■姜典術(shù)

在一次試驗(yàn)中,古典概型中等可能事件只有有限個(gè),幾何概型中等可能事件有無限個(gè)。幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”只與大小有關(guān),而與形狀和位置無關(guān)。在解這類問題時(shí),稍有疏忽就會(huì)出錯(cuò),下面列舉兩種常見的易錯(cuò)點(diǎn),供同學(xué)們學(xué)習(xí)與參考。

一、幾何度量計(jì)算出錯(cuò)

例1 在0～1 之間隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)把0～1 之間的線段分成了三條,試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率。

錯(cuò)解:設(shè)事件A為“三條線段能構(gòu)成三角形”,設(shè)三條線段的長(zhǎng)度分別為x,y,1-x-y。

剖析:錯(cuò)解把長(zhǎng)度型幾何度量當(dāng)成計(jì)算概率的幾何度量。其實(shí),對(duì)三條線段的長(zhǎng)度加以分析,對(duì)應(yīng)圍成的幾何圖形的面積才是滿足條件的幾何度量。

正解:設(shè)事件A為“三條線段能構(gòu)成三角形”,設(shè)其中兩段的長(zhǎng)度分別為x,y,則第三段的長(zhǎng)度為1-x-y。

圖1

二、幾何度量選擇出錯(cuò)

例2 在等腰直角三角形ABC中,直角頂點(diǎn)為C,在∠ACB的內(nèi)部任作一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,求線段AM

錯(cuò)解:在線段AB上取AC1=AC(如圖2)。

圖2

剖析:上述解法不滿足幾何概型的等可能性。在線段AC1上任取一點(diǎn)M是等可能的,但不滿足在∠ACB內(nèi)任作一條射線CM是等可能的,因此不能把等可能取點(diǎn)看作等可能作射線。

正解:在∠ACB內(nèi)作射線CM是均勻分布的,所以射線CM所在任何位置都是等可能的。