王 強(qiáng) 孟 晨 王 成 張 瑞

（陸軍工程大學(xué)，石家莊校區(qū)，河北石家莊 050003）

1 引言

線性調(diào)頻（Linear frequency modulated，LFM）信號是一種典型的非平穩(wěn)信號。該信號時(shí)寬帶寬積較大，具有良好的距離分辨力、抗干擾和抗截獲能力，廣泛用于各種雷達(dá)系統(tǒng)中［1］。為保證雷達(dá)系統(tǒng)性能，LFM 信號工作帶寬通?？蛇_(dá)數(shù)百甚至上千兆赫茲。此時(shí)，受限于Nyquist 采樣定理，傳統(tǒng)A/D 轉(zhuǎn)換器需要工作在較高的采樣頻率下，來保證采樣后LFM 信號能夠得到有效重構(gòu)。同時(shí)，高采樣頻率將會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)信息，給信號采集系統(tǒng)的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、傳輸帶來巨大壓力。

壓縮感知理論的產(chǎn)生［2-3］，為寬帶LFM 信號的采集提供了新的思路。在壓縮感知理論下，信號的采集過程取決于信號本身的信息量，在采集的同時(shí)能夠直接實(shí)現(xiàn)信號的壓縮。基于壓縮感知理論，國內(nèi)外眾多學(xué)者對信號的壓縮采樣系統(tǒng)進(jìn)行研究，比較成熟的系統(tǒng)包括調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器（Modulated Wideband Converter，MWC）［4］以及隨機(jī)解調(diào)器（Random Demodulator，RD）［5］。但二者對信號的精確重構(gòu)，主要依賴于信號在頻域內(nèi)的稀疏性。而對于LFM信號，其頻譜在工作頻帶范圍內(nèi)，并不具有稀疏性。此時(shí)，要保證信號經(jīng)過壓縮采樣后能夠得到精確重構(gòu)，MWC以及RD總采樣頻率必然要高于信號工作帶寬。

利用LFM 信號在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域內(nèi)的稀疏性，學(xué)者們將現(xiàn)有的壓縮采樣方法推廣到分?jǐn)?shù)階傅里葉域，以尋求更低的采樣頻率與采樣點(diǎn)數(shù)。目前，基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的LFM 信號壓縮采樣方法主要可以分成兩類。一類是基于現(xiàn)有壓縮采樣系統(tǒng)完成壓縮采樣，再通過構(gòu)造分?jǐn)?shù)階傅里葉字典的方式完成原始信號重構(gòu)，如文獻(xiàn)［6-9］。這種方法利用成熟的壓縮采樣系統(tǒng)完成采樣過程，通過構(gòu)造合適的分?jǐn)?shù)階傅里葉字典，能夠以極少的采樣點(diǎn)數(shù)實(shí)現(xiàn)原始信號的有效重構(gòu)。另一類方法對傳統(tǒng)壓縮系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，利用分?jǐn)?shù)階低通濾波器替換傳統(tǒng)壓縮采樣系統(tǒng)中的低通濾波器，完成低速采樣，并直接利用濾波器輸出完成原始信號重構(gòu)，如文獻(xiàn)［10-11］。相比于傳統(tǒng)壓縮采樣系統(tǒng)，該系統(tǒng)重構(gòu)過程中不需要構(gòu)造分?jǐn)?shù)階傅里葉字典，但分?jǐn)?shù)階低通濾波器設(shè)計(jì)相對復(fù)雜。此外，上述兩種壓縮采樣方法均依賴于LFM 信號在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換下的稀疏性，但是當(dāng)LFM 信號調(diào)頻率未知時(shí)，將無法找到合適的分?jǐn)?shù)階次來完成對LFM 信號的先驗(yàn)稀疏表示，則上述兩種方法均不能有效實(shí)現(xiàn)LFM 信號的壓縮采樣與有效重構(gòu)。

