張 堯，宋志剛

(1.昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，昆明 650000；2.曲靖師范學(xué)院 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，云南 曲靖 655000)

樓梯是建筑中重要的垂直交通系統(tǒng)，其設(shè)計(jì)和建造在滿足承載能力的要求下，逐漸向著輕質(zhì)、高強(qiáng)和美觀方向發(fā)展，這使得一些大跨度樓梯容易在人致荷載作用下產(chǎn)生過大振動(dòng)，面臨振動(dòng)舒適度問題[1-9]，而樓梯上人致荷載的觀測(cè)則是進(jìn)行相關(guān)分析和驗(yàn)算的基礎(chǔ)。

Kerr等[10]和Bishop等[11]利用測(cè)力板觀測(cè)了平地和樓梯上的步行荷載的豎向分量，發(fā)現(xiàn)上下樓梯各階動(dòng)載因子均比水平面上的觀測(cè)結(jié)果大；杜永峰等[12]和Gaile等[13]，結(jié)合無線加速度傳感技術(shù)觀測(cè)了樓梯上人致荷載的豎向、橫向和縱向分量，給出了各階動(dòng)載因子的均值和分布特征。我國(guó)GB 50352—2019《民用建筑設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》[14]規(guī)定了各類住宅和公共建筑樓梯的最大高寬比限值，其范圍在1∶1.5～1∶2.5(34°～22°)，而在上述研究中，Kerr等的研究雖使用了不同踏步高寬比的樓梯，但未對(duì)不同高寬比下獲得的動(dòng)載因子(dynamic load factors，DLF)加以區(qū)分對(duì)比，杜永峰等和Gaile等的觀測(cè)僅使用了一種樓梯踏步高寬比，樓梯踏步高寬比對(duì)樓梯上步行荷載的影響有待進(jìn)一步分析。

本文選取踏步高寬比為1∶1.6，1∶2.0和1∶2.3的3種樓梯，利用無線加速度傳感器對(duì)上下樓梯荷載進(jìn)行觀測(cè)，在此基礎(chǔ)上，獲得上下樓梯時(shí)不同方向荷載分量的各階動(dòng)載因子隨步頻變化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，通過計(jì)算三類樓梯動(dòng)載因子的相對(duì)偏差，研究踏步高寬比對(duì)荷載的影響。

1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1.1 試驗(yàn)原理

圖1 上下樓梯人致荷載分量的坐標(biāo)系

(1)

(2)

(3)

式中：m為人體質(zhì)量；g為重力加速度。結(jié)合上式和測(cè)定的質(zhì)心加速度確定荷載分量。

1.2 試驗(yàn)條件

選取了位于某高校校園內(nèi)的3種室內(nèi)外樓梯作為測(cè)試場(chǎng)所，踏步高寬比如表1所示。

表1 樓梯踏步參數(shù)

1.3 被測(cè)對(duì)象與測(cè)試裝置

試驗(yàn)邀請(qǐng)27位健康成年人作為被測(cè)對(duì)象，其中男性15名，女性12名，年齡分布在19～22周歲，身高和體重信息如表2所示。

表2 被測(cè)者基本信息

用于觀測(cè)上下樓梯身體質(zhì)心的無線慣性測(cè)量裝置(inertial measurement unit, IMU)如圖2所示。其集成了三軸加速度傳感器、藍(lán)牙串口和電源等多個(gè)模塊，采樣頻率為100 Hz，加速度測(cè)量精度為0.001g，采集的加速度信號(hào)可通過藍(lán)牙信號(hào)傳輸至手機(jī)終端。利用腰帶將傳感器布置于腰椎位置(見圖2)。

