楊功先，梁 森，王光和，閆云鵬，鄭長(zhǎng)升

(青島理工大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，山東 青島 266520)

嵌入式共固化復(fù)合材料阻尼結(jié)構(gòu)(embedded cocuring composite damping structure，ECCDS)是一種多相固體，由不同性質(zhì)的3種材料(樹(shù)脂、玻璃纖維和黏彈性阻尼材料)通過(guò)物理或化學(xué)方法復(fù)合而成[1-3]。共固化阻尼薄膜夾嵌復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)(co-cured damping film sandwiched composite beam structure，CDFSCBS)不僅質(zhì)量輕、承載強(qiáng)，阻尼性能優(yōu)良，且更加耐疲勞，減振降噪，在航空、航海與陸地承載等交通運(yùn)輸領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。

Zhai等[4-5]基于1階剪切變形理論，探討了在阻尼薄膜復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中改變黏彈性層參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的影響，為其優(yōu)化結(jié)構(gòu)提供了理論依據(jù)。黃志誠(chéng)等[6]建立了一種新的用于研究黏彈性?shī)A芯梁振動(dòng)和阻尼特性的有限元模型，該模型同時(shí)考慮了黏彈性層的剪切和壓縮阻尼。Filippi等[7]提出了基于Carrera統(tǒng)一公式改進(jìn)的梁理論的有限元模型，用于夾層梁的振動(dòng)分析。Nguyen等[8]基于增強(qiáng)型高階分析理論研究了功能梯度夾層板的彎曲、振動(dòng)及屈曲特性。Jin等[9]基于 Reddy理論分析了單層黏彈性?shī)A層梁的阻尼及振動(dòng)特性。

Yu等[10]提出了分段剪切變形理論及假設(shè)，創(chuàng)建了夾層梁結(jié)構(gòu)的理論模型，并研究了夾層梁在兩端固支邊界條件下的自由振動(dòng)與熱后屈曲問(wèn)題。肖龍江等[11]研究了兩端固支邊界條件下具有小初始撓度的屈曲梁在受到基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用時(shí)的非線(xiàn)性動(dòng)力響應(yīng)。鐘陽(yáng)等[12]根據(jù)辛幾何方法對(duì)哈密頓體系下的四邊固支矩形薄板的自由振動(dòng)進(jìn)行了求解，并得到精確解。張小廣等[13]對(duì)四邊固支功能梯度矩形板在受到橫向簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用時(shí)的非線(xiàn)性主共振問(wèn)題進(jìn)行了研究。鮑四元等[14]根據(jù)非局部理論，將旋轉(zhuǎn)約束、橫向位移彈簧引入到梁結(jié)構(gòu)兩端邊界上，并通過(guò)設(shè)置其剛度的大小來(lái)模擬固支邊界條件，得到了梁的固有頻率和陣型曲線(xiàn)。郝芹等[15]根據(jù)波傳播法對(duì)兩端固支梁在軸向運(yùn)動(dòng)時(shí)的橫向自由振動(dòng)進(jìn)行了分析，得到了梁的模態(tài)函數(shù)和固有頻率。Ding等[16]構(gòu)造了一個(gè)包含未知系數(shù)的應(yīng)力函數(shù)，通過(guò)Airy應(yīng)力函數(shù)方法得到了應(yīng)力與位移的一般表達(dá)式，并利用兩端固支邊界條件確定引入應(yīng)力函數(shù)的未知系數(shù)，最終得到了兩端固支各向同性材料梁的解析解。

雖然目前國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)復(fù)合材料層合板、梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)研究較多，且獲得的成果頗豐。但大多數(shù)研究集中在無(wú)阻尼、自由阻尼或約束阻尼結(jié)構(gòu)，鮮有文獻(xiàn)對(duì)共固化阻尼薄膜夾嵌復(fù)合材料固支梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的研究報(bào)道。因此本文基于Hamilton原理、1階剪切變形理論與變分原理，推導(dǎo)出CDFSCBS的應(yīng)變能、動(dòng)能以及該結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)微分控制方程的表達(dá)式，探索出滿(mǎn)足兩端固支邊界條件的位移函數(shù)，利用伽遼金加權(quán)余值法將CDFSCBS自由振動(dòng)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)齊次線(xiàn)性方程組，從而獲得模型的理論解。運(yùn)用ANSYS軟件創(chuàng)建阻尼薄膜梁有限元模型，同時(shí)制作CDFSCBS試件和所搭建的試驗(yàn)平臺(tái)，進(jìn)行數(shù)值模擬與模態(tài)試驗(yàn)，將模擬結(jié)果、試驗(yàn)結(jié)果分別與理論解對(duì)比，驗(yàn)證了理論模型的有效性。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討了阻尼層厚度，上下約束層的比例，以及結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)CDFSCBS的動(dòng)力學(xué)性能的影響。

