王 宏，劉宜成，涂海燕，熊宇航，陳 杰

(四川大學(xué)電氣工程學(xué)院，成都 610000)

0 引言

近年來，四旋翼飛行器憑借其小巧靈活、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、造價(jià)低廉等諸多優(yōu)點(diǎn)，備受青睞而廣泛用于軍用、民用領(lǐng)域，受到國(guó)內(nèi)外各界的密切關(guān)注[1]。四旋翼飛行器系統(tǒng)是一種多輸入多輸出的復(fù)雜非線性欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，具有強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，在飛行控制方面較為困難。因此，對(duì)四旋翼飛行器控制方法進(jìn)行研究具有理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

為了提高四旋翼飛行器的軌跡跟蹤性能，國(guó)內(nèi)外眾多研究人員針對(duì)位置和姿態(tài)控制問題，提出了許多控制方法，較典型的有PID控制、反演控制[2]、滑模控制[3]等。文獻(xiàn)[4]提出一種基于有限時(shí)間收斂干擾觀測(cè)器的分層控制器，利用該觀測(cè)器在線估計(jì)未知的不確定性和擾動(dòng)。然而，有限時(shí)間控制的收斂時(shí)間通常與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)，初始狀態(tài)偏離平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)會(huì)導(dǎo)致收斂時(shí)間過長(zhǎng)，為了解決該問題，文獻(xiàn)[5]首次提出了固定時(shí)間穩(wěn)定理論，并給出了固定時(shí)間穩(wěn)定的定義，保證收斂時(shí)間具有明確上界，擺脫了對(duì)初始狀態(tài)的依賴。之后，固定時(shí)間理論迅速成為研究熱點(diǎn)，文獻(xiàn)[6]針對(duì)柔性吸氣式高超聲速飛行器，提出一種基于固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器的固定時(shí)間反演控制算法，采用一種與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)的固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器來估計(jì)和補(bǔ)償跟蹤過程中的不確定性。

本文針對(duì)四旋翼飛行器系統(tǒng)，基于反演法提出一種保證系統(tǒng)全局固定時(shí)間穩(wěn)定收斂的新型控制方法。使用固定時(shí)間干擾觀測(cè)器對(duì)四旋翼飛行器所受外界擾動(dòng)與自身建模不確定性組成的混合擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，通過固定時(shí)間命令濾波器對(duì)虛擬信號(hào)進(jìn)行處理來避免因多次求導(dǎo)而引起的“微分爆炸”問題，相比于傳統(tǒng)命令濾波器[7]，可使濾波器的輸出更加接近于虛擬控制信號(hào)的導(dǎo)數(shù)。建立一種新的誤差補(bǔ)償系統(tǒng)來減小微分器帶來的影響，保證四旋翼系統(tǒng)的跟蹤誤差可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)附近的一個(gè)小鄰域內(nèi)，且收斂時(shí)間上界與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，同時(shí)使得閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)都是有界的。最后，通過仿真驗(yàn)證了本文方法的有效性和優(yōu)越性。

1 四旋翼飛行器模型描述和預(yù)備知識(shí)

1.1 四旋翼飛行器模型

四旋翼飛行器是具有六自由度的單剛體結(jié)構(gòu)，如圖1所示，要準(zhǔn)確地描述四旋翼飛行器的空間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需按不同坐標(biāo)原點(diǎn)位置建立慣性坐標(biāo)系E(xe,ye,ze)和機(jī)體坐標(biāo)系B(xb,yb,zb)，f1～f4表示4個(gè)旋翼產(chǎn)生的升力。

圖1 四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of quadrotor aircraft

根據(jù)四旋翼飛行器飛行原理可知，其所有運(yùn)動(dòng)方式都直接由4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速?zèng)Q定，而轉(zhuǎn)速的快慢則由控制輸入的大小決定。因此，為了便于理解與設(shè)計(jì)控制器，結(jié)合旋翼動(dòng)力學(xué)，四旋翼飛行器線速度的控制輸入定義為U1，橫滾角、俯仰角和偏航角的控制輸入定義為τ=[τ1τ2τ3]，各控制輸入量與各槳葉轉(zhuǎn)速的關(guān)系為

(1)

(2)

其中：Ωi(i=1,2,3,4)為旋翼的轉(zhuǎn)速；kf和kN分別為旋翼升力系數(shù)和扭力系數(shù)的簡(jiǎn)化值；l為各電機(jī)中心與質(zhì)心的距離。