2012 年，Eldar 團(tuán)隊(duì)［12］提出了基于Gabor 變換的窄脈沖信號壓縮采樣系統(tǒng)，2021 年，文獻(xiàn)［13］將該系統(tǒng)用于LFM 信號，取得了良好的重構(gòu)效果?；贕abor變換的壓縮采樣系統(tǒng)為解決LFM 信號的壓縮采樣問題提供了一種新思路。在Gabor變換下，LFM信號的稀疏表示不需要調(diào)頻率作為先驗(yàn)信息，適用性較強(qiáng)，但在文獻(xiàn)［12］中，基于Gabor 變換的壓縮采樣系統(tǒng)中不同采樣點(diǎn)需要經(jīng)過不同的通道獲得，導(dǎo)致系統(tǒng)的采樣通道利用率較低，且調(diào)制函數(shù)較為復(fù)雜，調(diào)制信號生成電路難以硬件實(shí)現(xiàn)。針對上述問題，本文將平移不變空間理論引入到壓縮采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，提出了基于Gabor 空間的LFM 信號壓縮采樣與重構(gòu)方法。該方法不僅保留了原壓縮采樣系統(tǒng)先驗(yàn)信息依賴少、適用性強(qiáng)的特點(diǎn)，同時(shí)具有通道利用率高，調(diào)制電路簡單、更易于硬件實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢。

2 基于Gabor空間的壓縮采樣與重構(gòu)

Gabor 變換本質(zhì)上是在有限的時(shí)頻柵格內(nèi)對信號進(jìn)行的短時(shí)傅里葉變換，具有良好的時(shí)頻分析能力。而LFM 信號的時(shí)變特性使得該信號在Gabor變換下具有了良好的稀疏性。與分?jǐn)?shù)階傅里葉變換相比，Gabor變換的時(shí)頻特性分析能力是通過加窗的方式獲得的，因此并不依賴于調(diào)頻率等原始信號先驗(yàn)信息，這使得Gabor變換更適用于未知調(diào)頻率條件下LFM 信號的壓縮采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)。考慮到壓縮采樣系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問題，本文在平移不變空間理論下，將Gabor變換等效成信號在Gabor空間內(nèi)的展開，進(jìn)而提出了基于Gabor空間的LFM信號壓縮采樣系統(tǒng)。

2.1 基于Gabor空間的LFM信號展開

本文LFM信號模型可以表示為：

其中，A為信號幅值，k'為調(diào)頻率，f0為中心頻率，信號帶寬B=k'T。在特定的分?jǐn)?shù)階次下，LFM 信號在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換下將表現(xiàn)為沖激函數(shù)。但在調(diào)頻率未知時(shí)，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換并不適用。為此，本文利用信號在Gabor 變換下的稀疏性，完成壓縮采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

對于連續(xù)時(shí)間LFM 信號x(t)，其Gabor 系數(shù)［14］可以表示為：

由式（3）構(gòu)成的信號空間為Gabor 空間，可以看出，Gabor空間是一種具有多個(gè)生成函數(shù)的平移不變空間，不同生成函數(shù)之間通過調(diào)制的方式相互關(guān)聯(lián)。

基于平移不變空間理論［15-16］，信號展開可以通過一個(gè)多通道系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。信號采樣系統(tǒng)如圖1 所示，圖中假設(shè)生成函數(shù)個(gè)數(shù)為L（L=L2-L1+1，L1、L2由信號帶寬確定）。該系統(tǒng)單個(gè)通道采樣頻率為1/T0，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于Nyquist 采樣頻率，但采樣通道的增加，使得總采樣頻率與總采樣點(diǎn)數(shù)成倍增加。理論上，為保證Gabor 基函數(shù)構(gòu)成Riesz 基，時(shí)、頻平移參數(shù)要滿足T0f0≤1。這種條件下，基于Gabor空間的采樣方法并不能夠從總體上降低信號采樣頻率與采樣點(diǎn)數(shù)。為此，本文將Gabor空間采樣與壓縮感知理論相結(jié)合，提出了基于Gabor空間的壓縮采樣系統(tǒng)。

