張旭方,劉 麗,王鵬飛,傅佳宏(浙大城市學(xué)院 工程學(xué)院機(jī)械電子工程學(xué)系，浙江 杭州 310015)

0 引言

為了分析工程中常見的開口圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性，需要各種振動(dòng)傳感器。基于壓電材料的壓電傳感器是常見的振動(dòng)傳感器，其利用壓電材料的力-電耦合特性，設(shè)計(jì)傳感器并進(jìn)行傳感特性分析[1-6]。但壓電材料需預(yù)極化，使用時(shí)間過長(zhǎng)，存在退極化現(xiàn)象。此外，壓電材料(如PZT陶瓷等)通常含有鉛元素，制備過程中會(huì)污染環(huán)境。因此，撓曲電材料作為一種新興的力電耦合智能材料而備受關(guān)注。

正撓曲電效應(yīng)反映了應(yīng)變梯度與電場(chǎng)間的力-電耦合關(guān)系。近年來(lái)研究者基于撓曲電材料進(jìn)行了大量的理論與實(shí)驗(yàn)研究，通過不同的理論與實(shí)驗(yàn)方法確定各種撓曲電材料的正、逆撓曲電系數(shù)的大小[7-8]。研究撓曲電材料的撓曲電系數(shù)是為了更好地掌握材料特性，為進(jìn)一步設(shè)計(jì)各種撓曲電器件以應(yīng)用于不同的工程中提供了良好的基礎(chǔ)。

WANG等[9]論述了固體中的撓曲電效應(yīng)近年來(lái)的發(fā)展、挑戰(zhàn)與前景，給出了宏觀與微觀撓曲電效應(yīng)的理論發(fā)展時(shí)間軸和里程碑成就。由于撓曲電效應(yīng)是與梯度有關(guān)的效應(yīng)，撓曲電效應(yīng)在納米微小尺度有廣泛的應(yīng)用[10-12]。近年來(lái)，基于宏觀材料尺度的撓曲電效應(yīng)引起了人們的關(guān)注。基于正撓曲電效應(yīng)設(shè)計(jì)出各種撓曲電傳感器、俘能器等，并對(duì)智能結(jié)構(gòu)進(jìn)行傳感監(jiān)測(cè)與能量采集研究[13-14]。HU等[15]已設(shè)計(jì)了基于一般雙曲率殼結(jié)構(gòu)的撓曲電傳感器，根據(jù)不同結(jié)構(gòu)的拉梅常數(shù)與曲率半徑可將該傳感器模型應(yīng)用于不同的板殼結(jié)構(gòu)。

基于正撓曲電效應(yīng)，本文將建立基于開口圓柱殼結(jié)構(gòu)的撓曲電傳感器模型。首先分析開口圓柱殼在外部激勵(lì)作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。根據(jù)正撓曲電效應(yīng)建立撓曲電傳感理論，并推導(dǎo)出外部負(fù)載兩端的輸出模態(tài)電壓的表達(dá)式。當(dāng)撓曲電片無(wú)限小時(shí)，基于撓電片的撓曲電傳感理論簡(jiǎn)化為點(diǎn)的分布式傳感特性。最后分析了不同參數(shù)對(duì)撓曲電傳感信號(hào)的影響，對(duì)比不同方向彎曲應(yīng)變引起的撓曲電信號(hào)的不同作用。

1 開口圓柱殼撓曲電傳感器模型

1.1 撓曲電傳感器模型

圖1 開口圓柱殼撓曲電傳感器模型

假設(shè)撓曲電片理想粘貼于開口圓柱殼的外表面上，根據(jù)Kirchhoff-Love薄殼理論，開口圓柱殼的應(yīng)變[16]為

(1)

(2)

撓曲電效應(yīng)主要與殼結(jié)構(gòu)的應(yīng)變梯度，即彎曲應(yīng)變有關(guān)，彎曲應(yīng)變?yōu)?/p>

(3)

(4)

1.2 撓曲電傳感器動(dòng)態(tài)響應(yīng)