四旋翼飛行器位置子系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可寫為

(3)

其中：[xyz]T，[vxvyvz]T，分別為四旋翼飛行器在慣性系下的位置向量和線速度向量，分別記為ξ和v;U1表示線速度的控制輸入；[d1xd1yd1z]T為由風(fēng)力、空氣阻力等外部干擾和系統(tǒng)自身建模不確定性組成的混合擾動(dòng)，記為d1；m為機(jī)體質(zhì)量；g為重力加速度。

四旋翼飛行器姿態(tài)角子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可寫為

(4)

式中：η=[φθψ]T，為歐拉角向量，φ,θ,ψ分別表示橫滾角、俯仰角和偏航角;w=[pqr]T，為角速率向量，且四旋翼飛行器角速率子系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可寫為

(5)

式中：d2=[d2φd2θd2ψ]T,表示風(fēng)力、空氣阻力等外部干擾和系統(tǒng)自身建模不確定性組成的混合擾動(dòng)；M=[qr(Jy-Jz)/Jxpr(Jz-Jx)/Jypq(Jx-Jy)/Jz],Jx，Jy，Jz分別為繞機(jī)體xb，yb，zb軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;N=diag(1/Jx,1/Jy,1/Jz)。

做如下一般性假設(shè)。

假設(shè)1 期望軌跡[xdydzd]T和ψd連續(xù)有界，其一階導(dǎo)數(shù)存在且有界。

假設(shè)2 風(fēng)力、空氣阻力等外部干擾和系統(tǒng)自身建模不確定性組成的混合擾動(dòng)di有界且受限于已知充分光滑非線性函數(shù)Γi，即||

di||

≤Γi,i=1,2。

1.2 預(yù)備知識(shí)

考慮如下自治非線性系統(tǒng)

(6)

式中：x(t)∈Rn，是系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f(x(t))∈R+×Rn,表示光滑的非線性函數(shù)。

(7)

(8)

式中，常數(shù)ρ∈(0,1)。收斂到殘差集內(nèi)的時(shí)間滿足

(9)

引理3[8]對(duì)于xi∈R,i=1,2,3,…,n,λ∈(0,1]，如下關(guān)系成立

(10)

引理4[9]楊不等式方程

(11)

式中,a,b大于0，ε為任意正整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)ab=ε時(shí)等號(hào)成立。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 固定時(shí)間干擾觀測(cè)器

根據(jù)所建數(shù)學(xué)模型，四旋翼飛行器在平移運(yùn)動(dòng)過程中受到的混合擾動(dòng)可以記為d1，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過程中所受的混合擾動(dòng)可以記為d2。

針對(duì)擾動(dòng)d1設(shè)計(jì)固定時(shí)間干擾觀測(cè)器如下

(12)

(13)

針對(duì)擾動(dòng)d2設(shè)計(jì)固定時(shí)間干擾觀測(cè)器如下

(14)

(15)

2.2 固定時(shí)間命令濾波器

本文使用固定時(shí)間濾波器[11-12]，可以使濾波跟蹤誤差在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)附近一個(gè)極小的閉球區(qū)間內(nèi)，濾波器形式如下

(16)

2.3 位置子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

為了簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)，根據(jù)位置子系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述式(3)，可以定義虛擬控制輸入為

(17)

式中，ux，uy，uz分別是x，y，z方向上的虛擬控制輸入，記為u。則平移運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以寫為

(18)

(19)

(20)

對(duì)位置誤差設(shè)計(jì)虛擬控制律ve，對(duì)線速度誤差設(shè)計(jì)控制輸入u，分別為

(21)

式中：ki=diag(kix,kiy,kiz),si=diag(six,siy,siz)，i=1,2，均為大于0的常參數(shù)；e1,e2為補(bǔ)償后的跟蹤誤差；γ為常參數(shù)且滿足0<γ<1。因?yàn)槭褂妹顬V波器會(huì)產(chǎn)生濾波誤差，影響系統(tǒng)性能，本文引入誤差補(bǔ)償機(jī)制，e1,e2分別定義為

(22)

(23)

式中，參數(shù)li=diag(lix,liy,liz)>0,i=1,2。

在進(jìn)行姿態(tài)控制器之前，需獲取機(jī)體的期望姿態(tài)信息ηd，由虛擬控制輸入ux，uy，uz可以反解得到位置子系統(tǒng)的速度控制輸入U(xiǎn)1為

(24)

期望偏航角ψd為給定條件，由U1可解得期望橫滾角φd和期望俯仰角θd分別為

(25)