1 基本方程

1.1 基本假設(shè)

共固化阻尼薄膜復(fù)合材料梁的幾何結(jié)構(gòu)及尺寸，如圖1所示。其面內(nèi)位移如圖2所示。為了得到結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，做出如下假設(shè)：

圖1 CDFSCBS的幾何結(jié)構(gòu)

圖2 CDFSCBS的面內(nèi)位移

(1)嵌入的阻尼層與復(fù)合材料層之間的黏結(jié)良好，層間變形連續(xù)，振動(dòng)過(guò)程中不發(fā)生滑移。

(2)結(jié)構(gòu)變形前后，垂直梁面的同一法線(xiàn)上的各點(diǎn)沿厚度方向的位移變化忽略不計(jì)。

由于梁結(jié)構(gòu)的跨度遠(yuǎn)大于它的寬度和厚度，因此在理論計(jì)算中通常將其簡(jiǎn)化為一維結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論建模，得到的方程不僅簡(jiǎn)單且計(jì)算效率較高，接下來(lái)對(duì)CDFSCBS進(jìn)行詳細(xì)的理論推導(dǎo)。

1.2 阻尼薄膜復(fù)合材料梁的本構(gòu)關(guān)系

本文采用考慮剪切變形的鐵木辛柯梁理論，結(jié)合所做假設(shè)，各層梁的位移模型如下

(1)

z(i)的意義如圖3所示。在每一層建立獨(dú)立的坐標(biāo)系，并將坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)置在每一層的中心線(xiàn)上，因此z方向坐標(biāo)z(i)的取值范圍為(-hi/2,hi/2)。

圖3 z(i)的幾何意義

根據(jù)式(1)可得第i層梁結(jié)構(gòu)的位移-應(yīng)變關(guān)系表示如下

(2)

(3)

式中，θi為纖維方向與x軸的夾角。

由于黏彈性阻尼層的損耗因子與復(fù)合材料層損耗因子相比較大，為計(jì)算方便將復(fù)合材料層阻尼忽略不計(jì)，故實(shí)際損耗因子會(huì)略高于計(jì)算得到的整體損耗因子，因此只對(duì)黏彈性阻尼層的剪切模量與彈性模量用常復(fù)數(shù)模量表示

(4)

式中，n為阻尼層，n=2。

1.3 阻尼薄膜復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程

對(duì)CDFSCBS振動(dòng)方程的推導(dǎo)過(guò)程如下，基于Hamilton變分原理[17]有

(5)

其中，應(yīng)變能和動(dòng)能的表達(dá)式如下

(6)

(7)

根據(jù)假設(shè)(1)，可知中間層的位移為

(8)

這樣可將變量減少到5個(gè)，分別是u1,u3,α1,α3和w。

將式(6)和式(7)代入式(5)，結(jié)合式(2)、式(3)和式(8)，整理可得阻尼薄膜復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，如下

δu1：

(9)

δu3：

(10)

δw：

(11)

δα1：

(12)

δα3：

(13)

其中

兩端固支阻尼薄膜復(fù)合材料梁的邊界條件為

(14)

方程的解可以展開(kāi)成以下振型函數(shù)疊加的形式

(15)

式中，ω*為圓頻率；U1，U3，W，?1和?3為系數(shù)。

對(duì)于兩端固支邊界條件，振型函數(shù)可以采用以下形式

(16)

將式(15)、式(16)代入式(9)～式(13)，并將其展開(kāi)成以下三角級(jí)數(shù)疊加的形式

(17)

由伽遼金加權(quán)余值的思想可知，三角級(jí)數(shù)系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足

(18)

根據(jù)式(17)與式(18)，可將平衡方程轉(zhuǎn)化為如下特征值問(wèn)題

KX=M(ω*)X

(19)

式中：K為整體剛度矩陣；M為整體質(zhì)量矩陣；X=(U1,U3,W, ?1, ?3)T。

由式(19)、式(20)與式(21)(見(jiàn)文獻(xiàn)[18])計(jì)算結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率和損耗因子

(20)

η=Im((ω*)2/Re(ω*)2

(21)