圖2 質(zhì)心慣性測(cè)量裝置及其布置位置

1.4 測(cè)試過程與數(shù)據(jù)處理

被測(cè)者穿戴測(cè)試裝置，在節(jié)拍器提示的頻率下以一次一個(gè)踏步的方式行進(jìn)，節(jié)拍器提示的頻率由1.2 Hz開始，按0.4 Hz的間隔增加，以被測(cè)者能夠適應(yīng)的極限為上限。在每一提示頻率下，被測(cè)者在連續(xù)的兩個(gè)梯段上往返一次為一組，為保證每一步頻下均可獲得有效荷載樣本，規(guī)定被測(cè)者在每個(gè)頻率下完成兩組行走。

試驗(yàn)結(jié)束后，從整個(gè)測(cè)試過程采集的加速度信號(hào)中截取穩(wěn)態(tài)行走對(duì)應(yīng)的部分作為有效樣本，即每個(gè)梯段中剔除最先和最后3個(gè)踏步后中間段的加速度信號(hào)。

以上加速度時(shí)程代入式(1)～式(3)可獲得3個(gè)方向的荷載時(shí)程，通過快速傅里葉變換得到下式所表示的荷載頻譜，以及各階動(dòng)載因子[15-16]。

(4)

(5)

(6)

式中:W=mg為體重;αzi、αyi和αxi分別為豎向、橫向和縱向第i階動(dòng)載因子;φzi、φyi和φxi為各階諧波相位;fp為步頻。由于橫向荷載周期是豎向和縱向荷載周期的兩倍，假設(shè)橫向各階諧波頻率均為其他方向的1/2。

2 試驗(yàn)結(jié)果

2.1 荷載時(shí)程

限于篇幅，這里僅給出某身高166 cm，體重54 kg的女性被測(cè)者在不同踏步高寬比的樓梯上以1.6 Hz步頻上下樓梯時(shí)采集到的身體質(zhì)心加速度信號(hào)，如圖3和圖4所示。圖3、圖4僅展示了穩(wěn)定步態(tài)下2 s持時(shí)內(nèi)的荷載時(shí)程。由圖可知，上樓梯三方向的荷載時(shí)程峰值明顯小于下樓梯時(shí)的荷載時(shí)程峰值。3種踏步高寬比對(duì)應(yīng)的荷載時(shí)程變化趨勢(shì)基本一致。

(a)豎向

(a)豎向

2.2 荷載頻譜

采集到的加速度時(shí)程經(jīng)過卡爾曼濾波處理，除以重力加速度后的時(shí)程經(jīng)過快速傅里葉變換，得到圖5和圖6所示頻譜。由圖5和圖6可知，豎向和縱向各階峰值出現(xiàn)在步頻及其倍頻處，橫向各階峰值大概位于步頻及其倍頻的1/2處，豎向和縱向的前三階峰值較明顯。3種樓梯的頻譜峰值接近。

(a)豎向

(a)豎向

2.3 三向動(dòng)載因子相關(guān)性

取圖5和圖6的頻譜幅值作為動(dòng)載因子觀測(cè)值。為驗(yàn)證樓梯三向荷載模型的表達(dá)形式，參考水平面三向動(dòng)載因子的相關(guān)性驗(yàn)算方法[17]，選取了以1.6 Hz步頻上、下樓梯的65組和70組動(dòng)載因子，計(jì)算各方向間的相關(guān)系數(shù)。一階動(dòng)載因子相關(guān)系數(shù),如表3和表4所示。上樓梯情況下豎向和縱向相關(guān)性最高，為42.47%，下樓梯時(shí)橫向與縱向的相關(guān)性最高，為32.98%。由此可判斷，上、下樓梯各向荷載均不存在高度相關(guān)性，需要對(duì)3個(gè)方向的荷載進(jìn)行獨(dú)立建模。

表3 上樓梯豎向、橫向和縱向一階動(dòng)載因子相關(guān)系數(shù)

表4 下樓梯豎向、橫向和縱向一階動(dòng)載因子相關(guān)系數(shù)

