張斯龍，何世熠，陳 亮?，高潤(rùn)龍，趙 括，歐陽(yáng)曉平,，周建斌，李 洋

(1. 湘潭大學(xué)，湖南湘潭 411105；2. 西北核技術(shù)研究所，西安 710024；3. 西安交通大學(xué)，西安 710049；4. 火箭軍工程大學(xué)，西安 710025；5. 成都理工大學(xué)，成都 610059；6. 南京航空航天大學(xué)，南京 210016)

能譜測(cè)量是研究輻射場(chǎng)性質(zhì)及攜帶信息的重要手段，廣泛應(yīng)用于核素識(shí)別、核反應(yīng)診斷和暗物質(zhì)探測(cè)等領(lǐng)域[1-3]。不同的測(cè)量目標(biāo)對(duì)能譜測(cè)量精度均提出了極高的要求，其中，能量分辨率作為衡量系統(tǒng)精度的直接參數(shù)，在能譜測(cè)量中有重要意義。如，火星γ射線能譜由多個(gè)峰組成，形成原因十分復(fù)雜，為觀察峰的特征并鑒別峰的來(lái)源，探測(cè)系統(tǒng)的能量分辨率需達(dá)到2.8 keV，才能識(shí)別334種宇宙射線成分[4]。

為提升探測(cè)系統(tǒng)的能量分辨率，自20世紀(jì)50年代以來(lái)，國(guó)內(nèi)外開(kāi)展了大量的研究工作。一方面是使用新型探測(cè)器或改變探測(cè)器材料種類以提升探測(cè)器性能[5-6]，另一方面是不斷優(yōu)化電子學(xué)系統(tǒng)[7-8]。當(dāng)探測(cè)器的本征分辨率及硬件改進(jìn)達(dá)到物理瓶頸后，通過(guò)優(yōu)化數(shù)據(jù)處理軟件或算法來(lái)提升能量分辨效果成為一個(gè)新的重要方向?，F(xiàn)階段，得益于計(jì)算機(jī)及核電子技術(shù)的快速發(fā)展，在多種軟硬件結(jié)合的條件下，用于能譜測(cè)量的信號(hào)處理算法得到了快速發(fā)展和更新。 Meng等[9]、Abbene等[10-11]和李京倫等[12]利用反卷積技術(shù)，基于不同探測(cè)器的響應(yīng)函數(shù)模型和不同濾波器的本征噪聲模型等先驗(yàn)信息進(jìn)行軟件設(shè)計(jì)，并通過(guò)高速ADC，F(xiàn)PGA，ARM等硬件實(shí)現(xiàn)了前端脈沖信號(hào)采集和整個(gè)數(shù)字化系統(tǒng)的控制處理，具有較強(qiáng)的信號(hào)先驗(yàn)要求。周建斌等[13]和洪旭等[14]利用數(shù)字梯形濾波成形技術(shù)，通過(guò)確定數(shù)字梯形濾波成形的時(shí)間常數(shù)，消除了脈沖重疊時(shí)間，并減少了系統(tǒng)的死時(shí)間，提高了系統(tǒng)的有效計(jì)數(shù)率。在實(shí)測(cè)55Fe時(shí)，使用512點(diǎn)三角成形，結(jié)合特定的數(shù)字化系統(tǒng)能使5.9 KeV處全能峰的分辨率達(dá)156 eV。為進(jìn)一步凸顯峰的信息，提高分辨率， Jordanov等[15-18]研究了一種新的能譜處理算法—種子局部平均(seeded localized averaging，SLA)算法，通過(guò)給定的半窗口長(zhǎng)度和堆棧額度 2個(gè)參數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)采集，并記錄在預(yù)采集區(qū)；當(dāng)以首信號(hào)為“種子”的窗口內(nèi)信號(hào)總數(shù)等于或大于堆棧額度時(shí)，得到多信號(hào)的平均道址及總計(jì)數(shù)；將預(yù)采集區(qū)窗口內(nèi)的計(jì)數(shù)清零后，在信息存儲(chǔ)區(qū)找到平均道址并增加計(jì)數(shù)，增加的計(jì)數(shù)值為預(yù)采集總計(jì)數(shù)與堆棧額度之比。與傳統(tǒng)的反卷積及梯形數(shù)字濾波成形技術(shù)相比，該算法的優(yōu)點(diǎn)為無(wú)需提供探測(cè)系統(tǒng)的先驗(yàn)信息，能更普遍地適應(yīng)多種系統(tǒng)，具有較高的實(shí)時(shí)采集處理效率。然而，該算法在不對(duì)稱峰篩選、臨近雙峰分辨和參數(shù)預(yù)設(shè)等方面仍存在不足，無(wú)法處理不對(duì)稱分布和鄰近雙峰會(huì)出現(xiàn)虛峰及重合峰等異?，F(xiàn)象，處理前預(yù)設(shè)處理參數(shù)的隨機(jī)性較強(qiáng)。