2.2 LFM信號壓縮采樣系統(tǒng)

本文提出的基于Gabor 空間的壓縮采樣系統(tǒng)如圖2所示，圖中，采樣通道個(gè)數(shù)為M，M＜L。采樣過程中，LFM 信號同時(shí)進(jìn)入M個(gè)通道，在第m個(gè)通道內(nèi)，信號首先通過乘法器與調(diào)制函數(shù)進(jìn)行調(diào)制，然后通過濾波器濾波，最后對濾波器輸出進(jìn)行采樣以完成壓縮采樣過程。

與圖1 中采樣系統(tǒng)相比，本文基于Gabor 空間的壓縮采樣系統(tǒng)所采用的調(diào)制信號并不是具有單一頻率的復(fù)指數(shù)信號，而是多個(gè)復(fù)指數(shù)信號的線性疊加。加權(quán)系數(shù)相互獨(dú)立，服從分布：

圖2 中單個(gè)通道采樣頻率為1/T0，表明本文壓縮采樣系統(tǒng)保留了Gabor空間采樣系統(tǒng)低采樣頻率的特點(diǎn)。同時(shí)，采樣通道個(gè)數(shù)滿足M＜L，即本文壓縮采樣系統(tǒng)有效降低了采樣通道個(gè)數(shù)。

本文壓縮采樣系統(tǒng)的另一點(diǎn)優(yōu)勢在于系統(tǒng)的工作穩(wěn)定性更高。在圖1中，一旦單個(gè)通道失效，將導(dǎo)致整個(gè)工作系統(tǒng)失效。而對于本文系統(tǒng)，單個(gè)通道內(nèi)的調(diào)制信號是多個(gè)復(fù)指數(shù)信號的線性疊加，因此在一個(gè)或者少數(shù)幾個(gè)通道失效的情況下，仍然能夠通過重構(gòu)算法，保證原始信號得到有效重構(gòu)，因此系統(tǒng)的工作穩(wěn)定性更高。

為進(jìn)一步研究壓縮采樣系統(tǒng)工作原理，對壓縮采樣系統(tǒng)輸出進(jìn)行分析。在第m個(gè)通道內(nèi)，t=kT0時(shí)刻的系統(tǒng)輸出ym［k］可以表示為：

從式（5）可以看出，在t=kT0時(shí)刻，本文壓縮采樣系統(tǒng)任一通道的采樣點(diǎn)，為圖2 中L個(gè)通道采樣點(diǎn)的線性疊加。由于M＜L，LFM 信號重構(gòu)所需要的Gabor 系數(shù)無法通過簡單的求逆等方式來獲得。但考慮到Gabor 系數(shù)的稀疏性，可以通過壓縮感知重構(gòu)的方式來實(shí)現(xiàn)Gabor系數(shù)的重構(gòu)。

2.3 壓縮采樣系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)性分析

本文基于Gabor 空間的壓縮采樣系統(tǒng)主要包含以下幾個(gè)模塊：調(diào)制模塊、濾波模塊、采集模塊。壓縮采樣系統(tǒng)單通道采樣頻率較低，大大降低了對采集器工作頻率的需求，因此可通過傳統(tǒng)的A/D 轉(zhuǎn)換器完成該部分功能。濾波模塊是本文壓縮采樣系統(tǒng)的核心部分，傳統(tǒng)濾波器設(shè)計(jì)關(guān)注的是濾波器的幅頻響應(yīng)特性，但本文壓縮采樣系統(tǒng)中，低通濾波器的設(shè)計(jì)需要考慮沖激響應(yīng)特性（滿足g*（-t））。隨著模擬集成濾波電路的發(fā)展，現(xiàn)階段，滿足特定沖激響應(yīng)的濾波器模擬集成電路實(shí)現(xiàn)已成為可能［17-18］，該技術(shù)為本文高斯模擬濾波器設(shè)計(jì)提供了解決方案。調(diào)制模塊中，調(diào)制信號是不同頻率的調(diào)制信號的線性疊加。為盡可能降低實(shí)現(xiàn)難度，本文加權(quán)系數(shù)為雙極性參數(shù)。因此調(diào)制模塊可通過多個(gè)單一頻率調(diào)制信號通過正接或反接的方式合成本文所需要的調(diào)制信號。

