(tài)為初始姿態(tài),θ0=-2°,φ0=-4°,γ0=-10°,半實(shí)物仿真時(shí)先安裝傾斜偏航陀螺儀進(jìn)行試驗(yàn)和數(shù)據(jù)采集,然后換裝俯仰陀螺儀再進(jìn)行試驗(yàn),彈體姿態(tài)角與陀螺儀的輸出曲線如圖9～11所示。

圖9 偏航姿態(tài) 圖10 滾轉(zhuǎn)姿態(tài) 圖11 俯仰姿態(tài)

從圖中可以看出傾斜陀螺儀的支架誤差甚至達(dá)到30°,偏航陀螺儀的支架誤差達(dá)到9°,俯仰陀螺儀的支架誤差基本上保持在2°。由(2)式可以看出,俯仰陀螺儀輸出和俯仰姿態(tài)角表達(dá)式可近似為

tanθm=tanθcosγ-tanφsinγ/cosθ

(4)

由于無人機(jī)載導(dǎo)彈全程傾斜穩(wěn)定飛行,由圖10可以看出,滾轉(zhuǎn)角接近0,因此俯仰陀螺支架誤差較小。

3 陀螺儀補(bǔ)償措施與試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 補(bǔ)償措施

(2)式描述了陀螺儀輸出與導(dǎo)彈姿態(tài)角及初始姿態(tài)角之間的關(guān)系,通過陀螺儀輸出和裝訂的導(dǎo)彈初始姿態(tài)角可求出姿態(tài)角,但其難點(diǎn)在于(2)式中矩陣C包含未知的變量ε,從而無法通過矩陣元素相等原理求出其精確解。對(duì)此,本文根據(jù)無人機(jī)載導(dǎo)彈的彈道特性,通過理論計(jì)算及驗(yàn)證試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：對(duì)于無人機(jī)載導(dǎo)彈,俯仰陀螺儀的支架誤差可忽略,俯仰姿態(tài)角可通過俯仰陀螺儀輸出及俯仰初始角直接得到?；谏鲜鎏攸c(diǎn),偏航姿態(tài)角和傾斜姿態(tài)角可采用泰勒級(jí)數(shù)公式的思路按下列步驟取得精確解。

將(2)式展開后可知,偏航姿態(tài)角可通過3個(gè)初始姿態(tài)角和俯仰姿態(tài)角以及陀螺儀的輸出描述,展開后可寫為

k1cosφ+k2sinφ+k3=0

(5)

式中:k1,k2和k3為3個(gè)初始姿態(tài)角,俯仰姿態(tài)角及陀螺儀輸出的函數(shù),并且為已知量。

sinx,cosx泰勒級(jí)數(shù)可描述為

將(5)式泰勒級(jí)數(shù)展開,根據(jù)無人機(jī)載空地導(dǎo)彈偏航姿態(tài)角變化小的特點(diǎn),略去高階多項(xiàng)式得

(6)

由此得到

根據(jù)導(dǎo)彈飛行過程中3個(gè)姿態(tài)角的范圍以及陀螺儀啟動(dòng)時(shí)刻姿態(tài)角范圍,不難確定方程式(5)始終有解。分析可知,k1始終是一個(gè)接近-1的負(fù)數(shù)(最大值為-0.34),k2也是一個(gè)絕對(duì)值不超過0.02的小數(shù)。因此,根據(jù)偏航角的范圍,選取φ為需要的解是合理的,試驗(yàn)數(shù)據(jù)也證明了這一點(diǎn)。

同理可求出傾斜姿態(tài)角。

3.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

將典型無人機(jī)載導(dǎo)彈飛行姿態(tài)注入安裝陀螺儀的三軸轉(zhuǎn)臺(tái)，陀螺儀輸出及補(bǔ)償后的姿態(tài)和轉(zhuǎn)臺(tái)姿態(tài)對(duì)比見圖12和圖13。

圖12 偏航姿態(tài)角對(duì)比

圖13 滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角對(duì)比

由圖12和圖13可以看出，陀螺儀輸出經(jīng)過補(bǔ)償后，能夠反映轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)際姿態(tài)角。其中偏航姿態(tài)角20 s內(nèi)誤差不大于0.4°，滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角20 s內(nèi)誤差不大于1°，這與無人機(jī)載導(dǎo)彈要求的滾轉(zhuǎn)角測量誤差不大于2.5°，偏航姿態(tài)角誤差不大于1.5°相比，能夠滿足無人機(jī)載導(dǎo)彈的使用要求，補(bǔ)償措施有效。

4 結(jié) 論

由前述分析可知：

1) 對(duì)于無人機(jī)載空地導(dǎo)彈而言，采用框架式陀螺儀測量姿態(tài)時(shí)，陀螺支架誤差是主要誤差源，在有初始滾轉(zhuǎn)角和偏航角條件下，姿態(tài)誤差最大可達(dá)6°，會(huì)影響導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的捕獲和命中精度。

2) 陀螺儀安裝方式、初始姿態(tài)角和載體的姿態(tài)變化均會(huì)引起陀螺儀支架誤差的增加，其產(chǎn)生支架誤差的本質(zhì)原因?yàn)轱w行力學(xué)定義的姿態(tài)角和框架式陀螺儀輸出角度不一致。

3) 基于泰勒級(jí)數(shù)展開的支架誤差補(bǔ)償方法能夠有效地減小無人機(jī)載空地導(dǎo)彈姿態(tài)測量誤差，試驗(yàn)結(jié)果表明補(bǔ)償后姿態(tài)測量誤差可以達(dá)到0.4°以內(nèi)，能夠滿足無人機(jī)載空地導(dǎo)彈使用。