本文基于SLA算法，提出了一種基于概率密度函數(shù)迭代的加權(quán)平均變換(weighted average transform， WAT)算法。由于加權(quán)系數(shù)可調(diào)，SLA算法是WAT算法中加權(quán)系數(shù)相等的特殊形式。在隨機(jī)輸入信號(hào)的累積計(jì)算處理過(guò)程中引入均值不等式的數(shù)學(xué)思想方法，設(shè)置多個(gè)參數(shù)的變換過(guò)程，對(duì)形成原始分布的核脈沖信號(hào)進(jìn)行迭代以獲得最小半高寬。本文基于仿真結(jié)果對(duì)WAT算法理論模型進(jìn)行了分析和驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果表明，WAT算法不僅能解決SLA算法在不對(duì)稱峰、雙峰及參數(shù)協(xié)調(diào)等方面的問(wèn)題，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)要求不高，具有一定的普適性，也保持了系統(tǒng)設(shè)計(jì)的靈活性。

1 WAT算法的處理過(guò)程

(1)

其中：h為以p為自變量的遞增函數(shù)。當(dāng)p取某些特殊值時(shí)，h具有不同的平均意義，包括以xi為系數(shù)的yi的算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)及極值等。h可表示為

(2)

(3)

輸出后，以k(2)為中心的整個(gè)區(qū)間計(jì)數(shù)歸零，繼續(xù)等待下次信號(hào)輸入。圖1為基于式(1)-式(3)，當(dāng)r=3,n=4，α1=0.4，α2=0.3，α3=0.2，α4=0.1時(shí)，算法的執(zhí)行和實(shí)現(xiàn)情況。其中：圖1(a)為第一步接收到首信號(hào)會(huì)記下該信號(hào)的順序、道址和信號(hào)個(gè)數(shù)；圖1(b)為第二步以接收到信號(hào)的道址為基礎(chǔ),在半窗口r的范圍內(nèi)搜索是否存在種子信號(hào)，如存在，則迭代計(jì)算，如不存在，則同樣將其認(rèn)定為首信號(hào)；圖1(c)為第三步，與第二步過(guò)程相同；圖1(d)為第四步展示信號(hào)個(gè)數(shù)達(dá)到堆棧額度后最終輸出。SLA算法，即αk=1/n(k=1, 2, …，n)，此時(shí)，由于通道的計(jì)數(shù)可大于1，n個(gè)參數(shù)αk并未完全使用。因此，這些系數(shù)并不是平權(quán)的，下標(biāo)越大則系數(shù)的重要性越弱。

(4)

由式(4)可知： (1)通過(guò)WAT算法得到的新隨機(jī)變量的概率密度分布和累積分布函數(shù)與輸入直接相關(guān)； (2)WAT算法不改變分布的均值； (3)無(wú)論系數(shù)怎樣設(shè)置，新分布的方差均小于原始方差； (4)WAT 算法不改變分布的對(duì)稱性，如分布函數(shù)f(X)滿足關(guān)于均值μ對(duì)稱，則新分布同樣關(guān)于均值μ對(duì)稱。WAT算法最直接的效果是降低了分布方差，提升了能量分辨率。