2 試驗(yàn)平臺(tái)的搭建與模型驗(yàn)證

2.1 試驗(yàn)平臺(tái)的搭建

按照碳纖維/環(huán)氧預(yù)浸料固化工藝曲線(xiàn)制成阻尼薄膜復(fù)合材料梁試件，如圖4所示。具體制備工藝參見(jiàn)文獻(xiàn)[19],該試件的幾何參數(shù)與材料參數(shù)，如表1、表2所示。搭建試驗(yàn)平臺(tái)，如圖5所示。將制作完成的CDFSCBS試件進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，試驗(yàn)平臺(tái)包括激勵(lì)力錘(型號(hào)4524-B004)、加速度傳感器(型號(hào)8206-002)、固支夾具、計(jì)算機(jī)和PULSE(型號(hào)3560B)。將3個(gè)相同的CDFSCBS試件分別進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)采用單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)的方法對(duì)兩端固支CDFSCBS進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，3次激勵(lì)數(shù)值取平均，3次試驗(yàn)數(shù)據(jù)再次取平均，以便獲得較準(zhǔn)確的試驗(yàn)結(jié)果。

表1 CDFSCBS復(fù)合材料層材料參數(shù)

表2 CDFSCBS黏彈性層材料參數(shù)

圖4 阻尼薄膜復(fù)合材料梁試件

(a)

2.2 模型驗(yàn)證

以無(wú)阻尼復(fù)合材料層合梁為例，驗(yàn)證所創(chuàng)建理論模型的有效性。其材料參數(shù)為：ρ=1 389.23 kg/m3,E1=144.8 GPa,E2=9.65 GPa，G12=4.14 GPa,G13=4.14 GPa,泊松比v12=0.3；層合梁結(jié)構(gòu)的尺寸為：a=0.381 m，h=a/15；每一層纖維角度為[90°/0°/90°/0°]。表3列出了采用本文方法計(jì)算得到的前3階固有頻率與現(xiàn)有文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，可以看到良好的一致性。

表3 固支邊界條件下復(fù)合材料層合梁前3階固有頻率對(duì)比

此外，將ANSYS有限元方法、模態(tài)試驗(yàn)方法分別與理論分析方法進(jìn)行比較。運(yùn)用ANSYS17.0軟件的Solid Brick 8 node 185單元建立阻尼薄膜復(fù)合材料梁模型，各層之間通過(guò)共節(jié)點(diǎn)連接，設(shè)置每一鋪層厚度、鋪設(shè)角度、材料參數(shù)，具體見(jiàn)表1與表2。

CDFSCBS的損耗因子與前3階固有頻率的理論、試驗(yàn)、模擬結(jié)果對(duì)比如表4所示。三者結(jié)果基本吻合，誤差均在5%以?xún)?nèi)，滿(mǎn)足工程應(yīng)用中需要。其中，誤差1為理論解與ANSYS模擬結(jié)果的相對(duì)誤差，誤差2為理論解與試驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)誤差。

表4 固有頻率和損耗因子計(jì)算結(jié)果

3 不同參數(shù)對(duì)CDFSCBS動(dòng)力學(xué)性能影響

在驗(yàn)證了理論模型正確的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討了結(jié)構(gòu)的阻尼層厚度，上下復(fù)合材料層比例，阻尼層厚度(Hc)與CDFSCBS的總厚度(H)比，CDFSCBS長(zhǎng)度(a)與CDFSCBS的總厚度比對(duì)CDFSCBS整體動(dòng)力學(xué)性能的影響。令H=h1+h2+h3，Hc=h2，材料參數(shù)見(jiàn)表3。

3.1 結(jié)構(gòu)材料分布對(duì)動(dòng)力學(xué)性能的影響

當(dāng)CDFSCBS上下復(fù)合材料層厚度h1+h3=2 mm時(shí)，改變黏彈性阻尼層厚度h2的數(shù)值，探討h1/h3以及黏彈性阻尼層厚度變化對(duì)CDFSCBS的1階頻率與1階模態(tài)損耗因子的影響規(guī)律，結(jié)果如圖6與圖7所示。

圖6 h2不同時(shí)h1/h3值對(duì)CDFSCBS 1階頻率的影響

h1+h3為定值時(shí)，在h1/h3=1處出現(xiàn)1階頻率的極小值點(diǎn)和1階損耗因子極大值點(diǎn)，改變阻尼層厚度h2的值，極值點(diǎn)位置不變。這是因?yàn)楫?dāng)阻尼層處于中性層位置時(shí)，CDFSCBS在純彎曲情況下，中性層受到的剪切應(yīng)力最大，阻尼層可以獲得較大的應(yīng)變，由模態(tài)應(yīng)變能原理可知，此時(shí)CDFSCBS具有最大的1階損耗因子與相對(duì)最小的1階頻率。