2.4 動(dòng)載因子統(tǒng)計(jì)特性

3種樓梯的3個(gè)方向各階動(dòng)載因子實(shí)測(cè)值與擬合值,如圖7、圖8所示。

實(shí)測(cè)值分布具有以下規(guī)律：① 動(dòng)載因子隨步頻提高而提高;② 部分動(dòng)載因子呈現(xiàn)分段的分布規(guī)律，例如上樓梯豎向一階動(dòng)載因子,如圖7(a)所示。按步頻分為行走(fp≤2.2 Hz)、跑步(fp>3.0 Hz)和中間過渡區(qū)域(2.2 Hz

擬合值在上述規(guī)律基礎(chǔ)上運(yùn)用最小二乘法獲得，表達(dá)式見式(7)、式(8)、式(9)，其中上樓梯豎向第一階動(dòng)載因子和縱向各階動(dòng)載因子采用式(7)、式(8)所示分段線性擬合，其他各階動(dòng)載因子采用式(9)表示的二次多項(xiàng)式。

(7)

(8)

(9)

分別對(duì)3種樓梯動(dòng)載因子以及所有動(dòng)載因子進(jìn)行擬合。3種樓梯的擬合均值(見圖7、圖8)，對(duì)所有動(dòng)載因子的擬合均值，如表5、表6所示。為反映實(shí)測(cè)值關(guān)于擬合均值的離散程度，將實(shí)測(cè)值表示為式(10)的形式，式中βji系數(shù)表示實(shí)測(cè)值相對(duì)于擬合值的偏差，該系數(shù)近似服從正態(tài)分布，期望和標(biāo)準(zhǔn)差見表5和表6。

(10)

由圖7、圖8的擬合結(jié)果可知，3種不同踏步高寬比條件下觀測(cè)的動(dòng)載因子呈現(xiàn)出相近的隨步頻的變化趨勢(shì)，即從行走步頻到跑步步頻，整體呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，僅在縱向的過渡步頻出現(xiàn)平緩或略微下降的趨勢(shì)，說明隨著步頻的增加和步態(tài)由行走變?yōu)榕懿?，樓梯上的人致荷載幅值會(huì)明顯增加。

(a)上樓梯豎向第一階動(dòng)載因子

(a)下樓梯豎向第一階動(dòng)載因子

比較3種樓梯的擬合結(jié)果可知，在行走階段，3種樓梯擬合曲線的重合度較高，而在過渡和跑步階段，3種擬合曲線存在分岔，說明動(dòng)載因子分布具有差異。該差異的原因可能包括動(dòng)載因子離散度較大，以及樓梯高寬比不同。但曲線的排列順序并沒有隨踏步高寬比呈現(xiàn)明顯的單調(diào)變化趨勢(shì)，有必要進(jìn)一步研究不同踏步高寬比下動(dòng)載因子的差異。

3 不同踏步高寬比條件下的動(dòng)載因子差異

所有動(dòng)載因子擬合結(jié)果作為參考值(見表5、表6)。分別計(jì)算三種樓梯動(dòng)載因子的擬合值相對(duì)于參考值的偏差，計(jì)算公式如下

表6 下樓梯各階動(dòng)載因子擬合參數(shù)取值及βji的分布特征

(11)

式中，m為第m種樓梯。

上樓梯情況下的相對(duì)偏差，如圖9所示。從圖9可知，在同一步頻區(qū)間內(nèi)，各階動(dòng)載因子的相對(duì)偏差并沒有隨踏步高寬比顯示出單調(diào)變化趨勢(shì)。另外，隨著步頻變化，各樓梯的偏差也未呈現(xiàn)出具有規(guī)律的變化趨勢(shì)。從偏差的范圍來看，除個(gè)別高階動(dòng)載因子外，其余各階動(dòng)載因子偏差基本在±30%內(nèi)，與表5的分布標(biāo)準(zhǔn)差相比，屬于較小的偏差范圍。下樓梯情況與之類似。上述結(jié)果說明由樓梯踏步高寬比引起的動(dòng)載因子偏差小于由行人個(gè)體間差異和單人步態(tài)不穩(wěn)定性導(dǎo)致的偏差。實(shí)際應(yīng)用中，設(shè)計(jì)荷載的取值考慮一定的保證率，相對(duì)于均值的偏差足以超過30%。因而認(rèn)為在文本涉及的踏步高寬比范圍內(nèi)，可不考慮踏步高寬比對(duì)動(dòng)載因子的影響。

