■孫 杰

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統(tǒng)計學(xué)研究的對象是客觀事物的數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系,它是關(guān)于數(shù)據(jù)的搜集、整理、歸納分析和解釋的科學(xué),其基本思想是用樣本估計總體,用樣本的某種數(shù)字特征(平均數(shù)、方差等)去估計總體的相應(yīng)數(shù)字特征。平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平,標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小。標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,越穩(wěn)定。

一、用定義與公式求樣本的數(shù)字特征

例1 袁隆平院士是中國雜交水稻事業(yè)的開創(chuàng)者,50 多年來,他始終在農(nóng)業(yè)科學(xué)的第一線辛勤耕耘、不懈探索,為人類運用科技手段戰(zhàn)勝饑餓帶來了綠色的希望和金色的收獲。袁老的科研團(tuán)隊發(fā)現(xiàn)“野敗”后,將其帶回實驗,在試驗田中隨機抽取了100 株水稻統(tǒng)計每株水稻的稻穗數(shù)(單位:顆)得到如圖1所示的頻率分布直方圖(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表),則下列說法錯誤的是( )。

圖1

A.a=0.01

B.這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間[280,300)中

C.這100株水稻的稻穗數(shù)的眾數(shù)是250

D.這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間[240,260)中

分析:利用樣本的頻率分布直方圖估計總體的數(shù)字特征的方法:眾數(shù)的估計值是最高小矩形的底邊中點的橫坐標(biāo);中位數(shù)的估計值將頻率分布直方圖分成左右面積相等的兩部分;平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和。

在頻率分布直方圖中,眾數(shù)只能表示樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息;樣本中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響,但它僅僅利用了排在中間的數(shù)據(jù)的信息;樣本平均數(shù)與每個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變,這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì)。也正因為這個原因,與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息。

二、利用性質(zhì)求樣本的數(shù)字特征

例2 一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都減去80,得到一組新數(shù)據(jù)的平均值是1.2,方差是4.4,則原數(shù)據(jù)的平均值和方差分別是____。

分析:利用樣本的數(shù)字特征的性質(zhì)求解。

解:由平均數(shù)和方差的定義可知,一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都減去80,平均數(shù)也減少80,但方差不變。

因為新數(shù)據(jù)的平均值是1.2,方差是4.4,所以原數(shù)據(jù)的平均值和方差分別是81.2,4.4。

本題考查平均數(shù)和方差的變化特點。若原數(shù)據(jù)都乘以同一個數(shù),則所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)也乘以同一個數(shù),而方差要乘以這個數(shù)的平方。

三、利用數(shù)字特征反推原始數(shù)據(jù)

例3 為了考查某校各班參加課外小組的人數(shù),從全校隨機抽取5個班級,把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù),已知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為4,且樣本數(shù)據(jù)互不相同,則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為( )。

A.8 B.9

C.10 D.11

分析:本題中的樣本數(shù)據(jù)較少,根據(jù)已知條件可列出方程組,通過觀察和配湊找到方程組的解。

解:設(shè)這5個班級的人數(shù)分別為x1,x2,x3,x4,x5。不妨設(shè)x1

由題意得x1+x2+x3+x4+x5=35,且(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20。若樣本數(shù)據(jù)中的最大值為11,則(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2=4,而樣本數(shù)據(jù)互不相同,顯然此式不成立;若樣本數(shù)據(jù)為4,6,7,10,代入驗證均成立。故樣本數(shù)據(jù)中的最大值為10。應(yīng)選C。

或者,由題意得x1+x2+x3+x4+x5=35,且(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20。因為5個整數(shù)的平方和是20,且這5個整數(shù)互不相等,所以只能配湊出一種結(jié)果,即(-3)2+(-1)2+02+12+32=20,所以x1=4,x2=6,x3=7,x4=8,x5=10。應(yīng)選C。

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解答本題的關(guān)鍵是利用配湊法,反推原始數(shù)據(jù)。

四、巧妙構(gòu)造函數(shù)求樣本特征數(shù)

例4 已知總體的各個個體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12,14,17,20,且總體的中位數(shù)是11,則總體方差的最小值為( )。

A.32 B.34

C.34.2 D.342

分析:數(shù)據(jù)的總體方差可由數(shù)值a,b來表示,再能挖掘到a+b=22這一條件,該最值便可借助二次函數(shù)求出。

令f(a,b)=(a-10)2+(b-10)2,將b=22-a代入并整理得f(a,b)=g(a)=2(a-11)2+2。

顯然,當(dāng)a=b=11時,g(a)取得最小值2,即f(a,b)取得最小值2。故s2的最小值為34.2。應(yīng)選C。

本題巧妙構(gòu)造二次函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值。