根據(jù)模態(tài)擴(kuò)展法，動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)uψ、u3可用模態(tài)參與因子ηmn(t)和模態(tài)函數(shù)Uimn(x,ψ)(i=x,ψ)[17]表示為

(5)

(6)

式中：∑∑表示所有參與模態(tài)的疊加；m,n分別為長(zhǎng)度、周向方向(x、ψ方向)的模態(tài)數(shù)；Uψmn(x,ψ),U3mn(x,ψ) (下文簡(jiǎn)寫為Uψmn，U3mn)分別為周向與橫向振動(dòng)的(m,n)階模態(tài)函數(shù)。

結(jié)構(gòu)的模態(tài)函數(shù)取決于結(jié)構(gòu)的邊界條件與結(jié)構(gòu)尺寸。當(dāng)開口圓柱殼四邊簡(jiǎn)支時(shí)，結(jié)構(gòu)的周向與橫向振動(dòng)模態(tài)函數(shù)[17-18]可表示為

(7)

(8)

式中B,C分別為模態(tài)函數(shù)的幅值。

ηmn(t)揭示了每階模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)在總的振動(dòng)響應(yīng)中所占比，模態(tài)參與因子的大小與每階模態(tài)力的大小相關(guān)。當(dāng)結(jié)構(gòu)邊界條件與尺寸確定后，模態(tài)陣型決定了傳感信號(hào)的分布特性，模態(tài)參與因子決定了傳感信號(hào)的大小幅值。

2 撓曲電傳感信號(hào)分析

基于正撓曲電效應(yīng)，不同方向的應(yīng)變梯度在法向的梯度引起了法向的電位移。根據(jù)一般雙曲率殼結(jié)構(gòu)的撓曲電傳感公式[15]，代入開口圓柱殼的曲率半徑R與拉梅常數(shù)可得:

μ12(kxx+kψψ)+ε33E3

(9)

式中：μ12為撓曲電系數(shù)；ε33為介電常數(shù)；E3為法向電場(chǎng)強(qiáng)度。

通過將電位移在有效的傳感面積Se上積分，求出開路狀態(tài)下的信號(hào)電壓[15]為

(10)

式中t為時(shí)間。

考慮每階模態(tài)在共振狀態(tài)下的傳感信號(hào)，則(m,n)階模態(tài)的模態(tài)電壓[15]可表示為

(φmn)xx+(φmn)ψψ

(11)

對(duì)于撓曲電傳感信號(hào)，模態(tài)電壓信號(hào)φmn可分成(φmn)xx與(φmn)ψψ，分別表示為

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中Lψ=Rψ*為開口圓柱殼圓周方向的長(zhǎng)度。

根據(jù)式(14)～(16)可知，不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)的傳感信號(hào)表示開口圓柱殼不同位置的傳感信號(hào)。

3 變曲率開口圓柱殼分析

當(dāng)L和Lψ保持不變時(shí)，ψ*對(duì)撓曲電傳感特性有影響。Rψ*=Lψ保持不變時(shí)，此時(shí)ψ*與R成反比。y*=150°、120°、90°、60°、 30°時(shí)，R為L(zhǎng)ψ/ψ*(見圖2)。

當(dāng)L和邊界條件固定時(shí)，不同的ψ*對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)頻率不同。每階模態(tài)的固有頻率分別為

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

a2=[1/(ρh)2](k11k33+k22k33+k11k22-

(24)

2k12k23k13-k11k22k33)

(25)

(26)

(27)

f1mn=ω1mn/2π

(28)

式中：ρ為板質(zhì)量密度；Y為板楊氏模量；μ為泊松比；K為彎曲剛度;kij(i=1～3,j=1～3)、ai(i=1～3)、α均為求解過程中的系數(shù)ω1mn、f1mn為結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)的固有頻率。