與現(xiàn)有的RD、MWC 壓縮采樣系統(tǒng)相比［4-5］，本文壓縮采樣系統(tǒng)不需要高精度的時(shí)序電路來產(chǎn)生滿足Nyquist頻率的隨機(jī)序列，因此具有更好的可實(shí)現(xiàn)性。此外，與文獻(xiàn)［12］中所提的基于Gabor 變換的壓縮采樣系統(tǒng)相比，本文壓縮采樣系統(tǒng)在系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)方面還具有以下幾方面優(yōu)勢：

（1）文獻(xiàn)［12］中，單個(gè)采樣點(diǎn)通過單個(gè)通道獲得，采樣點(diǎn)數(shù)與所需要的通道個(gè)數(shù)相同，而本文壓縮采樣系統(tǒng)中，濾波器的引入使得單個(gè)通道可獲得多個(gè)采樣點(diǎn)，在相同采樣點(diǎn)數(shù)下，所需要的通道個(gè)數(shù)大大降低，通道利用率顯著提升。

（2）文獻(xiàn)［12］中，單個(gè)通道的調(diào)制函數(shù)為復(fù)指數(shù)信號、窗函數(shù)的疊加，且不同通道采用不同的調(diào)制函數(shù)，需要生成的調(diào)制函數(shù)個(gè)數(shù)較多，而本文壓縮采樣系統(tǒng)中調(diào)制信號僅為復(fù)指數(shù)信號的疊加，調(diào)制函數(shù)生成簡單且調(diào)制函數(shù)個(gè)數(shù)較少。

3 Gabor系數(shù)重構(gòu)模型與誤差分析

3.1 Gabor系數(shù)重構(gòu)模型

從式（5）可以看出，壓縮采樣系統(tǒng)輸出本質(zhì)上是對Gabor系數(shù)的線性疊加。構(gòu)造向量及矩陣如式：

式中y·k∈?M，D∈?M×L，z·k∈?L，則壓縮采樣系統(tǒng)輸出可以表示為：

在壓縮感知理論下，D為測量矩陣。由式（4）可知，本文采用的測量矩陣為貝努利隨機(jī)矩陣。假設(shè)稀疏向量z·k的稀疏度為S，則當(dāng)M≥O（S×log（L/S））時(shí)，該矩陣能夠以很高的概率滿足RIP性質(zhì)［19］。在壓縮感知理論框架下，向量z·k的重構(gòu)模型可以表示為：

該模型可以通過壓縮感知重構(gòu)算法求解，本文采用了稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（Sparse Bayesian Learning，SBL）算法［20］。

3.2 重構(gòu)誤差分析

在實(shí)際的工作過程中，壓縮采樣系統(tǒng)將不可避免地受到非理性因素的影響。為此，在綜合考慮噪聲、失配的條件下，本文對LFM 信號的重構(gòu)誤差進(jìn)行分析。

假設(shè)信號x（t）由兩部分組成，x（t）=x0（t）+e（t），x0（t）為不含噪聲的LFM 信號，e（t）為高斯噪聲。在第m個(gè)通道內(nèi)，t=kT0時(shí)刻的系統(tǒng)輸出ym［k］可以表示為：