(a)

表5 上樓梯各階動(dòng)載因子擬合參數(shù)取值及βji的分布特征

4 模擬荷載時(shí)程與實(shí)測(cè)值對(duì)比

荷載時(shí)程可根據(jù)式(4)、式(5)和式(6)重構(gòu)，式中前三階動(dòng)載因子根據(jù)行人步頻，按式(7)、式(8)、式(9)和表5、表6取值，荷載時(shí)程重構(gòu)的核心是確定各階分量間的相位差。二階、三階分量與一階分量的相位差可通過基于響應(yīng)面的最優(yōu)化方法識(shí)別，其基本步驟如下：

步驟1確立優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化目標(biāo)是使重構(gòu)時(shí)程與實(shí)測(cè)時(shí)程的相對(duì)誤差最小[18]，如式(12)所示。

步驟2利用均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[19]，在[-π, π]內(nèi)以0.01π的水平間距對(duì)相位取值進(jìn)行組配，構(gòu)造200組取值，生成相應(yīng)數(shù)量的模擬時(shí)程樣本，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。

步驟3運(yùn)用變換條件期望(conditional expectation,ACE)回歸算法[20-22]依據(jù)上述樣本建立相位和目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面關(guān)系。

步驟4利用Monte Carlo模擬生成1×105組相位取值，根據(jù)上述響應(yīng)面關(guān)系計(jì)算相對(duì)誤差，搜索最小誤差對(duì)應(yīng)的相位取值。

(12)

以圖3和圖4中的實(shí)測(cè)時(shí)程為例，按上述方法構(gòu)造的模擬時(shí)程,如圖10和圖11所示。圖中不同曲線為各階動(dòng)載因子分別取均值、75%分位值與95%分位值對(duì)應(yīng)的模擬結(jié)果，相位取值如表7所示。荷載時(shí)程的相對(duì)誤差在15%以內(nèi)。

(a)豎向

(a)豎向

表7 諧波相位差取值

5 結(jié) 論

本文采用無線慣性測(cè)量裝置測(cè)定了行人在不同高寬比的樓梯上上行和下行所產(chǎn)生的人致荷載，結(jié)合傅里葉變換和統(tǒng)計(jì)分析給出了人行荷載各階動(dòng)載因子隨步頻變化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，使用擬合值的相對(duì)偏差分析了不同踏步高寬比對(duì)樓梯上人致荷載的影響，使用基于響應(yīng)面的最優(yōu)化方法確定重構(gòu)荷載時(shí)程所需的最優(yōu)相位差，結(jié)果表明：

(1)上、下行樓梯時(shí)各階動(dòng)載因子隨步頻的提高而提高，變化規(guī)律視情況可分別使用分段線性函數(shù)和二次函數(shù)表示，同一步頻下的動(dòng)載因子的概率分布服從正態(tài)分布；

(2)在常見民用建筑樓梯踏步高寬比范圍(1∶1.6～1∶2.3)內(nèi)，踏步尺寸引起的豎向、橫向和縱向前三階動(dòng)載因子偏差在30%以內(nèi)，小于行人個(gè)體差異和步態(tài)隨機(jī)性的影響，設(shè)計(jì)荷載取值可不考慮踏步尺寸的影響；

(3)基于均勻試驗(yàn)和ACE回歸相結(jié)合的響應(yīng)面算法，可識(shí)別二階、三階荷載分量與一階荷載分量之間的相位差(見表7)，并較為準(zhǔn)確地重構(gòu)出不同概率分位值下，豎向、縱向和橫向的荷載時(shí)程。