2 基于WAT算法的模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于上述模型，利用Matlab軟件模擬Si-PIN半導(dǎo)體探測(cè)器對(duì)α粒子的能譜測(cè)量仿真實(shí)驗(yàn)。為驗(yàn)證WAT算法的有效性，在模擬測(cè)量中采用了多種不同形態(tài)的信號(hào)輸入。求解某次實(shí)測(cè)γ信號(hào)，分別以左右對(duì)稱的高斯分布、峰位偏移的對(duì)數(shù)高斯分布和峰位可調(diào)的多峰分布為輸入隨機(jī)變量的分布函數(shù)，研究了WAT的處理效果，并與SLA算法進(jìn)行了對(duì)比。

對(duì)以單峰高斯分布為代表的對(duì)稱分布，WAT算法與SLA算法在處理效果上基本一致，以分布均值為代表的峰的位置不變，但峰的半高寬變小。這是因?yàn)榘敫邔捙c分布標(biāo)準(zhǔn)偏差正相關(guān)，峰與橫坐標(biāo)形成的峰型面積則縮小至原面積的1/n。SLA算法對(duì)分布標(biāo)準(zhǔn)偏差的作用介于變量最小值和算術(shù)平均值之間，WAT算法能兼容SLA算法，在數(shù)據(jù)選取方面比SLA算法更靈活。

圖2為r=120，n=32時(shí)，WAT和SAL算法處理對(duì)稱單峰的結(jié)果。

由圖2可見(jiàn)，輸入波形的峰位和標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為1 024和10，經(jīng)WAT算法處理后分別為1 024和5.33。此時(shí)，ki為32/528，31/528，…，1/528。取ki相等時(shí)，均為1/32，此時(shí)對(duì)稱單峰的標(biāo)準(zhǔn)偏差將進(jìn)一步減小至5。經(jīng)WAT算法處理后，信號(hào)的峰位未發(fā)生漂移，半高寬減小，分辨率被明顯優(yōu)化，能譜峰與橫坐標(biāo)形成的峰型按比例降低。因此WAT算法效果明顯。推廣到更一般情況，圖3為對(duì)稱單峰在不同的r和n的組合下得到波形的標(biāo)準(zhǔn)偏差，每組給定的系數(shù)均為1/n。

由圖3可見(jiàn)，當(dāng)半窗口長(zhǎng)度r一定時(shí)，隨著堆棧額度n的增加，處理后的標(biāo)準(zhǔn)偏差不斷降低，但降低速度變緩，增加n的取值帶來(lái)的“收益”逐漸減?。划?dāng)堆棧額度n一定時(shí)，隨著半窗口長(zhǎng)度r的增加，標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣不斷降低，但是降低速度先快后慢。由此，考慮到最終信號(hào)的統(tǒng)計(jì)性和計(jì)算量的影響，參數(shù)r和n的選擇存在最優(yōu)解。

具有雙對(duì)稱峰分布特點(diǎn)的能譜在測(cè)量中非常常見(jiàn)。在模擬實(shí)驗(yàn)中，利用Matlab的內(nèi)嵌函數(shù)生成雙峰，峰位道址分別設(shè)定為900和1 200(標(biāo)準(zhǔn)偏差為10)，間距300道址。圖4為WAT和SLA算法處理對(duì)稱雙峰的結(jié)果。

由圖4可見(jiàn)，當(dāng)r=160，n=30，權(quán)重參數(shù)為32/528，31/528，…，1/528時(shí)，得到的計(jì)數(shù)波形有2個(gè)峰，且峰位不變,標(biāo)準(zhǔn)偏差降至5.9，谷峰比η(2峰之間最低點(diǎn)視為谷底，谷峰比為谷底與峰位之間的比值)為0.045。對(duì)于不同的r,n及權(quán)重參數(shù)組合，得到的谷峰比也不同，甚至?xí)霈F(xiàn)中部虛峰及重合峰等問(wèn)題，峰位也將出現(xiàn)少量偏移。因此，針對(duì)雙峰需在模擬前或模擬過(guò)程中對(duì)峰位、面積比和半高寬等參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