考慮到測量過程中存在的測量噪聲wl[k]，ym［k］可以表示為：

則壓縮采樣系統(tǒng)輸出可以表示為矩陣形式：

假設(shè)n·k=De·k+w·k，則式（13）可以簡化為：

假設(shè)噪聲方差為σn2，則含噪條件下的重構(gòu)模型為：

根據(jù)文獻(xiàn)［21］中推導(dǎo)的結(jié)果，Gabor 系數(shù)的重構(gòu)誤差可以表示為：

式中μ0、μ1為常數(shù)，表示z·k的S項(xiàng)最佳逼近。本文LFM 信號為有限時(shí)域支撐信號，考慮到信號能量主要分布在有限的頻帶范圍內(nèi)，定義信號本質(zhì)帶寬F=[Ω1，Ω2]，滿足：

式中，X0(f)為信號x0（t）的傅里葉變換，F(xiàn)c表示F以外的頻帶，?Ω＜1。假設(shè)本質(zhì)帶寬內(nèi)信號為，則有

假設(shè)窗函數(shù)g（t）的本質(zhì)帶寬為[-Ωg，Ωg]，為保證采樣過程不會(huì)對本質(zhì)帶寬內(nèi)LFM 信號造成信息丟失，參數(shù)L1、L2設(shè)置為：

在綜合考慮噪聲以及失配的影響下，LFM 信號的重構(gòu)誤差如推論1所示。

推論1：x（0t）為不含噪聲的LFM 信號，為經(jīng)過壓縮采樣后對Gabor系數(shù)的重構(gòu)。利用該系數(shù)對原始LFM信號進(jìn)行重構(gòu)，則重構(gòu)誤差為

式中βγ為Riesz基上界。

證明：見附錄A。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

4.1 仿真LFM信號

根據(jù)式（1）產(chǎn)生兩種LFM 信號，信號參數(shù)設(shè)置如表1 所示，信號時(shí)域波形以及頻譜如圖3 所示。兩種LFM 信號時(shí)域支撐均為［0，1μs］，本質(zhì)帶寬分別為［-420 MHz，420 MHz］、［-620 MHz，620 MHz］。表中給出了調(diào)頻率的取值，但利用所提方法進(jìn)行壓縮采樣與重構(gòu)時(shí)，調(diào)頻率不會(huì)作為先驗(yàn)信息。

表1 兩種LFM信號參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter setting for two LFM signals

4.2 采樣系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

針對上述LFM 信號，利用本文壓縮采樣系統(tǒng)對信號進(jìn)行壓縮采樣。采樣系統(tǒng)中g(shù)（t）為高斯窗函數(shù)，該窗函數(shù)在［0，0.075 μs］上緊支撐，本質(zhì)帶寬為［-60 MHz，60 MHz］。

在本文壓縮采樣系統(tǒng)中，時(shí)、頻平移參數(shù)T0、f0對系統(tǒng)性能影響較大。首先，為了保證Riesz 基的存在性，頻移參數(shù)需要滿足如下條件：

式中，C、D滿足0＜C≤D＜∞，G(f)為g（t）的傅里葉變換。參數(shù)f0取值越小，C、D越接近，Gabor 框架的魯棒性越好，但同時(shí)L值越大，采樣系統(tǒng)通道越多。不同頻移f0條件下，（D-C）/C的取值如圖4所示。在綜合考慮框架穩(wěn)定性以及采樣系統(tǒng)通道個(gè)數(shù)的條件下，設(shè)定f0=20 MHz。

在Gabor 空間內(nèi)，構(gòu)成Riesz 基的另一個(gè)必要條件為T0f0≤1。由于f0=20 MHz，則不同時(shí)移參數(shù)T0條件下，原始LFM 信號在Gabor 系數(shù)下的重構(gòu)誤差如圖5 所示。實(shí)驗(yàn)中，采用相對誤差（Relative Error，RE）作為重構(gòu)誤差量化指標(biāo)。相對誤差表達(dá)式為：