4 數(shù)值仿真與優(yōu)化

本文開口圓柱殼采用聚丙烯材料，撓曲電片使用a-聚偏氟乙烯(PVDF)薄膜材料。開口圓柱殼結(jié)構(gòu)及撓曲電片的尺寸、材料參數(shù)如表1所示。

4.1 頻率分析

討論開口圓柱殼的撓曲電傳感特性需首先明確開口圓柱殼結(jié)構(gòu)每階模態(tài)的固有頻率。結(jié)構(gòu)的固有頻率越大，在相同模態(tài)力作用下，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)越小。根據(jù)結(jié)構(gòu)尺寸與參數(shù)，不同模態(tài)及彎曲角度下固有頻率分布如圖3所示。

圖3 不同模態(tài)下不同曲率的固有頻率分析

由圖3可看出：

1) 當(dāng)m保持不變時(shí)，隨著n增大，固有頻率先減小再增大。ψ*越大，固有頻率越大。即同樣尺寸的開口圓柱殼結(jié)構(gòu)周向越彎，固有頻率越大，相同力作用下越難被激勵(lì)，響應(yīng)越小。

2) 當(dāng)m增大時(shí)，n與ψ*下的固有頻率增大，固有頻率的變化趨勢(shì)類似。m越大(如m=5)，ψ*越小。當(dāng)開口圓柱殼周向越平(如ψ*=30°)時(shí)，固有頻率隨著n的增大而增大，即模態(tài)數(shù)越大，頻率越大。

4.2 撓曲電傳感特性分析

當(dāng)ψ*=150°時(shí)，模態(tài)函數(shù)的幅值B、C分別為-1、1。模態(tài)分別為(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)時(shí)撓曲電傳感特性如圖4、5所示。

圖4 m=1、n不同時(shí)撓曲電傳感特性

圖5 m=2、n不同時(shí)撓曲電傳感特性

不同模態(tài)下?lián)锨妭鞲刑匦耘c模態(tài)的陣型有關(guān)。由圖4可知，(φmn)xx較小， (φmn)ψψ占主導(dǎo)。對(duì)比圖4、5可知，隨著m的增大， (φmn)xx增強(qiáng)。

4.3 不同曲率對(duì)撓曲電傳感特性影響

當(dāng)L確定時(shí)，開口圓柱殼撓曲電傳感器的傳感特性與ψ*有關(guān)。不同模態(tài)下，分布式傳感特性如圖6所示。

圖6 不同ψ*的模態(tài)電壓

當(dāng)m=1或2且保持不變時(shí)， (φmn)xx不隨ψ*的變化而變化。 (φmn)ψψ隨著ψ*增大而增大，且隨著n的增加而增大。彎曲角度與模態(tài)數(shù)越大，kψψ越大，則 (φmn)ψψ越大。

隨著ψ*的增加，總彎曲應(yīng)變引起的撓曲電傳感信號(hào)增大；隨著n增加，總彎曲應(yīng)變引起的撓曲電傳感信號(hào)增大。總彎曲應(yīng)變作用中，kψψ占主導(dǎo)作用。

5 結(jié)論

本文基于正撓曲電效應(yīng)建立了開口圓柱殼結(jié)構(gòu)的撓曲電傳感器模型，并分析了開口圓柱殼的撓曲電傳感特性，討論了不同的參數(shù)對(duì)傳感特性的影響。根據(jù)分析結(jié)果可得如下結(jié)論：

1) 不同模態(tài)下固有頻率不同，m不變時(shí)，隨著n的增加，固有頻率先減小再增加。

2) 隨著周向方向彎曲角度的增大，固有頻率增大。即周向越彎，固有頻率越大，相同力越不易被激勵(lì)。

3) 當(dāng)m不變時(shí)，周向方向彎曲應(yīng)變引起的撓曲電信號(hào)占主導(dǎo)，且撓曲電傳感信號(hào)隨著n的增加而變大。

4) 隨著周向彎曲角度的增大，周向方向的彎曲應(yīng)變引起的撓曲電信號(hào)增大，即周向方向越彎，圓周方向的應(yīng)變梯度越大，引起的撓曲電傳感信號(hào)越大。