圖5為不同n條件下，輸出波形谷峰比隨r的變化關(guān)系，圖5中的水平線即為初始比例。由圖5可見(jiàn)，當(dāng)r<50時(shí)，谷峰比變化并不顯著，WAT算法并沒(méi)有起到優(yōu)化作用；當(dāng)r大于峰間距的一半時(shí)，谷峰比將超過(guò)原始比例，甚至超過(guò)1；在r=140附近，曲線出現(xiàn)了極小值，此時(shí)谷峰比有了明顯的優(yōu)化，甚至出現(xiàn)2個(gè)獨(dú)立峰的情況。針對(duì)不同的初始情況，對(duì)參數(shù)的優(yōu)化是必須的。

WAT算法對(duì)不對(duì)稱的單峰 同樣具有一定的調(diào)節(jié)能力。圖6為當(dāng)輸入波形為對(duì)數(shù)高斯分布(μ=926，σ2=741)時(shí)，不同參數(shù)組合條件下的輸出波形。由圖6(a)可見(jiàn)：WAT算法處理后的輸出結(jié)果中，峰的分布發(fā)生了變化，峰位的計(jì)數(shù)明顯增加，峰更加突出；峰位從926變?yōu)榱?27，偏移率為0.1%；峰的寬度變小，半高寬從741減小為435；未出現(xiàn)虛峰及重合峰等異?，F(xiàn)象。由圖6(b)可見(jiàn)：當(dāng)參數(shù)權(quán)重全等(即SLA算法)時(shí)，調(diào)整r將出現(xiàn)2種不同的輸出波形；當(dāng)r較小時(shí)，輸出波形與原波形基本一致，SLA算法效果不明顯；當(dāng)r較大時(shí)，在主峰的下降沿處將出現(xiàn)一個(gè)虛峰。

綜合3種情況，對(duì)不同形狀的輸入峰，不同算法對(duì)應(yīng)的最佳參數(shù)是不同的。同時(shí)，在實(shí)際測(cè)量中會(huì)面臨由不同形態(tài)峰的混合能譜。在復(fù)雜輸入條件下，需根據(jù)先驗(yàn)信息優(yōu)化參數(shù)。在記錄過(guò)程中對(duì)參數(shù)進(jìn)行迭代，使算法具有“學(xué)習(xí)”的功能，也會(huì)提高算法的適應(yīng)性。

圖7為WAT算法及SLA算法針對(duì)4種輸入分布疊加時(shí)的輸出波形。

由圖7可見(jiàn)，從左往右，第1部分為σ2=160的對(duì)稱單峰；第2部分為峰位高度比為2:1的雙峰，峰位間距為200道；第3部分為不對(duì)稱峰，符合對(duì)數(shù)高斯分布(μ=926，σ2=741)；第4部分為等高雙峰，峰位間距為300道。算法設(shè)定的參數(shù)均為r=160，n=32。對(duì)于多峰的復(fù)雜輸入，WAT算法能達(dá)到不引入虛峰、降低半高寬、增強(qiáng)尋峰能力、提高分辨率和降低信噪比的目的。與SLA算法相比，WAT算法更具靈活性和普適性。

3 結(jié)論

本文提出了一種概率密度函數(shù)加權(quán)平均變化(WAT)算法。首先對(duì)理論數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了論述，然后基于仿真，驗(yàn)證了WAT算法對(duì)高斯分布、多峰分布和對(duì)數(shù)高斯分布等函數(shù)信號(hào)輸入時(shí)的有效性，探索了算法優(yōu)化的可能。研究結(jié)果表明：WAT是SLA算法的推廣，對(duì)原始輸入分布具有更好的適應(yīng)性；WAT算法解決了雙峰輸入時(shí)出現(xiàn)的虛峰及重合峰等問(wèn)題，同時(shí)減小了輸出分布中各峰的半高寬，提高了輸出波形的谷峰比，具有一定的降噪作用；對(duì)非對(duì)稱峰，WAT算法同樣能實(shí)現(xiàn)突出峰、保持峰位和減小半高寬的功能；采用概率密度函數(shù)對(duì)隨機(jī)輸入的核脈沖信號(hào)所形成的能譜建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)符合分布的隨機(jī)信號(hào)的累加進(jìn)行計(jì)算處理，能減小新生成分布的方差。本文的工作可為提升能量分辨率算法研究提供參考。