2.4 姿態(tài)子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

歐拉角和角速率的誤差定義為

(26)

(27)

式中：ki=diag(kiφ,kiθ,kiψ)，si=diag(siφ,siθ,siψ)，為大于0的設(shè)計(jì)參數(shù),i=3,4；e3,e4是命令濾波誤差信號(hào)補(bǔ)償后的跟蹤誤差，分別定義為

(28)

(29)

式中，li=diag(liφ,liθ,liψ),為大于0的待設(shè)計(jì)常參數(shù)，i=3,4。

3 穩(wěn)定性分析

總結(jié)以上設(shè)計(jì)，建立補(bǔ)償后的整個(gè)跟蹤誤差子系統(tǒng)為

(30)

考慮誤差e1設(shè)計(jì)候補(bǔ)李雅普諾夫函數(shù)V1為

(31)

對(duì)式(31)求導(dǎo)得

(32)

考慮誤差e2設(shè)計(jì)修正后的候補(bǔ)李雅普諾夫函數(shù)V2為

(33)

對(duì)式(33)求導(dǎo)得

(34)

(35)

對(duì)式(35)求導(dǎo)得

(36)

考慮誤差e4設(shè)計(jì)候補(bǔ)李雅普諾夫函數(shù)V4為

(37)

對(duì)式(37)求導(dǎo)得

(38)

根據(jù)引理4可得

(39)

(40)

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，在Matlab中針對(duì)四旋翼飛行器模型進(jìn)行了仿真，四旋翼的主要參數(shù)見表1。

表1 四旋翼飛行器模型參數(shù)Table 1 Parameters of quadrotor aircraft model

固定時(shí)間濾波器的參數(shù)選擇為λ1=19,λ2=2，控制器參數(shù)選擇:ki=diag(12,12,12),i=1,2，k3=diag(7.5,7.5,7.5),k4=diag(18,18,18),si1=diag(10,10,10),i=1,2，si2=diag(20,20,20),i=1,2，si1=diag(5,5,5),i=3,4,si2=diag(8,8,8),i=3,4，li=diag(2,2,2),i=1,2,3,4。

在上述初始條件和模型參數(shù)等條件下，將本文方法與文獻(xiàn)[13]所提出的有限時(shí)間干擾觀測(cè)器方法進(jìn)行對(duì)比仿真。仿真結(jié)果如圖2～5所示。

圖2 位置響應(yīng)曲線對(duì)比Fig.2 Comparison of position response curves

從圖2來看，本文所設(shè)計(jì)的控制器在x,y,z方向上分別于1.8 s,2 s,3.8 s左右實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤且跟蹤誤差收斂到零的附近，而文獻(xiàn)[13]所提方法則分別于3.2 s,3 s,4.5 s左右實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定收斂。從圖3來看，本文方法的收斂精度高于有限時(shí)間干擾觀測(cè)器方法的精度。從圖4和圖5來看，本文方法在姿態(tài)控制上比文獻(xiàn)[13]所提方法的收斂速度更快。以上仿真結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)方法在系統(tǒng)跟蹤控制上的有效性和優(yōu)越性。

圖3 位置誤差曲線對(duì)比Fig.3 Comparison of position error curves

圖4 姿態(tài)響應(yīng)曲線對(duì)比Fig.4 Comparison of attitude response curves

圖5 姿態(tài)誤差曲線對(duì)比Fig.5 Comparison of attitude error curves

5 結(jié)論

針對(duì)四旋翼飛行器軌跡跟蹤穩(wěn)定問題，本文提出一種基于固定時(shí)間干擾觀測(cè)器的固定時(shí)間反演控制算法。將四旋翼飛行器分為位置和姿態(tài)兩個(gè)子系統(tǒng)分別進(jìn)行控制，降低了耦合性與設(shè)計(jì)難度。使用固定時(shí)間干擾觀測(cè)器對(duì)四旋翼飛行器受到的內(nèi)外部混合擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，以此來抑制干擾。采用固定時(shí)間命令濾波器對(duì)虛擬控制信號(hào)進(jìn)行處理，有效地解決了傳統(tǒng)反演法中的“微分爆炸”問題，并建立誤差補(bǔ)償系統(tǒng)對(duì)濾波誤差進(jìn)行補(bǔ)償，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明系統(tǒng)可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)附近的一個(gè)非常小的閉球區(qū)間內(nèi)。最后，通過仿真驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)方法的有效性和優(yōu)越性。