當(dāng)CDFSCBS的上下復(fù)合材料層相等時(shí)(h1/h3=1)，保持其他材料參數(shù)不變，增加阻尼層厚度，CDFSCBS的1階頻率降低，1階模態(tài)損耗因子則有較大增加(見(jiàn)圖6與圖7)；當(dāng)CDFSCBS上下復(fù)合材料層不相等時(shí)(h1/h3≠1)，增加阻尼層厚度，CDFSCBS的1階頻率與1階模態(tài)損耗因子都呈增加趨勢(shì)，但變化幅度不大。這是因?yàn)殡S著阻尼層厚度增加，CDFSCBS的整體阻尼性能得到了提升。又因阻尼層在CDFSCBS中的位置不同，增加其厚度對(duì)阻尼性能的提升效果也存在差異，因此阻尼層位于中性層位置更有助于提升CDFSCBS整體的動(dòng)力學(xué)性能。

圖7 h2不同時(shí)h1/h3值對(duì)CDFSCBS 1階損耗因子的影響

3.2 結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)性能的影響

增加CDFSCBS的阻尼層厚度可提升其阻尼性能，因此基于阻尼薄膜梁在總厚度不變的情況下，探討?zhàn)椥宰枘釋雍穸扰c總厚度的比(Hc/H)和梁長(zhǎng)度與總厚度的比(a/H)對(duì)CDFSCBS動(dòng)力學(xué)性能的綜合影響規(guī)律，結(jié)果如圖8～圖23所示。

圖8 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階頻率的影響

圖9 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階損耗因子的影響

圖10 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階頻率的影響

圖11 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階損耗因子的影響

圖12 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階頻率的影響

圖13 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階損耗因子的影響

圖14 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階頻率的影響

圖15 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階損耗因子的影響

圖16 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階頻率的影響

圖17 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階損耗因子的影響

圖18 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階頻率的影響

圖19 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階損耗因子的影響

圖20 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階頻率的影響

圖21 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階損耗因子的影響

圖22 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階頻率的影響

圖23 Hc/H與a/H對(duì)CDFSCBS 1階損耗因子的影響

由圖8～圖11可知，隨著a/H與Hc/H值的增加，CDFSCBS的1階頻率呈下降趨勢(shì)；1階模態(tài)損耗因子整體呈上升趨勢(shì)，這是因?yàn)閍/H在10～39內(nèi)，隨著Hc/H值的增加，CDFSCBS的阻尼性能一直在提升。因此當(dāng)a/H在10～39內(nèi)，CDFSCBS的損耗因子達(dá)到最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的Hc/H值約為0.9，此時(shí)CDFSCBS擁有更好的動(dòng)力學(xué)性能。

由圖12～圖23可知隨著a/H與Hc/H值的增加，CDFSCBS 1階頻率的變化趨勢(shì)與圖8～圖11類(lèi)似呈逐漸下降趨勢(shì)，1階模態(tài)損耗因子則呈先上升后下降趨勢(shì)。在總厚度不變情況下，長(zhǎng)厚比不同，損耗因子達(dá)到最大值、結(jié)構(gòu)獲得最佳動(dòng)力學(xué)性能所對(duì)應(yīng)的Hc/H值也各有不同。即a/H值約為40～71，對(duì)應(yīng)的Hc/H值約為0.8；a/H值約為72～100，對(duì)應(yīng)的Hc/H值約為0.7；a/H值約為101～159，對(duì)應(yīng)的Hc/H值約為0.6；當(dāng)a/H值大于160時(shí)，對(duì)應(yīng)的Hc/H值約為0.5。

4 結(jié) 論

本文基于Hamilton原理與1階剪切變形理論，推導(dǎo)了CDFSCBS的自由振動(dòng)理論模型，利用伽遼金法求解了模型的理論解。在驗(yàn)證了理論模型有效性的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討了CDFSCBS結(jié)構(gòu)材料分布、幾何參數(shù)對(duì)CDFSCBS的動(dòng)力學(xué)性能的影響規(guī)律。主要結(jié)論如下：

(1)當(dāng)阻尼層位于結(jié)構(gòu)的中性層位置，上下復(fù)合材料層關(guān)于其對(duì)稱(chēng)分布時(shí)，CDFSCBS具有相對(duì)最低的1階頻率與最大的模態(tài)損耗因子；

(2)通過(guò)合理選擇最佳的a/H與Hc/H值，可得到最大的1階模態(tài)損耗因子，提升CDFSCBS整體的動(dòng)力學(xué)性能；

(3)分析并得出了Hc/H與a/H之間的最優(yōu)關(guān)系——隨著a/H值的增大，最大損耗因子所對(duì)應(yīng)的Hc/H值約為0.5。