式中為Gabor系數(shù)下的重構(gòu)信號。

可以看出，當(dāng)T0≥0.05 μs 時(shí)，T0×f0＞1，窗函數(shù)及其平移、調(diào)制形式并不能構(gòu)成Riesz 基，相對誤差較大。相反，T0＜0.05 μs 時(shí)，Riesz 基構(gòu)造條件得到滿足，此時(shí)，T0值越小，采樣密度越大，相對誤差越低。綜上所述，為保證系統(tǒng)的有效性，設(shè)置T0＜0.05 μs。

在給定窗函數(shù)以及參數(shù)f0、T0的條件下，線性調(diào)頻信號在Gabor變換下的稀疏度S即可確定，再根據(jù)信號本質(zhì)帶寬以及式（21）即可確定Gabor空間采樣系統(tǒng)中通道個(gè)數(shù)L。而根據(jù)壓縮感知理論，本文壓縮采樣系統(tǒng)中采樣通道個(gè)數(shù)滿足M≥O（S×log（L/S））。需要說明的是，上述通道個(gè)數(shù)確定過程是以信號本質(zhì)帶寬為先驗(yàn)信息的。通常條件下，信號頻帶越寬，L取值越大，所需要的通道個(gè)數(shù)越多。而對于任意的線性調(diào)頻信號，若信號帶寬未知，則只能對信號的本質(zhì)帶寬進(jìn)行假設(shè)，而壓縮采樣后的重構(gòu)過程僅能保留原始信號本質(zhì)帶寬內(nèi)信息，而本質(zhì)帶寬外的信息將會(huì)丟失。要解決上述問題，需要在壓縮采樣系統(tǒng)中添加自適應(yīng)機(jī)制，以在采樣過程中自適應(yīng)調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)。目前，自適應(yīng)的壓縮采樣方法仍在研究當(dāng)中，具體的采樣方案與系統(tǒng)組成仍需進(jìn)一步的探索與完善。

4.3 壓縮采樣與重構(gòu)性能分析

在給定時(shí)、頻移參數(shù)的條件下，對本文壓縮采樣系統(tǒng)性能進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)過程中，f0=20 MHz，T0設(shè)置為0.045 μs、0.040 μs、0.035 μs。此時(shí)壓縮采樣系統(tǒng)的單個(gè)通道的工作頻率分別為22.2 MHz、25 MHz、28.6 MHz。壓縮重構(gòu)是對Gabor 系數(shù)的重構(gòu)，因此該實(shí)驗(yàn)中重構(gòu)相對誤差為：

可以看出，隨著采樣通道個(gè)數(shù)的增加，Gabor 系數(shù)重構(gòu)概率不斷提高，并逐漸趨近于1。同時(shí)，當(dāng)通道個(gè)數(shù)在9～25 之間時(shí)，相同的通道個(gè)數(shù)下，采樣頻率越高，重構(gòu)概率越高。這是因?yàn)椴蓸宇l率的提高增加了采樣點(diǎn)數(shù)，而采樣點(diǎn)數(shù)的增加使得信號的重構(gòu)效果得到有效改善。

對壓縮采樣點(diǎn)添加不同信噪比的噪聲，以分析噪聲對本文壓縮采樣與重構(gòu)方法的影響。對于信號1，通道個(gè)數(shù)分別設(shè)置為16、20、24；對于信號2，通道個(gè)數(shù)設(shè)置為18、22、26。此時(shí)，不含噪聲條件下，兩種信號的重構(gòu)概率均大于95%。其他參數(shù)設(shè)置保持不變，則不同信噪比下，信號的重構(gòu)概率如圖7所示。

從圖7中可以看出，當(dāng)信噪比較低時(shí)，信號并不能得到有效重構(gòu)。隨著信噪比的升高，信號重構(gòu)概率不斷提高。當(dāng)信噪比達(dá)到25 dB 時(shí)，重構(gòu)概率主要取決于通道個(gè)數(shù)，通道個(gè)數(shù)越多，重構(gòu)概率越高。另一方面，可以看出，增加采樣通道能夠有效提高含噪條件下的重構(gòu)效果，例如，對于信號1，當(dāng)M=20、24時(shí)，信噪比大于18 dB即可實(shí)現(xiàn)重構(gòu)概率穩(wěn)定在95%以上。因此，在應(yīng)用過程中，可以通過適當(dāng)增加采樣通道的方式來改善壓縮采樣系統(tǒng)在含噪條件下的重構(gòu)效果。

引入不同的采樣方法進(jìn)行對比分析，對比方法包括：

方法1：Gabor空間采樣；

方法2：Gabor空間采樣+任意單通道失效；

方法3：RD壓縮采樣+分?jǐn)?shù)階傅里葉字典［6］；

方法4：RD 壓縮采樣+分?jǐn)?shù)階傅里葉字典+分?jǐn)?shù)階次失配；

方法5：基于Gabor變換的壓縮采樣［12］；

方法6：本文基于Gabor空間的壓縮采樣；

方法7：本文基于Gabor 空間的壓縮采樣+任意單通道失效；

方法8：本文基于Gabor 空間的壓縮采樣+任意三通道失效。

對于方法1、2、5、6、7 以及8，時(shí)、頻移參數(shù)分別設(shè)置為f0=20 MHz，T0=0.035 μs，所提方法中單通道采樣點(diǎn)數(shù)K可以通過下式確定：

方法3、4、5、6、7、8 均為壓縮采樣系統(tǒng)，方法3 中分?jǐn)?shù)階傅里葉字典中旋轉(zhuǎn)角α=-arccot(2π·k′)，考慮未知調(diào)頻率的條件下，分?jǐn)?shù)階次將發(fā)生失配現(xiàn)象（方法4），此時(shí)假設(shè)旋轉(zhuǎn)角α=-arccot(2π·(k′ +))，其中，。實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置方法3、4、5、6 具有相同的總采樣點(diǎn)數(shù)。8 種不同采樣方法的采樣效果與重構(gòu)誤差如表2所示，含噪條件下，噪聲信噪比設(shè)定為20 dB。

表2 采樣效果與重構(gòu)誤差對比Tab.2 Comparison of sampling and reconstruction error

兩種信號的本質(zhì)帶寬分別為［-420MHz，420MHz］、［-620 MHz，620 MHz］，在Nyquist 采樣定理下，最低的采樣頻率分別為840 MHz 以及1240 MHz?？梢钥闯觯椒? 與方法6 具有相同的單通道采樣頻率與采樣點(diǎn)數(shù)，但方法1 采樣通道的增加，使得其總采樣頻率以及總采樣點(diǎn)數(shù)均高于傳統(tǒng)Nyquist 采樣方法。由于方法1 不同通道包含有不同的成份信息，因此當(dāng)任意單通道失效時(shí)（方法2），重構(gòu)誤差明顯升高。而對于方法5，其單個(gè)通道內(nèi)的調(diào)制信號是不同頻率信號的線性疊加，因此當(dāng)任意單通道以及三通道失效時(shí)（方法7、8），重構(gòu)誤差并未明顯升高。方法5 與方法6 的重構(gòu)效果相接近，但方法5 通道個(gè)數(shù)較高，并不利于硬件實(shí)現(xiàn)。方法3 利用了調(diào)制信息產(chǎn)生分?jǐn)?shù)階傅里葉字典，重構(gòu)效果較好，特別是在不含噪聲的條件下，重構(gòu)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于其他方法，但在調(diào)頻率未知的條件下，分?jǐn)?shù)階次將發(fā)生失配現(xiàn)象，則從方法4 可以看出，兩種信號的重構(gòu)誤差較大，信號并不能得到有效重構(gòu)。

4.4 實(shí)測信號實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文壓縮采樣系統(tǒng)性能，利用實(shí)測的LFM 信號進(jìn)行壓縮采樣與重構(gòu)實(shí)驗(yàn)。LFM 信號發(fā)生與采集設(shè)備如圖8所示。圖中同一個(gè)機(jī)箱內(nèi)安裝有M9381A 以及M9391A 兩套PXI 設(shè)備。軟件系統(tǒng)中，89600 VSA 用來記錄M9391A 中采集到的信號，并對采集到的信號進(jìn)行基本的頻譜分析。

實(shí)驗(yàn)過程中，LFM信號本質(zhì)帶寬設(shè)置為［-90 MHz，90 MHz］，因此在Nyquist采樣定理下，該信號的最低采樣頻率為180 MHz。信號以射頻周期信號的形式發(fā)出，調(diào)制頻率為1.3 GHz，信號的周期為14.62 μs。在接收端，信號經(jīng)解調(diào)后，再經(jīng)過M9391A 采集，信號采集頻率為204.7 MHz，采集得到的信號時(shí)域圖如圖9（a）所示。利用89600 VSA 對信號進(jìn)行頻譜分析，如圖9（b）所示。

對于實(shí)測LFM 信號，利用上述8 種采樣系統(tǒng)進(jìn)行采樣與重構(gòu)實(shí)驗(yàn)。本文壓縮采樣系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為Wg=1.235 μs，Ωg=3.627 MHz，f0=2.13 MHz，T0=0.352 μs，單通道采樣頻率為2.84 MHz。根據(jù)式（21），方法1 中的最低通道個(gè)數(shù)為87。本文壓縮采樣系統(tǒng)中，系統(tǒng)通道個(gè)數(shù)設(shè)定為30。其他參數(shù)設(shè)置與仿真實(shí)驗(yàn)保持一致，不同方法下信號的壓縮采樣與重構(gòu)效果對比如表3 所示，圖10 中為相應(yīng)的重構(gòu)信號時(shí)域波形。

表3 實(shí)測信號采樣效果與重構(gòu)誤差對比Tab.3 Comparison of sampling and reconstruction error for measured signals

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，方法3 下原始信號能夠得到有效重構(gòu)，但當(dāng)分?jǐn)?shù)階次發(fā)生失配時(shí)（方法4），RD 壓縮采樣+分?jǐn)?shù)階傅里葉字典的壓縮采樣與重構(gòu)方法將失效。方法1 的重構(gòu)誤差最低，但是該方法所需要的總采樣頻率與總采樣點(diǎn)數(shù)均高于Nyquist 采樣方法。方法5 與方法6 的重構(gòu)效果相近，但方法5 所需要的通道個(gè)數(shù)過多，難以硬件實(shí)現(xiàn)。當(dāng)考慮通道失效時(shí)（方法2、方法6 以及方法8），本文壓縮采樣系統(tǒng)在任意單通道以及三通道失效時(shí)，重構(gòu)誤差變化不大，重構(gòu)信號波形基本不受影響，而方法1 在任意單通道失效時(shí)，某特定頻段范圍內(nèi)的重構(gòu)信號產(chǎn)生明顯失真。因此，本文壓縮采樣系統(tǒng)具有更高的工作穩(wěn)定性。

5 結(jié)論

本文研究了寬帶LFM 信號的壓縮采樣與重構(gòu)方法，針對現(xiàn)有壓縮采樣系統(tǒng)在采樣過程中存在的采樣系統(tǒng)不適用、調(diào)制信息依賴等問題，提出了一種基于Gabor 空間的LFM 信號壓縮采樣與重構(gòu)方法。該方法不需要LFM 信號調(diào)頻率作為先驗(yàn)信息，具有更廣泛的適用性。通過仿真與實(shí)測信號，驗(yàn)證了本文LFM 信號壓縮采樣與重構(gòu)方法的有效性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在保證原始LFM 信號有效重構(gòu)的前提下，本文壓縮采樣與重構(gòu)方法降低了LFM 信號的采樣頻率與采樣點(diǎn)數(shù)，并提高了系統(tǒng)的工作穩(wěn)定性。

附錄A